(共32张PPT)
二次根式的综合应用
初二年级
数学
二次根式结构图
算术平方根
二次根式
二次根式的概念
二次根式的性质
二次根式的运算
二次根式的应用
引例
若一个正方形的边长为a,
面积为S.你能说出a与S之间的关系？
边长的二次幂
面积的算术平方根
例
正方形的边长为a
cm,它的面积与长为96
cm、宽为12
cm的长方形的面积相等,
求a的值.
实际问题
数学问题
方程模型
解方程
并检验
等量关系：长方形的面积等于正方形的面积
分析:已知
可知
未知
需知
解：由题意得,
解：由题意得,
答：正方形的边长为
cm.
解：由题意得,
1.算术平方根的意义
2.二次根式的乘法法则
二次根式的化简
积的算术平方根性质
最简二次根式
3.二次根式的性质
知识点
变式
大正方形的面积为32
cm2,
四个角上的小正方形的面积均为2
cm2,
求图中线段a的长度.
实际问题
方程模型
等量关系
分析:已知
可知
未知
需知
a
审题
设未知数
列方程
解方程
检验
答题
解：设大正方形的边长为x
cm,
小正方形的边长为y
cm.
a
答：线段a
的长度为
cm.
且
且
例
已知一个底面积为24
cm2,
长、宽、高的比为4：2：1的长方体,
你能求出关于这个长方体的哪些量？
分析：两个等量关系
1.底面积=24
cm2；
2.长、宽、高的比值=
4：2：1.
宽
长
解：设长方体的长为4x
cm,宽为2x
cm,高为x
cm.
宽
长
例
已知一个底面积为24
cm2
,
长、宽、高的比为
4：2：1的长方体,
求:
（1）这个长方体的长、宽
、高分别是多少？
由题意得,
化简,得
实际问题
方程模型
等量关系
∴长方体的长为
cm,
cm,
宽为
高为
cm.
长方体表面积
宽
长
例
已知一个底面积为24
cm2,
长、宽、高的比为
4：2：1的长方体,
求:
（2）这个长方体的表面积是多少？
解：
cm2
答：长方体的表面积为
.
长方体体积
例
已知一个底面积为24
cm2,
长、宽、高的比为
4：2：1的长方体,
求:
（3）这个长方体的体积是多少？
cm3
答：长方体的体积为
.
宽
长
解：
实际问题
数学问题
方程模型
解方程
并检验
等式的性质
平方根定义
开平方
降次
二次方程
一次方程
移项、合并同类项
系数化为1
结果化为最简形式
去分母、去括号
解题步骤
原方程的解为：
例
解方程：
解：移项、合并,得
系数化为1
,得
化简,得
解：去括号,
得
例
解方程：
移项,
得
合并,
得
系数化为1
,
得
二元
一元
加减法
代入法
①
②
消元
基本思路：
核心思想：
例
解方程组：
①
②
解：
①
②
③
④
③-
④
,
把
代入
②,
所以原方程组的解是
变形
消元
求解
检验
写解
得
例
解方程组：
得
得
得
二元一次方程组
系数形式变化
解题方法不变
核心思想不变
例
比较大小:
(1)
(2)
(3)
例 比较大小：(1)
___
S=2
S=3
二次根式比较大小
正方形面积比较大小
算术平方根的意义
平方运算
转化
<
分析:
例 比较大小：(2)
___
二次根式比较大小
正方形面积比较大小
算术平方根的意义
平方运算
转化
分析:
例 比较大小：(3)
1.完全平方公式
2.二次根式的性质
3.不等式的性质
分析:
比较二次根式大小方法:
再比较幂的大小
先将两个二次根式分别平方
最后说明原数的大小
若
则
若
则
当
时,
例
若我想用一块面积为400
cm2的正方形纸片,
沿着边的方向裁出一块面积为300
cm2的长方形纸片,
使它的长、宽比为3：2
,
不知道能否裁出来,你能帮我解决吗？
等量关系：
1.长方形的面积为300cm2;
2.长方形的长宽之比为3:2.
比较：长方形的长与正方形的边长大小
解题过程
解：设面积为300
cm2的长方形的长、宽分别为3x
cm、2x
cm.
因此,
长方形的长为
cm
,
宽为
cm.
由题意,
得
解方程,
得
∵面积为400
cm2的正方形的边长为20
cm.
答：用一块面积为400
cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．
1.算术平方根的定义
2.比较二次根式大小
3.解决实际问题的
基本步骤
小结
作业
1.如图，从一个大正方形中裁去面积为15
cm2和24
cm2的两个小正方形，求留下部分的面积．
24
15cm2
作业
2.在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出
方程的解:
感
谢
观
看《二次根式的综合应用》学习任务单
【学习目标】
1.二次根式与相关知识进行适度的拓展与整合.
2.掌握并体会运用二次根式的运算解决简单的实际问题.
3.在解决问题的过程中，体会二次根式在解决实际问题中的重要作用，并提高分析问题、解决问题的能力.
【课前预习任务】
理一理：请选择你喜欢的方式梳理二次根式这一章的所有知识点.?
【课上学习任务】
观看视频，并回答以下问题：
1.二次根式和算术平方根的联系是什么？
2．二次根式化简的依据是什么？如何简化计算过程？
3．二次根式的加减与整式的加减有什么关系？
4．解题思路是的什么?
你会解？
5．解系数中含有二次根式的一元一次方程的步骤是什么？
6．解系数中含有二次根式的二元一次方程组的步骤是什么？
7．比较二次根式大小的方法是什么？依据是什么？
【课后作业】
1．如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，求留下部分（即阴影部分）的面积．
2.在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解:
【课后作业参考答案】
1．方法一：（直接求）设两个小正方形的边长为xcm,
ycm，由有已知可知：，因为，所以可以求出两个小正方形的边长，.
留下来的阴影部分的面积则是两个长方形的面积和.
长方形的面积可以表示为：，所以.
方法二：（间接求）设两个小正方形的边长为x
cm,
y
cm，由已知可知：，因为，所以可以求出两个小正方形的边长，.
留下来的阴影部分的面积等于大正方形面积-两个小正方形的面积.
=.教
案
教学基本信息
课题
二次根式的综合应用
学科
数学
学段：
第三学段
年级
初二年级
教材
书名：义务教育教科书八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.能够将二次根式与相关知识进行适度的整合与拓展.
2.运用二次根式的运算，解决简单的实际问题.
3.在问题解决的过程中，体会二次根式在解决实际问题中的重要作用，并提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点：二次根式与相关知识的整合与拓展
教学难点：二次根式比较大小的方法与依据
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
引言：二次根式这个概念主要是从算术平方根的意义上去认识的，所以二次根式的概念更是算术平方根概念的一般化表示.到目前为止，我们已经学习了二次根式的概念、二次根式的性质、还有二次根式的运算。那从研究事物的思路来看，我们接下来应该研究二次根式的综合应用。
引例：若一个正方形的边长为a，面积为S．你能说出a与S的数量关系？；
问：这两个式子有什么联系与区别呢？
学生可以从表示形式、计算结果分别讨论分析。
本章是初中阶段“数与式”内容的最后一章。体会整理“数与式”的内容、方法和基本思想的必要性。
从表示形式和计算结果两个方面分析，体会开平方运算和平方运算是互逆关系，渗透函数的思想
新课
例 正方形的边长为a
cm,它的面积与长为96
cm、宽为12
cm的长方形的面积相等,
求a的值.
分析：从已知出发，看可知；
从未知出发，找需知.
等量关系：正方形的面积等于长方形的面积.
总结解题思路是：
(
方程模型
)
(
数学问题
)
(
实际问题
)
列方程：
总结：二次根式的化简，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后将能开的尽方的因数或因式开出来，得到最简二次根式.
变式 正方形的面积为32cm2四个角上的小正方形的面积均为2cm2,求图中线段a的长度.
分析：
已知：大正方形的面积为32cm2，可知大正方形的边长为根号32，已知四个小正方形的面积均为2cm2，可知四个小正方形的边长为根号2，要求：图中线段a的长度，只需要用大正方形的边长－小正方形的边长的2倍，即可求出。
解：设大正方形的边长为xcm,小正方形的边长为ycm,
总结列方程解决实际问题的解题步骤可以为：审题（分析已知，未知，找等量关系）设未知数（直接设，间接设）列方程（利用等量关系列方程）、解方程、检验（实际意义）、答题.
例 已知一个底面积为24cm2,长、宽、高的比为4：2：1的长方体，你能求出关于长方体的哪些量？
如：（1）这个长方体的长、宽
、高分别是多少？
（2）长方体的表面积是多少？
（3）长方体的体积是多少？
(
抽象
)小结：
(
方程模型
)
(
实际问题
)
(
降次
)
例 解方程：
解方程：
解方程组：
总结：
1、系数含有二次根式的一元一次方程与我们原来接触到一元一次方程解题步骤是一致,只在最后一步增加一个化为最简形式.
2、系数含有二次根式的二元一次方程组的解题过程的
解题方法：代入法和消元法；核心思想：消元.
例 比较大小：①
___
②
___
(
平方运算
)
③___
(
正方形面积比较大小
)
(
二次根式比较大小
)
(
转化思想
)
比较二次根式大小的思路步骤总结为：
先将两个二次根式分别平方，再比较两个幂的大小，
最后说明原数的大小。
比较依据：当两个数都为正数时，即a>0
,b>0时，若
a2>b2
时，则a>b.；若
a2〈b2
时，则a〈b。
例1是引例的变式，结合求一个数的算术平方根的运算，体会二次根式乘法的应用，简化运算.
总结二次根式化简得步骤.
例1的变式，结合求一个数的算术平方根，体会二次根式的加减运算.
让学生初步感受到二次根式计算在实际问题中的应用.
这是一个开放性的问题，学生见比设未知数，通过题目中的等量关系可列方程。分别求出长宽高。进而可以求出长方体的表面积和体积。
进一步拓展方程类型
若x2=a,则
即x为a的平方根
总结:方程解法及依据，让学生再次体会二次根式的运算在方程中的应用.
通过二次根式与一元一次方程和二元一次方程组的整合，体会二次根式与整式的逻辑相容性.
在前几个例题都是从实际问题中抽象出方程模型，而比较大小可以把数学问题赋予一个实际背景转化为实际问题。
从而总结出平方法比较二次根式的大小
练习
若我想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽比为3：2，不知道能否裁出来，你能帮我解决吗？
这是一道实际应用问题，是一道综合题，既用到这节课拓展的方程，又用到了二次根式比较大小。通过回顾与反思将知识内化、方法迁移，以实现自身知识体系的再完善和再提升
这道题具有诊断评价的作用.?
小结
我们一起回顾一下这节课的主要内容，今天这节课把二次根式与方程、方程组进行适度的拓展与整合，并会用平方运算把比较二次根式的大小转化解决简单的实际问题，同时借助实际问题的背景下梳理旧知，并发现一种新的方程形如：x2=a（a≥
0）的形式
，可以利用开平方,降次直接解得.
学生通过回顾与反思将知识内化、方法迁移，从而完善自我的认知体系.
作业
如图，从一个大正方形中裁去面积为15
cm2和24
cm2的两个小正方形，求留下部分的面积．
(
15cm
2
)
(
24cm
2
)
在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解：
