第三章
三角恒等变换
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若sin
α＝m，cos
α＝m，则( )
A．m∈[－1,1]
B．m∈
C．m＝
D．m＝±
解析：由sin2α＋cos2α＝1，得4m2＝1，m＝±.
答案：D
2．已知△ABC中，tan
A＝－，则cos
A等于( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：在△ABC中，由tan
A＝－得＜A＜π，
∴解之得cos
A＝－.
答案：D
3．已知tan
α＝－，则的值是( )
A.
B．3
C．－
D．－3
解析：原式＝
＝＝－.
答案：C
4．已知sin
α－cos
α＝－，则tan
α＋的值为( )
A．－4
B．4
C．－8
D．8
解析：tan
α＋＝＋＝.
∵sin
αcos
α＝＝－，
∴tan
α＋＝－8.
答案：C
5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin
θcos
θ的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，
∴sin2θcos2θ＝.
∵θ是第三象限角，∴sin
θ＜0，cos
θ＜0，∴sin
θcos
θ＝.
答案：A
6．已知sin
α＝，且α为第二象限角，则tan
α的值为________．
解析：因为α为第二象限角且sin
α＝，
所以cos
α＝－＝－，所以tan
α＝＝＝－.
答案：－
7．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，则tan
α＝________.
解析：∵a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，∴3cos
α－4sin
α＝0.
∴tan
α＝.
答案：
8．已知sin
α，cos
α是方程2x2－x－m＝0的两根，则m＝________.
解析：由已知得sin
α＋cos
α＝，sin
α·cos
α＝－.
∵(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
α·cos
α＝1－m＝，
∴m＝，满足Δ＝1＋8m＞0.
答案：
9．化简·.
解析：原式＝·
＝·
＝·
＝
＝(k∈Z)．
10．化简：.
解析：原式＝
＝＝.
[B组 能力提升]
1．(tan
x＋)·sin2
x＝( )
A．sin
x
B．cos
x
C．tan
x
D．sin
xcos
x
解析：(tan
x＋)·sin2
x＝(＋)·sin2
x＝·sin2
x＝＝tan
x.
答案：C
2．已知A为锐角，lg(1＋sin
A)＝m，lg＝n，则lg(cos
A)的值为( )
A．m＋
B.(m－n)
C.(m＋)
D.(m－)
解析：lg(1＋sin
A)＝m，lg(1－sin
A)＝－n，
所以lg(1－sin2A)＝m－n，
所以lg(cos2A)＝m－n，
所以lg(cos
A)＝(m－n)．
答案：B
3.＝________.
解析：因为2是第二象限角，
所以原式＝
＝|sin
2－cos
2|＝sin
2－cos
2.
答案：sin
2－cos
2
4．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
解析：∵角α终边在y＝－x上，
∴角α可能在第二或第四象限，且tan
α＝－1.
∴＋＝＋
＝
答案：0
5．已知α是第二象限角，
(1)若cos
α＝－，求sin
α和tan
α的值；
(2)化简：
·tan
α.
解析：(1)∵α是第二象限角，∴sin
α＞0，
又∵cos
α＝－，∴sin
α＝
＝
＝，
tan
α＝＝＝－.
(2)
·tan
α＝
·tan
α
＝－cos
α·tan
α＝－cos
α·＝－sin
α.
6．(1)已知sin
θ＋cos
θ＝m，求sin3θ＋cos3θ的值．
(2)化简：.
.
解析：(1)因为sin
θ＋cos
θ＝m，①
所以sin2θ＋2sin
θcos
θ＋cos2θ＝m2.
所以sin
θcos
θ＝.②
又因为sin3θ＋cos3θ＝(sin
θ＋cos
θ)(sin2θ－sin
θcos
θ＋cos2θ)，③
将①②代入③式得sin3θ＋cos3θ＝m·＝(3－m2)．
(2)原式＝·
＝·
＝·＝4·
＝
PAGE第三章
三角恒等变换
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．计算sin
43°cos
13°－cos
43°sin
13°的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：sin
43°cos
13°－cos
43°sin
13°＝sin(43°－13°)
＝sin
30°＝.
答案：A
2．已知在△ABC中，cos
Bcos
C＞sin
Bsin
C，那么△ABC是( )
A．锐角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
解析：由cos
Bcos
C＞sin
Bsin
C得
cos
Bcos
C－sin
Bsin
C＞0，
∴cos(B＋C)＞0，即－cos
A＞0，∴cos
A＜0.
∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
答案：D
3．已知sin(30°＋α)＝，60°＜α＜150°，则cos
α＝( )
A.
B．－
C.
D.
解析：∵60°＜α＜150°，∴90°＜30°＋α＜180°，∴cos(30°＋α)＝－，∴cos
α＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(30°＋α)cos
30°＋sin(30°＋α)sin
30°＝－×＋×＝，故选D.
4．已知cos
α＝－，则sin(30°＋α)＋sin(30°－α)的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：sin(30°＋α)＋sin(30°－α)＝2sin
30°cos
α＝2××(－)＝－.
答案：A
5．在△ABC中，如果sin
A＝2sin
Ccos
B，那么这个三角形是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．不确定
解析：在△ABC中，sin
A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)．因为sin
A＝2sin
Ccos
B，所以sin(B＋C)＝2sin
C
cos
B，即sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Ccos
B，所以sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，即sin(B－C)＝0.
又－180°所以B－C＝0，即B＝C，所以△ABC是等腰三角形．
答案：C
6．已知3sin
x－cos
x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．
解析：因为3sin
x－cos
x＝2(sin
x－cos
x)＝2sin(x－)，又因为3sin
x－cos
x＝2sin(x＋φ)，且φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：－
7．化简：cos(＋α)＋sin(＋α)＝________.
解析：原式＝cos
cos
α－sin
sin
α＋sin
cos
α＋cos
sin
α＝cos
α－sin
α＋cos
α＋sin
α＝cos
α.
答案：cos
α
8．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan
αtan
β＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝，
∴cos
αcos
β－sin
αsin
β＝. ①
又cos(α－β)＝，
∴cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝. ②
①＋②，得cos
αcos
β＝，
②－①，得sin
αsin
β＝.
∴tan
αtan
β＝＝＝.
答案：
9．若cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，且＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos
2β的值．
解析：因为cos(α＋β)＝，且＜α＋β＜2π，
所以sin(α＋β)＝－.
由sin(α－β)＝，且＜α－β＜π，得cos(α－β)＝－.
所以cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×(－)＋(－)×＝－1.
10．已知cos(x－)＝，x∈(，)，
(1)求sin
x的值；
(2)求sin(x＋)的值．
解析：(1)∵x∈(，)，∴x－∈(，)，
于是sin(x－)＝
＝.
∴sin
x＝sin[(x－)＋]＝sin(x－)·cos
＋cos(x－)·sin
＝×＋×＝.
(2)∵x∈(，)，∴cos
x＝－
＝－.
∴sin(x＋)＝sin
x·cos
＋cos
x·sin
＝×＋(－)×＝.
[B组 能力提升]
1．若0<α<，－<β<0，cos
＝，cos
＝，则cos
＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵0<α<，∴<α＋<π.
∵cos
＝，∴sin
＝.
∵－<β<0，∴<－<.
∵cos
＝，∴sin
＝.
∴cos
＝cos
＝cos
cos
＋sin
sin
＝×＋×＝.
答案：C
2．在△ABC中，3sin
A＋4cos
B＝6,3cos
A＋4sin
B＝1，则C的大小为( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：把条件中的两个式子平方再相加，得
sin(A＋B)＝，即sin
C＝，∴C＝或.
∵0＜B＜π，∴－1＜cos
B＜1，由3sin
A＋4cos
B＝6，
得4cos
B＝6－3sin
A＜4，
∴sin
A＞＞.
∵0＜A＜π，∴A＞，∴C＝.
答案：A
3．函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin
φcos
x的最大值为________．
解析：因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin
φcos
x＝cos
φsin
x－sin
φcos
x＝sin(x－φ)，又－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.
答案：1
4．已知平面向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，α、β∈且α＞β，若a·b＝，则α－β＝________.
解析：a·b＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝cos
(α－β)＝，又α、β∈，α＞β，
∵0＜α－β＜，∴α－β＝.
答案：
5．求值：·cos
10°＋sin
10°
tan
70°－2cos
40°.
解析：原式＝＋－2cos
40°
＝－2cos
40°
＝－2cos
40°
＝－2cos
40°
＝＝2.
6．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
(1)若点Q的坐标是(，)，求cos(α－)的值；
(2)设函数f(α)＝·，求f(α)的值域．
解析：(1)由已知可得cos
α＝，sin
α＝.
所以cos(α－)＝cos
αcos
＋sin
αsin
＝×＋×＝.
(2)f(α)＝·＝(cos
，sin
)·(cos
α，sin
α)
＝cos
α＋sin
α＝sin(α＋)．
因为α∈[0，π)，则α＋∈[，)，
所以－＜sin(α＋)≤1，故f(α)的值域是(－，1].
PAGE第三章
三角恒等变换
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知α∈(，π)，sin
α＝，则tan(α＋)等于( )
A．－
B．－7
C.
D．7
解析：∵α∈(，π)，sin
α＝，
∴tan
α＝－，
tan(α＋)＝＝＝.
答案：C
2．求值：＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：＝＝tan(45°－15°)＝tan
30°＝.故选C.
答案：C
3．在△ABC中，C＞90°，则tan
Atan
B与1的大小关系为( )
A．tan
Atan
B＞1
B．tan
Atan
B＜1
C．tan
Atan
B＝1
D．不能确定
解析：∵C＞90°，∴0°＜A＋B＜90°，
∵tan(A＋B)＞0，tan
A＋tan
B＞0，
∴1－tan
Atan
B＞0，
∴tan
Atan
B＜1.
答案：B
4．若sin
α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan
β的值是( )
A.
B．－
C．－7
D．－
解析：因为sin
α＝，α是第二象限角，所以cos
α＝－.所以tan
α＝－.
因为tan(α＋β)＝，
所以1＝?tan
β＝－7.
答案：C
5．已知α，β为锐角，cos
α＝，tan(α－β)＝－，则cos
β的值为( )
A.
B.
C．－
D.
解析：因为α，β为锐角，且cos
α＝，所以sin
α＝，所以tan
α＝.
又tan(α－β)＝＝＝－，所以tan
β＝，即＝，因为β为锐角，所以13cos
β＝9，
整理得cos
β＝.
答案：A
6．已知tan＝，tan＝－，则tan
＝________.
解析：∵tan(α－)＝，tan(β－)＝－，
则tan
＝tan
＝＝＝
答案：
7．tan
21°＋tan
39°＋tan
21°·tan
39°＝________.
解析：tan(21°＋39°)＝tan
60°＝，
∴＝.
∴tan
21°＋tan
39°＋tan
21°tan
39°＝.
答案：
8．已知tan
α＝，cos
β＝且0<α<，<β<2π则α＋β的值为________．
解析：因为<β<2π且cos
β＝，
所以sin
β＝－，所以tan
β＝＝－2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－1，
又因为0<α<，
所以<α＋β<π，
所以α＋β＝π.
答案：π
9．在△ABC中，已知tan
A与tan
B是方程2x2＋9x－13＝0的两个根，求tan
C的值．
解析：由题意知
∴tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝.
10．已知tan
α＝，tan
β＝－2(0＜α＜，＜β＜π)．求：
(1)tan(α＋β)；(2)tan(2α－β)；(3)tan
2α.
解析：(1)tan(α＋β)＝＝＝－1.
(2)∵tan(α－β)＝＝＝7，
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝－.
(3)tan
2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝＝.
[B组 能力提升]
1．已知α＋β＝，则(1－tan
α)(1－tan
β)＝( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
解析：∵α＋β＝，∴－1＝tan(α＋β)＝，
∴tan
α＋tan
β＝－1＋tan
α·tan
β，
∴(1－tan
α)(1－tan
β)＝1－tan
α－tan
β＋tan
αtan
β＝2.
答案：A
2．设α，β∈(0，)，且tan
α＝，tan
β＝，则α－β等于( )
A.
B.
C.
D．－
解析：tan(α－β)＝＝＝－1.
∵α，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)．∴α－β＝－.
答案：D
3．若α，β均为锐角，且tan
β＝，则tan(α＋β)＝________.
解析：由已知得tan
β＝＝tan(－α)，
∵0＜α＜，∴－＜－α＜.又0＜β＜，
∴β＝－α.∴α＋β＝.∴tan(α＋β)＝1.
答案：1
4．设0<β<α<，且cos
α＝，cos(α－β)＝，则tan
β的值为________．
解析：由0<β<α<，可得0<α－β<，
又cos
α＝，cos(α－β)＝，得
sin
α＝＝，
sin(α－β)＝＝，则
tan
α＝4，tan(α－β)＝，
所以tan
β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.
答案：
5．已知tan
α，tan
β为方程x2－3x－3＝0的两根．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求sin2(α＋β)－3sin(2α＋2β)－3cos2(α＋β)的值．
解析：(1)由韦达定理知，
又tan(α＋β)＝.
∴tan(α＋β)＝＝.
(2)原式＝cos2(α＋β)[tan2(α＋β)－6tan(α＋β)－3]
＝[tan2(α＋β)－6tan(α＋β)－3]
＝＝－.
6．已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，)，n＝(cos
A，sin
A)，且m·n＝1.
(1)求角A的值；
(2)若tan＝－3，求tan
C的值．
解析：(1)∵m·n＝1，∴(－1，)·(cos
A，sin
A)＝1，
即sin
A－cos
A＝1，
2sin＝1，
∴sin＝.
∵0＜A＜π，
∴－＜A－＜.
∴A－＝，∴A＝.
(2)由tan＝＝－3，解得tan
B＝2.
又∵A＝，∴tan
A＝.
∴tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝－＝.
PAGE第三章
三角恒等变换
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列函数中，周期为1的奇函数是( )
A．y＝1－2sin2
x
B．y＝sin(2πx＋)
C．y＝tan
x
D．y＝sin
πxcos
πx
解析：D中，y＝sin
2πx，T＝＝1，且sin(－2πx)＝－sin
2πx.
答案：D
2．已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin
2θ等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2(sin
θcos
θ)2＝.∴(sinθcosθ)2＝
∵θ为第三象限角，∴sin
θ＜0，cos
θ＜0，
∴sin
θcos
θ＞0，∴sin
θcos
θ＝.
∴sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝.
答案：A
3．已知cos(α－)＝－，则sin(－3π＋2α)＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：易得cos(2α－)＝2cos2(α－)－1＝2×(－)2－1＝－.又cos(2α－)＝cos(－2α)＝sin
2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin
2α＝－(－)＝.故选A.
答案：A
4．已知sin
θ＝，且＜θ＜，则cos等于( )
A.
B.
C．±
D．±
解析：∵sin
θ＝＞0且＜θ＜，
∴＜θ＜π，∴＜＜.∴cos
θ＝－，
cos＝ ＝ ＝ ＝.
答案：A
5．设π<α<3π，cos
α＝m，cos
＝n，cos
＝p，则下列各式正确的是( )
A．n＝－
B．n＝
C．p＝－
D．p＝
解析：因为π<α<3π，
所以<<，cos
＝－，
即n＝－，因为<<，
所以<<，cos
＝± ，
所以p＝± .故选A.
答案：A
6．已知2cos2x＋sin
2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
解析：2cos2x＋sin
2x＝sin
2x＋cos
2x＋1＝sin(2x＋)＋1，故A＝，b＝1.
答案： 1
7．定义运算＝ad－bc，若cos
α＝，＝，0<β<α<，则sin
＝________.
解析：由题意可知，＝sin
αcos
β－sin
βcos
α＝sin(α－β)＝，因为0<β<α<，所以0<α－β<，
所以cos(α－β)＝，又cos
α＝，
所以sin
α＝，所以cos
2α＝cos2α－sin2α＝－，sin
2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos
2α·cos(α－β)＋sin
2αsin(α－β)＝－×＋×＝，
所以sin
＝＝.
答案：
8．若sin
α＋sin
β＝(cos
β－cos
α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝________.
解析：因为α，β∈(0，π)，所以sin
α＋sin
β>0，所以cos
β－cos
α>0，cos
β>cos
α，又因为在(0，π)上，y＝cos
x是减函数，所以β<α，所以0<α－β<π，由原式知2sincos＝，所以tan＝，所以＝，所以α－β＝.
答案：
9．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，求cos
2A的值．
解析：由cos(＋A)＝知0＜A＜.
又由cos(＋A)＝得(cos
A－sin
A)＝，
∴(cos
A－sin
A)2＝，∴1－sin
2A＝，
∴sin
2A＝.从而cos
2A＝
＝.
10．已知sin(x＋)sin(－x)＝，x∈(，π)，求sin
4x，cos
4x，tan
4x的值．
解析：∵sin(x＋)sin(－x)
＝sin(＋x)cos[－(－x)]＝sin(x＋)cos(＋x)
＝sin
(2x＋)＝cos
2x＝，∴cos
2x＝.
∵x∈(，π)，∴2x∈(π，2π)．
∴sin
2x＝－.
∴sin
4x＝2sin
2xcos
2x＝－.
∴cos
4x＝2cos2
2x－1＝2×－1＝－.
∴tan
4x＝＝.
[B组 能力提升]
1．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)等于( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：cos(＋2α)＝cos
2(＋α)＝2cos2(＋α)－1
＝2sin2(－α)－1＝2×()2－1＝－.
答案：A
2．已知函数f(x)＝cos
x·sin(x＋)，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)既是奇函数又是周期函数
B．f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x)的最大值为1
D．f(x)在区间[0，]上单调递减
解析：f(x)＝cos
x·sin(x＋)＝sin
xcos
x＋cos2x＝sin
2x＋(1＋cos
2x)＝sin(2x＋)＋，所以f(x)不是奇函数，f(x)的最大值不为1，f(x)在区间[0，]上不是单调函数，所以A，C，D错误．令2x＋＋kπ＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故f(x)的图像关于直线x＝对称，故选B.
答案：B
3．若θ∈，sin
2θ＝，则tan
θ＝________.
解析：因为θ∈，则2θ∈，
因为sin
2θ＝，所以cos
2θ＝－，
所以sin
θ＝ ＝ ＝，
cos
θ＝ ＝ ＝.
所以tan
θ＝＝＝.
答案：
4．若tan(α＋)＝3＋2，则＝________.
解析：由tan(α＋)＝＝3＋2，得tan
α＝.
所以＝＝tan
α＝.
答案：
5．(1)已知cos
θ＝－，θ∈(，π)，求－的值；
(2)在△ABC中，若cos
A＝，求sin2＋cos
2A的值．
解析：(1)∵cos
θ＝－，θ∈(，π)，
∴sin
θ＝
＝
＝，
∴－＝－＝－＝
＝＝＝＝－＝－.
(2)sin2＋cos
2A＝＋cos
2A
＝＋2cos2A－1＝＋×＋2×()2－1＝－.
6．设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2
x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角，若cos
B＝，f()＝－，且∠C为锐角，求sin
A.
解析：(1)f(x)＝cos(2x＋)＋sin2
x
＝cos
2xcos
－sin
2xsin
＋
＝－sin
2x，
∴函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
(2)由于f()＝－sin
C＝－，∴sin
C＝.
∵C为锐角，∴C＝.
由cos
B＝得sin
B＝.
因此sin
A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C
＝×＋×
＝.
PAGE第三章
三角恒等变换
章末检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知
cos
θ＝，θ∈(0，π)则
cos
＝( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：原式＝sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝2××＝.
答案：C
2．已知sin
α－cos
α＝，α∈(0，π)，则tan
α＝( )
A．－1
B．－
C.
D．1
解析：∵sin
α－cos
α＝，∴(sin
α－cos
α)2＝2.
∴sin
2α＝－1，又α∈(0，π)，∴2α＝π，α＝π.
则tan
α＝tan
π＝－1.
答案：A
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin
2α等于( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：sin(α＋45°)＝(sin
α＋cos
α)·＝，
∴sin
α＋cos
α＝.两边平方，∴1＋sin
2α＝，
∴sin
2α＝－.
答案：B
4．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－
B.
C．2
D．－2
解析：∵α是第三象限角，cos
α＝－，∴sin
α＝－.
∴＝＝
＝·＝＝＝－.
答案：A
5．已知sin
2α＝(＜2α＜π)，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)＝( )
A．－2
B．－1
C．－
D.
解析：由sin
2α＝?tan
2α＝－，
∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.
答案：A
6．已知cos
θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin
＋cos
＝( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，
∴sin
＝＝，cos
＝－＝－，
∴sin
＋cos
＝，故选D.
答案：D
7．已知tan
α＝2，则＝( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：原式＝
＝＝＝－3.
答案：D
8．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]
＝＝＝＝.
答案：C
9．函数f(x)＝cos2x－2cos2
(x∈[0，π])的最小值为( )
A．－1
B．－1
C.
D．－
解析：由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2
＝cos2x－(1＋cos
x)＝cos2x－cos
x－1，设t＝cos
x(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1,1]，y＝t2－t－1＝(t－)2－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值为－，所以函数f(x)的最小值为－，故选D.
答案：D
10．已知α、β∈(0，)，＝，且3sin
β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由条件得tan
α＝，又3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)?3sin(α＋β)cos
α－3cos(α＋β)sin
α＝sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α?sin(α＋β)．cos
α＝2cos(α＋β)sin
α?tan(α＋β)＝2tan
α＝1，∴α＋β＝.
答案：B
11．已知函数f(x)＝cos2(＋x)－cos2(－x)，则f()等于( )
A.
B．－
C.
D．－
B f(x)＝cos2(＋x)－cos2(－x)＝cos2(＋x)－sin2(＋x)＝cos
2(＋x)＝
cos(＋2x)＝－sin
2x，则f()＝－sin
＝－，故选B.
12．已知tan(α＋)＝，且－＜α＜0，则＝( )
A．－
B．－
C．－
D.
解析：由tan(α＋)＝＝，得tan
α＝－.又－＜α＜0，所以sin
α＝－，故＝＝2sin
α＝－，故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．化简cos
20°－cos
40°－cos
80°等于________．
解析：原式＝cos
20°－cos(60°－20°)－cos(60°＋20°)＝cos
20°－2cos
60°cos
20°＝0.
答案：0
14．已知向量a＝(4,3)，b＝(sin
α，cos
α)，且a⊥b，则tan
2α＝________.
解析：∵a⊥b，∴4sin
α＋3cos
α＝0，
∴tan
α＝－，∴tan
2α＝＝＝－.
答案：－
15．已知sin(α－)＝，α∈(0，)，则sin
α＝________.
解析：由α∈(0，)得α－∈(－，)，所以cos(α－)＝，则sin
α＝sin[(α－)＋]＝sin(α－)cos
＋cos(α－)sin
＝×＋×＝.
答案：
16．设α是第二象限角，tan
α＝－，且sin
＜cos
，则cos
＝________.
解析：∵α是第二象限角，
∴可能是第一象限角或第三象限角．
又sin
＜cos
，
∴为第三角限角，∴cos
＜0.
∵tan
α＝－，
∴cos
α＝－，∴cos
＝－＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)化简：sin
50°(1＋tan
10°)．
解析：原式＝sin
50°(1＋)＝sin
50°·
＝sin
50°·
＝sin
50°·
＝cos
40°·＝＝＝1.
18．(12分)已知tan(＋α)＝2，tan
β＝.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
解析：(1)解法一 ∵tan(＋α)＝2，∴＝2.
∴＝2.解得tan
α＝.
解法二 ∵tan(＋α)＝2，
∴tan
α＝tan[(＋α)－]
＝＝＝.
(2)
＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
19．(12分)已知函数f(x)＝cos2x＋2sin
xcos
x－sin2x.
(1)当x∈[0，]时，求f(x)的值域；
(2)若f(θ)＝，且＜θ＜，求cos
2θ的值．
解析：(1)f(x)＝cos
2x＋sin
2x＝2sin(2x＋)，
∵x∈[0，]，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴当x∈[0，]时，f(x)的值域为[－1,2]．
(2)∵f(θ)＝，∴sin(2θ＋)＝.
∵＜θ＜，∴＜2θ＋＜，∴cos(2θ＋)＝－，
∴cos
2θ＝cos[(2θ＋)－]
＝cos(2θ＋)cos
＋sin(2θ＋)sin
＝－×＋×＝.
20．(12分)已知在△ABC中，sin
A＋cos
A＝.
(1)求sin
Acos
A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求sin
A－cos
A的值．
解析：(1)∵sin
A＋cos
A＝，
两边平方得1＋2sin
Acos
A＝，∴sin
Acos
A＝－.
(2)由(1)sin
Acos
A＝－＜0，且0＜A＜π，
可知cos
A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
(3)(sin
A－cos
A)2＝1－2sin
Acos
A＝，
由(2)知sin
A－cos
A＞0，
∴sin
A－cos
A＝.
21．(13分)已知0＜α＜，β为f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期，a＝(tan(α＋β)，－1)，b＝(cos
α，2)，且a·b＝m.求的值．
解析：∵β为f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期，故β＝π，
∵a·b＝m.
又a·b＝cos
α·tan(α＋β)－2，∴cos
αtan(α＋)＝m＋2，
由于0＜α＜，所以
＝
＝＝
＝2cos
α·＝2cos
αtan(α＋)＝2(2＋m)．
22．(13分)已知函数f(x)＝4cos2ωx＋2sin
2ωx－(ω＞0)在半个周期内的图
像如图所示，H为图像的最高点，E，F是图像与直线y＝的交点，且·＝2.
(1)求实数ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0∈(－，－)，求f(x0＋2)－的值．
解析：(1)由题意，得f(x)＝2cos
2ωx＋2sin
2ωx＋＝4sin(2ωx＋)＋.
因为·＝2，所以·(＋)＝2，所以·＝0，所以HF⊥EH.又由三角函数的图像特点，可知EH＝HF，所以△EFH是等腰直角三角形．
又点H到直线EF的距离为4，所以EF＝8，所以函数f(x)的最小正周期为16，
所以ω＝，函数f(x)的值域是[－4＋，4＋]．
(2)由(1)，知f(x)＝4sin(x＋)＋，
因为f(x0)＝，所以sin(x0＋)＝－.
因为x0∈(－，－)，
所以x0＋∈(－，)，所以cos(x0＋)＝，
所以f(x0＋2)－＝4sin(x0＋＋)
＝4sin[(x0＋)＋]
＝4sin(x0＋)cos
＋4cos(x0＋)sin
＝4×(－)×＋4××＝.
BSD
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