教
案
教学基本信息
课题
二次根式复习（第一课时）
学科
数学
学段：
初中
年级
8年级
教材
书名：义务教育教科书
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年10月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1．进一步理解二次根式的概念、性质，掌握二次根式化简及运算；
2．深入探究二次根式的概念及性质，掌握二次根式的混合运算；
3．培养良好的运算习惯，提高运算能力．
教学重点和难点
重点：二次根式的化简以及运算．
难点：二次根式的性质及运算法则的灵活使用．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们，你们好．今天我们一起来复习《第16章二次根式》．本章是《课程标准》“数与代数”的重要内容．是在第13章《实数》的基础上，进一步研究二次根式的知识．它与已学内容“实数”“整式”联系紧密，同时也是后面的“勾股定理”，?“一元二次方程”，?“二次函数”等内容的重要基础．
阐述《二次根式》在“数与代数”中的教材地位以及作用．
新课
知识框架图：
二次根式有关的定义：
与之间的联系：
二次根式的化简与运算：
梳理全章的知识框架，复习二次根式的定义、性质，化简与运算的具体内容．
例题
例1．当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3)．
解：(1)x≥1；
(2)∵x-1≥0且x-1≠0，
∴x-1>0，即x>1；
(3)∵x≥0且-1≠0，
∴x≥0且x≠1．
变式．设a，b，c为实数，且+|b+1|+=0，求++的值．
解：∵+|b+1|+=0，
∴+|b+1|+|c-2|=0，
∴a-1=0，b+1=0,c-2=0．
∴a=1，b=-1，c=2．
∴原式=++=1-1+4=4．
通过问题串的形式，回顾了二次根式的非负性，以及二次根式有意义的条件．
例2．若m+=1，求m的取值范围．
解：∵==|1-m|，
∴代入得m+|1-m|=1．
∴|1-m|=1-m．
∴1-m≥0，即m≤1．
解：由原方程整理得=1-m．
∵≥0，
∴1-m≥0，即m≤1．
根据二次根式的性质进行化简；再结合题干中的隐含条件对有关字母的取值范围进行分类讨论．
例3．已知a为实数，化简-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：
解：原式=-a˙=-=0．
解：不正确；
∵，
∴a<0．
∴原式＝-a
=-a˙
=-a˙
=+
=2．
复习巩固二次根式的化简；通过判断并找出计算过程中的错误，加深对最简二次根式和同类二次根式的理解．
例4．计算：(1)2÷×5；
解：原式=4÷×5×
=5×
=5×
=．
解：原式=4÷×5
=5×
=．
解：原式=4÷××
=
=．
解：原式=
=
=
=．
计算：(2)(5+)(5-2)．
解：原式=25-10+5-2
=25-10+10-6
=19．
解：原式=(5+)[5-]
=(5+(5-)
=
=19．
变式．把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解:S=[(-)×]×4
=[(3-)×]×4
=2××4
=16．
解:S=[(-)×]×4
=(3-)×4
=(6-2)×4
=16．
通过混合运算分析运算法则和计算技巧，并进一步通过观察式子的变化，探索变化规律，利用二次根式的运算解决问题．
总结
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式；
在二次根式的运算中，要灵活运用乘法公式．
初中阶段主要涉及三种非负数：≥0，|a|≥0，≥0．
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必须为0．若≥0，≥0，≥0，…，≥0，且+++…+，则===…==0．
通过课堂小结与归纳，学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
作业
1．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3)；(4)．
2．化简：
(1)；(2)；(3)；(4)．
3．计算：
(1)(-)-(+)；
(2)2×÷5；
(3)(2+)(2-)；
(4)(2-3)÷．
通过课下练习引导学生对本节课所学知识归纳总结，并提高运算能力．(共21张PPT)
二次根式复习（第一课时）
初二年级
数学
全章简介
本章是《课程标准》中“数与代数”的重要内容。是在第6章《实数》的基础上，进一步研究二次根式的知识。它与已学内容“实数”，“整式”联系紧密，同时也是后面的“勾股定理”，?“一元二次方程”，?“二次函数”等内容的重要基础。
一、知识概要
算术平方根
二次根式
定义
性质
化简
运算
二次根式的加减
二次根式的乘除
最简二次根式
同类二次根式
混合运算
一、知识概要
一、知识概要
一、知识概要
二次根式的非负性
二次根式的非负性
二次根式的性质应用
二次根式的化简
二次根式的运算
5
5
=
=
×
二次根式的运算
5
5
=
=
=
×
二次根式的运算
5
5
×
二次根式的运算
2
4
4
5
5
2÷4×5
×
×
×
×
2
二次根式的运算
5
5
+
+
(
(
)
)
二次根式的运算
-
-2
×
二次根式的运算
变式．把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
二次根式的运算
变式．把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
课堂小结
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式；
在二次根式的运算中，要灵活运用乘法公式．
初中阶段主要涉及三种非负数：
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必须为0．
作业
感谢观看！教
案
教学基本信息
课题
二次根式复习（第二课时）
学科
数学
学段：
初中
年级
8年级
教材
书名：义务教育教科书
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年10月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1．进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的加、减、乘、除混合运算；
3．在解决问题的过程中，发展归纳和概括能力，提高分析问题解决问题的能力．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们，你们好．今天我们继续复习《第16章二次根式》．上节课提到本章内容属于“数与代数”的基础内容，它是“整式”、“分式”之后引入的第三类重要代数式，也是“实数”之后对“数”的认识的深化．本章内容具有极强的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之前，意在为后续解任意直角三角形的三边数值扫清障碍．
进一步阐述了《二次根式》在教材中的作用，并强调它的工具性以及重要性．
新课
一、知识概要
二、学习要求
梳理本章中的重点和难点，结合课程标准和历届北京市中考对二次根式的考察方式提出对本章的学习要求．
（1）在化简时应按照运算顺序先求出被开方数，再求算术平方根．
化简：．
解：原式=12+5=7．
解：原式===13．
（2）被开方数为带分数形式，应转化为假分数的形式．
化简：．
解：原式=2=．
解：原式==．
（3）进行乘除混合运算时，应严格按照从左到右的顺序进行．
计算：×．
解：原式=1=．
解：原式===．
(4)化简二次根式时，忘记把系数开方．
化简：(x≥0)
．
解：原式==x．
解：原式==2x．
例如：的书写方式不正确，应该为；
x的书写方式不正确，应该为．
梳理二次根式中容易出现的常见错误，通过分析错因理出正确解法和步骤．
例题
例1．已知y=-+5，求的值．
解：依题意得，解得，
∴x=2．
将x=2代入原式，得y=5．
∴==25．
变式．若|1995-a|+=a，求a-的值．
解：∵a-2000≥0，a≥2000，
∴a-1995+=a，
=1995，
a-2000=．
∴a-=2000．
通过例题以及变式，回顾复习二次根式的定义和非负性．
例2．若实数x，y满足+-2y+3=0，则xy的值是________．
解：∵+-2y+=0，
∴+=0．
∴x+2=0，y-=0．
∴x=-2，y=．
∴xy的值是-2．
变式．已知x=-1，求代数式+5x-6的值．
解：∵x=-1，
∴=+5(-1)-6
=-2+1+5-5-6
=5-2+1+5-5-6
=3-5
解：∵x=-1，
∴x+1=．
∴=5，即+2x-4=0．
∴=(+2x-4)+3x-2
=3(-1)-2
=3-5．
复习巩固二次根式的性质应用；根据若干个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零求出字母的数值．
例3．回顾第13章《轴对称》中所学的性质，即“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
类比上面的结论，如果在等腰直角三角形中，直角边长为1，那么斜边长为多少呢？下面我们利用三角形的面积来探索直角边和斜边之间的数量关系．
解：在等腰Rt△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠ADC=90°，∠A=45°，
∴AD=CD．
同理，BD=CD．
∴AD=CD=BD=．
∵=AB˙CD=AC˙BC，
∴=，解得AB=．
所以，若直角边长为1时，斜边长为．
变式．如果直角边的长为a，那么斜边长又会是多少呢？
解：在等腰Rt△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠ADC=90°，∠A=45°，
∴AD=CD．
同理，BD=CD．
∴AD=CD=BD=．
∵=AB˙CD=AC˙BC，
∴=，解得AB=a．
所以，若直角边长为a时，斜边长为a．
复习巩固二次根式的化简；类比第13章《轴对称》中所学的性质“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，推出在等腰直角三角形中，直角边长与斜边长之间的比例关系．
例4．写出下列各数的整数部分和小数部分：
a=3+；b=3+2；c=+．
解：（1）∵<5<，
∴2<<3．
∴5<
a
<6．
∴a的整数部分为5．
∴a的小数部分为-2．
(2)∵<20<，
∴4<2<5．
∴7∴b的整数部分为7．
∴b的小数部分为2-4．
(3)∵7<3+2<8，
∴7<2
c
<8．
∴3．5<
c<
4．
∴c的整数部分为3．
∴c的小数部分为-．
变式．已知下列等式：
=10，
=100，
=1000，
……
根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性．
答：=10000，
验证：
=
=
=
=10000．
验证：
=
=
=
=10000．
通过混合运算分析运算法则和计算技巧，逐步求出a，b，c的整数部分和小数部分，发现和探索它们之间的联系和区别；再通过观察式子的变化，探索变化规律，利用二次根式的运算分析和解决问题．
总结
在知识上：
深化了对二次根式及其相关概念的理解；
能够灵活运用性质与法则进行二次根式的化简与运算．
在方法上：
注意到公式与法则的使用条件；
对含有字母的二次根式化简时，要关注式子中隐含的条件；
当二次根式化简不能明确字母的取值范围时，要根据实数的性质进行分类讨论．
通过课堂小结与归纳，学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
作业
1．化简：(1)；(2)．
2．计算：(1)；(2)．
3．判断下列各式是否成立：
=2；=；=4．
类比上述式子，再写出几个同类型的式子，你能看出其中的的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
通过课下练习进一步巩固强化，并明确本章中的知识重难点．《二次根式复习（第二课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课包含了二次根式的概念、性质、运算和应用。结合近几年北京市中考的方向将二次根式融入到实际问题或者几何图形中综合运用，有助于加深对二次根式的深层认识，构建和完善实际操作能力。在本课中主要运用观察、归纳、比较等方法，发展几何直观以及实际操作等数学能力。
【课上任务】
1．二次根式的概念和运算法则分别是什么？
2．与|a|之间有什么关系？
3．二次根式的混合运算顺序是什么？
4.
二次根式在解决直角三角形的边之间的数量关系时，有什么作用？
【课后作业】
19．作业1：
1.计算：(1)；(2)。
2.已知x=2-，求代数式(7+4)+(2+)x+的值。
3.判断下列各式是否成立：
=2；=；=4。
类比上述式子，再写出几个同类型的式子，你能看出其中的的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明。
20．作业2（请列出二次根式运算中需要注意的有哪些？）
【课后作业参考答案】
1.计算：
(1)35+12;
(2)5-.
2.2+.
3.规律是=n。只要注意到n+=，再两边开平方即可。《二次根式复习（第一课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课对本章内容所涉及到的二次根式的概念、性质以及运算法则进行概述与回顾，不仅复习回顾了二次根式有意义的条件和性质，以及混合运算，还归纳总结了二次根式有关的运算技巧和解题策略，对二次根式有一个整体认识，会选择简单快捷的方法，达到灵活运用的程度。
【课上任务】
1．二次根式有意义的条件是什么？无意义的条件呢？
2．二次根式的非负性指的是哪些方面？
3．最简二次根式应满足什么条件？
4．二次根式、最简二次根式、同类二次根式之间有什么联系和区别？
5．与的区别之间有什么联系和区别？
6．二次根式的化简的依据是什么？
7．二次根式的运算的步骤是什么？
8．因式分解在实数范围内有什么变化？
【课后作业】
19．作业1（本节例题相似题目，从教科书选取）
1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3)；(4)。
2.化简：
(1)；(2)；(3)；(4)；
3.计算：
(1)(-)-(+)；
(2)2×÷5；
(3)(2+)(2-)；
(4)(2-3)÷；
20．作业2（请列出二次根式中最重要，最有用的有哪些？）
【课后作业参考答案】
1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)x≥-3；
(2)x>;
(3)x<；
(4)x≠1.
2.化简：
(1)10；
(2)2;
(3)===;====;
(4);
3.计算：
-;
;
(3)6;
(4)-。
