教
案
教学基本信息
课题
二次根式的除法
学科
数学
学段：
初中
年级
八年级
教材
书名：《数学（八上）》
出版社：
人民教育出版社
日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要了解二次根式的除法法则，会用它进行二次根式的除法运算和化简。学生类比乘法法则的得出过程，得到除法法则，并通过三道例题对法则进行正用、反用和综合运用，展开运算法则的学习和运算技能的训练。教学中重点关注对学生符号意识和运算能力的培养。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习
引入
复习旧知，铺垫新知
知识回顾
方法回顾
解法练习
上节课最后提出的练习：.
回顾解法1：
尝试解法2：
提出问题：到底满足什么条件的二次根式才是最简二次根式？
明确学习任务.
（一）计算观察，发现规律
【活动1】创设情境，归纳法则
问题1：计算下列各式，观察计算结果，
你能发现什么规律？
（1），;
（2），;
（3），.
问题2：你能再举几个例子验证一下吗？
回忆上节的探究过程和知识方法，为本节课的学习做好准备.
发现：对二次根式的化简还有新的要求.
类比二次根式的乘法法则的研究过程，从具体例子出发，学生逐步抽象出二次根式的除法运算规律.
新知
讲解
通过计算和举例，我们发现每小题的两个式子计算结果相等；我们还可以用计算器来验证.
于是，归纳得到“二次根式的除法法则”：
一般地，二次根式的乘法法则是：
明确：利用它，可以将算术平方根的商转化成商的算术平方根，进而改变运算顺序.
引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的除法法则,并明确法则的用途.另外，对法则的合理性同样没有给出一般的说明，也是出于考虑到学生的年龄特征和知识水平的原因.
新知
应用
（二）运用法则，加强理解
【活动2】正用法则，初步理解
利用二次根式的除法法则可以对两个无理数进行具体运算，我们来看例1.
例1：计算
（1）;
解：
（2）.
解：
总结涉及的知识点、解法程序和解法；
通过计算看到：两个无理数的商可以是一个无理数，也可以是一个有理数.
【活动3】逆用法则，深化理解
问题：将“二次根式的除法法则”从右向左看，写出你得到的等式.
于是，得到
我们把这条性质叫做“商的算术平方根性质”.
明确：利用它，可以将商的算术平方根转化成算术平方根的商.
例2.化简
（1）;
（2）;
解：（1）
（2）
逆用二次根式的除法法则，即商的算术平方根性质可以对二次根式进行化简.在化简时，一般先将一个二次根式改写成两个二次根式相除的形式，再将两个二次根式中的被开方数进行因数分解，约去分子和分母的公因数.
我们把像例2中（1）的化简结果这样的二次根式成为最简二次根式，下面给出最简二次根式的概念：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
于是，我们了解了判断一个二次根式是最简二次根式的依据.
【活动4】综合运用，加强理解
问题：接下来，我们将例2.(1)
做变式练习,化简例2.(1)变式
解1：（1）;
提出：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
解2：（1）.
按照
“最简二次根式”
的进行要求化简.
因此，我们得到二次根式运算的化简方法，是一个综合运用二次根式的除法法则和商的算术平方根性质，以及二次根式的性质的过程.
例3.计算
(1)
;
先将二次根式的除法法则拓展，得到：
解：
再次熟悉了解法程序，我们不妨尝试完成一道含有字母的二次根式除法运算：
(2)
解1：
解法2：
解3：
学生通过正用法则进行具体运算，初步理解二次根式的除法法则.通过问题1的第（2）小题，又可以让学生看到两个无理数相除的结果是有理数的情况，这也为后面继续学习二次根式的化简作了铺垫.
通过将法则逆用，加强对等式的理解，以及对除法法则的理解;引导学生从多角度理解结论,对于学生逆向思维的养成有帮助.
学生通过逆用法则进行二次根式的化简，加深了对二次根式的除法法则的理解，增强了灵活应用代数运算法则解决问题的意识，对于提高运算能力有帮助.另外，对于最简二次根式的概念给出明确的判断标准，为接下来的化简二次根式做好铺垫.
学生通过给出的具体实例，并结合最简二次根式的概念，掌握最简二次根式的判断标准，意识到“商的算术平方根性质”不是化简二次根是的
唯一方法.对化简二次根式的方法有更深的认识，增强了灵活应用性质和代数运算法则解决问题的意识，对于提高运算能力有帮助.
学生通过灵活运用二次根式的性质
和
，正用或逆用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，加强了对二次根式的性质和除法法则的理解，也体会到了解决问题方法的多样性.
总结
归纳
（三）梳理关系，总结收获
问题：经历了本节课的研究过程，总结一下我们的收获.
首先，我们从具体例子入手，归纳并抽象得到二次根式的除法法则，并通过“逆变形”得到“商的算术平方根的性质”.
其次，在进行二次根式的除法运算过程中，最重要的过程，即二次根式的化简.我们既可以用“二次根式的除法法则”或“积的算术平方根的性质”直接化简；也可以根据二次根式的形式选择利用“或”完成化简.
解决在本章起始课中提出的应用问题，你现在能解决了吗？
展示三种解法.
通过课堂小结，学生完成对本节课研究过程的梳理，其中既有对思路和步骤的总结，又有对研究问题方法和策略的反思，期待在此基础上有新的发现和认识.《二次根式的除法》学习任务单
【学习目标】
本节课主要学习二次根式的除法法则，会进行二次根式的除法运算和化简。类比乘法法则的生成过程，得到除法法则，并通过对法则的正用、逆用，加强对除法法则的理解，掌握二次根式的除法运算。教学中重点关注符号意识和运算能力的培养。三道例题。
【课前预习任务】
阅读教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
尝试用文字语言描述规律，用符号语言写出规律，并将你写出的规律和教材中的对比、理解.
【课上学习任务】
你能说明二次根式的除法法则是如何得出的吗？
你能说明除法法则逆用的意义吗？
我们对二次根式的除法法则做了什么拓展？
什么是最简二次根式？最简二次根式的判断标准是什么？
又学习了哪些化简二次根式的方法？依据是什么？具体如何选择？
【课后作业】
【课后作业参考答案】
计算：
（1）
;(2)
;(3)
;(4)
.
把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）
;(2)
;(3)
;(4)
.
3.
.
