第一章
三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．期末考试，数学课从上午8点半开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了( )
A．360°
B．720°
C．－360°
D．－720°
解析：因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.
答案：D
2．－1
122°角的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵－1
122°＝－4×360°＋318°，而318°的终边在第四象限，∴－1
122°角的终边在第四象限．
答案：D
3．已知角α为锐角，则角2α为( )
A．第一、第二象限角
B．第一、第三象限角
C．第一、第四象限角
D．以上答案都不对
解析：∵0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°.
∴2α为第一、二象限角或终边落在y轴正半轴上．
答案：D
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解析：终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．
答案：D
5．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )
A．A＝B＝C
B．A＝B∩C
C．A∪B＝C
D．A?B?C
解析：∵90°∈C,90°?B,90°?A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180?A，∴选项B错误．故选D.
答案：D
6．与2
017°角终边相同的最小正角是________角．
解析：因为与2
017°角终边相同的角是2
017°＋k·360°(k∈Z)，所以当k＝－5时，与2
017°角终边相同的最小正角是217°.
答案：217°
7．下列说法：
①第一象限角一定不是负角．
②第二象限角大于第一象限角．
③第二象限角是钝角．
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误说法的序号为________．(把错误说法的序号都写上)
解析：①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确．②120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°＞120°，所以②不正确．③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确．④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．故①②③④均不正确．
答案：①②③④
8．游乐场中的摩天轮有10个座舱，每个座舱最多乘4人，每30
min转一圈，估算16
h内最多有________人乘坐．
解析：每一个周期最多乘坐4×10＝40(人)，16
h内共有32个周期，因而在16
h内最多有40×32＝1
280(人)乘坐．
答案：1
280
9．在角的集合{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}中
(1)有几种终边不相同的角？
(2)在－360°～360°范围内的角有几个？
解析：(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°＜45°＋k×90°＜360°，得－＜k＜.
又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
∴给定的集合中在－360°～360°范围内的角共有8个．
10．在与1
010°角终边相同的角中，分别求出符合下列条件的角：(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)在－720°～720°范围内的角．
解析：与1
010°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋1
010°，k∈Z}．
(1)最大的负角在－360°～0°的范围内，则应有－360°≤k·360°＋1
010°＜0°，k∈Z，解得k＝－3，则最大的负角为－70°角．
(2)最小的正角在0°～360°的范围内，则应有0°≤k·360°＋1
010°＜360°，k∈Z，解得k＝－2，则最小的正角为290°角．
(3)由－720°≤k·360°＋1
010°＜720°，k∈Z，可得k＝－4，－3，－2，－1，
则在－720°～720°范围内的角有：
1
010°－4×360°＝－430°；1
010°－3×360°＝－70°；
[B组 能力提升]
1.若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )
A．③⑦
B．④⑧
C．②⑤⑧
D．①③⑤⑦
解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，∴k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°，对应区域③；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°＜＜n·360°＋315°，对应区域⑦.
∴角的终边所在的区域为③⑦.
答案：A
2．终边在直线y＝－x上的角α的取值集合是( )
A．{α|α＝n·360°＋135°，n∈Z}
B．{α|α＝n·360°－45°，n∈Z}
C．{α|α＝n·180°＋225°，n∈Z}
D．{α|α＝n·180°－45°，n∈Z}
解析：角α的取值集合为{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°－45°，k∈Z}∪{α|α＝2k·180°－45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°－45°，n∈Z}，故选D.
答案：D
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于________．
解析：由－180°＜k·90°－36°＜180°(k∈Z)得－144°＜k·90°＜216°(k∈Z)，所以－＜k＜(k∈Z)，所以k＝－1,0，1,2，所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案：{－126°，－36°，54°，144°}
4.如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为________．
解析：角α的取值集合由两部分组成：
①{α|k·360°＋30°≤a＜k·360°＋105°，k∈Z}；
②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的取值集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．
答案：{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}
5．已知角α，β的终边有下列关系，分别求出α，β间的关系式．
(1)α，β的终边关于原点对称；
(2)α，β的终边关于x轴对称；
(3)α，β的终边关于y轴对称．
解析：(1)由于α，β的终边互为反向延长线，故α，β相差180°的奇数倍，如图①，于是有α－β＝(2k－1)·180°，k∈Z.
(2)α与β的终边关于x轴对称，则α与－β的终边相同，即－β＝α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°，k∈Z，如图②.
(3)当α，β的终边关于y轴对称时，α与－β的终边互为反向延长线，即α－(－β)＝(2k－1)·180°，k∈Z，即α＋β＝(2k－1)·180°，k∈Z，如图③.
6.如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1
s内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2
s到达第三象限，经过14
s后又回到出发点A，求角θ并判断其终边所在的象限．
解析：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，
则θ＝，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，
即67.5°＜θ＜112.5°，则67.5°＜＜112.5°，k∈Z，
所以k＝3，或k＝4.
故θ＝，或θ＝.
易知0°＜＜90°，90°＜＜180°，
故角θ在第一或第二象限．
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三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵1
rad＝°，∴α＝－2
rad＝－°≈－114.60°，故角α的终边所在的象限是第三象限．
答案：C
2．圆的半径是6
cm，则圆心角为15°的扇形面积是( )
A.
cm2
B.
cm2
C．π
cm2
D．3π
cm2
解析：∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，
∴S＝lr＝××6＝(cm2)．
答案：B
3．一个扇形的弧长与面积都等于6，则这个扇形圆心角的弧度数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设扇形的半径为r，圆心角为α(0＜α＜2π)．根据扇形面积公式S＝lr得6＝×6×r，解得r＝2.又扇形弧长公式l＝rα，所以α＝＝3.
答案：C
4.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.(k∈Z)
解析：阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．
答案：D
5．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为( )
A．1弧度
B．2弧度
C．3弧度
D．4弧度
解析：设扇形所对的圆心角为α弧度，半径为r，扇形的面积为S，则由已知得S＝|α|r2＝|α|×12＝1，所以|α|＝2.
答案：B
6．112°30′的弧度数为________．
解析：112°30′＝112.5°×＝π.
答案：π
7．半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆周角的弧度数为________，度数为________．
解析：半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆心角的弧度数为1，所对的圆周角的弧度数为，度数为°.
答案： °
8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
解析：由题意，角α与角的终边相同，则＋2π＝π，－2π＝－π，－4π＝－π.
答案：－，－，，
9．把下列各角化成0～2π间的角加上2kπ(k∈Z)的形式，并指出它们是哪个象限的角．
(1)π；(2)－；(3)－1
560°；(4)930°.
解析：(1)π＝4π＋，是第二象限角；
(2)－π＝－6π＋，是第一象限角；
(3)－1
560°＝－1
560×＝－＝－10π＋，是第三象限角；
(4)930°＝930×＝π＝4π＋，是第三象限角．
10．解答下列各题：
(1)若扇形的周长为4
cm，中心角为2弧度，求该扇形的面积；
(2)在半径为6的圆中，求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积．
解析：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得
故扇形的面积S＝rl＝1(cm2)．
(2)如图，因为AB＝6，OA＝OB＝6，所以∠AOB＝.
所以扇形AOB的面积
S扇形AOB＝l·r＝αr2＝×r2＝××62＝6π.
又因为△AOB是等边三角形，
所以S△AOB＝×62＝9.
所以弓形面积S＝6π－9.
[B组 能力提升]
1．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．?
B．{α|0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
解析：[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]在k≥1或k≤－2时为空集，于是，A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．
答案：D
2.如图，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
解析：40°＝40×＝，30°＝30×＝，
∴S＝r2·＋r2·＝.
答案：A
3．已知四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，用弧度制写出这四个角从小到大的顺序为________．
解析：因为四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，所以设这四个角的弧度数分别为x,3x,7x,9x.根据题意得，x＋3x＋7x＋9x＝2π，则x＝，3x＝，7x＝，9x＝.
答案：，，，
4．已知扇形的周长为4
cm，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
解析：设扇形圆心角为α(0＜α＜2π)，半径为r
cm，则2r＋αr＝4，
∴α＝－2.
∴S扇形＝α·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时α＝2.
答案：1
cm 2 1
cm2
5．如图，已知一截面为长
dm，宽1
dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，第四次翻滚时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°角．求点A走过的路程及走过的弧所对扇形的总面积．
解析：如题图，弧AA1所在的圆的半径是2
dm，所对的圆心角为；弧A1A2所在圆的半径是1
dm，所对的圆心角是；弧A2A3所在圆的半径是
dm，所对的圆心角是，所以点A走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝
π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×22×＋××12＋×()2×＝(dm2)．
6．圆上一点A依逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0＜θ≤π)，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么θ是多少弧度？
解析：∵0＜θ≤π，∴0＜2θ≤2π，
又∵2θ在第三象限，∴π＜2θ＜π，
∴14θ＝2kπ，k∈Z，∴2θ＝kπ，k∈Z.
当k＝4,5时，2θ＝π，π，它们都在(π，π)内．
因此θ＝π
rad或θ＝π
rad.
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三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有( )
A．sin
α＝
B．cos
α＝－
C．sin
α＝
D．tan
α＝－
解析：由三角函数的定义可知，|OP|＝＝.
∴sin
α＝±＝±，cos
α＝±＝±，tan
α＝－.
答案：D
2．sin(－930°)的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：sin(－930°)＝sin(－3×360°＋150°)＝sin
150°＝.
答案：B
3．已知角θ的终边上有一点P(－4a,3a)(a≠0)，则2sin
θ＋cos
θ的值是( )
A.
B．－
C.或－
D．不确定
解析：r＝＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，角在第二象限，
故sin
θ＝＝＝，cos
θ＝＝＝－，
∴2sin
θ＋cos
θ＝－＝；
当a＜0时，r＝－5a，θ角在第四象限，故sin
θ＝－，cos
θ＝，
∴2sin
θ＋cos
θ＝－＋＝－.
答案：C
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝( )
A．－8
B．8
C．－4
D．4
解析：由三角函数的定义可知sin
θ＝＝－，所以y＝－8.
答案：A
5．若sin
θ<0，cos
θ>0，则是( )
A．第二象限角
B．第三象限角
C．第二或第四象限角
D．第三或第四象限角
解析：∵sin
θ<0，cos
θ>0，∴θ是第四象限角，
∴2kπ－<θ<2kπ，k∈Z，
∴kπ－<答案：C
6．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a的值是________．
解析：sin
750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin
30°＝，
又sin
750°＝，∴＝，解之得a＝.
答案：
7．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin
α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos
α＝
.
其中正确的是________．
解析：根据任意角的三角函数定义可知①正确；对②，我们可举出反例sin＝sin；对③，可指出sin＞0，但不是第一、二象限的角；对④，应是cos
α＝(因为α是第二象限的角，所以有x＜0)．
答案：①
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin
α＞0，cos
α≤0，则实数a的取值范围为________．
解析：∵sin
α＞0，cos
α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上．
∴3a－9≤0且a＋2＞0.∴－2＜a≤3.
答案：(－2,3]
9．在直角坐标系的单位圆中，α＝.
(1)画出角α；
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
(3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值．
解析：(1)因为α＝＝2π＋，如图所示，以原点为角的顶点，以x轴正半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P.
(2)由于α＝，点P在第二象限，所以点P的坐标为(－，)．
(3)sin＝，cos＝－.
10．已知角α的终边经过点P(3,4)．
(1)求tan(－6π＋α)的值；
(2)求·sin(α－2π)·cos(2π＋α)的值．
解析：(1)设x＝3，y＝4，则r＝＝5，
所以sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝＝，
所以tan(－6π＋α)＝tan
α＝.
(2)原式＝·sin
α·cos
α＝sin2α＝()2＝.
[B组 能力提升]
1．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(，)和(－，)，那么sin
αcos
β＝( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵角α，β的终边与单位圆分别交于点(，)和(－，)，故由定义知sin
α＝，cos
β＝－，
∴sin
αcos
β＝×(－)＝－.
答案：B
2．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是( )
A．{－3，－1,1,3}
B．{－3，－1}
C．{1,3}
D．{－1,3}
解析：若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1.所以函数f(x)的值域为{－1,3}．
答案：D
3．求值sin
420°cos
750°＋sin(－690°)·cos(－660°)＝________.
解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin
60°cos
30°＋sin
30°cos
60°＝×＋×＝1.
答案：1
4．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos
α＝－，则实数a＝________.
解析：由余弦函数的定义知，＝－.化简并整理，得11a2＋20a－4＝0.解得a＝－2或a＝，又因为2a＋1＜0，所以a＝－2.
答案：－2
5．张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos
θ＝x，问能否求出sin
θ，cos
θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．”他对此题，百思不得其解．同学们，你们能帮张明求解吗？
解析：由题意，得r＝OP＝，
则cos
θ＝＝
∵cos
θ＝x，
∴＝x.
∵x≠0，∴x＝1，或x＝－1.
当x＝1时，点P的坐标为(1,3)，角θ为第一象限角，
此时，sin
θ＝＝，cos
θ＝；
当x＝－1时，点P的坐标为(－1,3)，角θ为第二象限角，此时，sin
θ＝，cos
θ＝－.
6．已知＝－，且lg
cos
α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sin
α的值．
解析：(1)由＝－可知sin
α＜0，
∴α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角．
由lg
cos
α有意义可知cos
α＞0，
∴α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角．
综上可知，角α是第四象限角．
(2)∵点M(，m)在单位圆上，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
根据正弦函数的定义，可知sin
α＝－.
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三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin
α＝sin
β
B．sin(α－2π)＝sin
β
C．cos
α＝cos
β
D．cos(2π－α)＝－cos
β
解析：由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos
α＝cos
β.
答案：C
2．若cos(2π－α)＝，则sin(－α)等于( )
A．－
B．－
C.
D．±
解析：cos(2π－α)＝?cos
α＝，sin(－α)＝－cos
α＝－.
答案：A
3．已知sin＝，则sin的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：sin＝sin
＝sin＝.
答案：C
4．cos(kπ＋)(k∈Z)的值为( )
A．±
B.
C．－
D．±
解析：当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝cos(π＋)＝－cos＝－.
答案：A
5.等于( )
A．－sin
2－cos
2
B．－sin
2＋cos
2
C．sin
2＋cos
2
D．sin
2－cos
2
解析：因为＜2＜π，所以sin
2＞0，cos
2＜0，即sin
2－cos
2＞0，则原式＝＝＝|sin
2－cos
2|＝sin
2－cos
2.故选D.
答案：D
6．已知sin
＝，则cos＝________.
解析：因为＋＝，
所以cos
＝cos[－]＝sin＝.
答案：
7．sin(－1
200°)·cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)＝________.
解析：原式＝－sin
1
200°cos
1
290°－cos
1
020°·sin
1
050°＝－sin(－60°＋7×180°)·cos(30°＋7×180°)－cos(－60°＋3×360°)·sin(－30°＋3×360°)＝sin(－60°)(－cos
30°)－cos(－60°)sin(－30°)＝－×(－)－×(－)＝1.
答案：1
8．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2
015)＝－1，则f(2
016)的值为________．
解析：∵f(2
015)＝asin(2
015π＋α)＋bcos(2
015π＋β)＝－1，∴f(2
016)＝
asin(2
016π＋α)＋bcos(2
016π＋β)＝asin[π＋(2
015
π＋α)]＋bcos[π＋(2
015π＋β)]＝－[asin(2
015
π＋α)＋bcos(2
015π＋β)]＝1.
答案：1
9．已知sin(π＋α)＝，求sin(－α)－·cos(2π－α)的值．
解析：∵sin(π＋α)＝，∴sin
α＝－.
∴原式＝sin(－α)－·cos(2π－α)
＝－sin
α－·cos
α
＝－sin
α－·cos
α＝－sin
α－
＝－＝－＝－＝2.
10．已知A、B是△ABC的两个内角，且sin
A＝，sin
(A＋B)＝1，求sin(3A＋2B)的值．
解析：∵A、B是△ABC的两个内角，
∴0＜A＜π，0＜B＜π，且0＜A＋B＜π.
由sin(A＋B)＝1，可得A＋B＝.
又∵sin
A＝，
∴sin(3A＋2B)＝sin[2(A＋B)＋A]＝sin(π＋A)＝－sin
A＝－.
[B组 能力提升]
1．下列三角函数：
①sin；②cos；
③sin；④cos；
⑤sin，(n∈Z)．其中函数值与sin
的值相同的是( )
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①③⑤
解析：当n为奇数时，sin＝sin＝sin；当n为偶数时，sin＝sin＝－sin，故①错，cos＝cos
＝sin，故②正确；sin＝sin，故③正确；cos＝cos＝－cos＝－sin，故④错；sin＝sin＝sin，故⑤正确．
答案：C
2．k为整数，化简的结果是( )
A．±1
B．－1
C．1
D．tan
θ
解析：当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，则
原式＝
＝＝＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
综上，原式的值为－1.
答案：B
3．化简的值等于________．
解析：原式＝
＝
＝＝
＝－＝－.
答案：－
4．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
解析：因为cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
5．设k为整数，化简：.
解析：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝
＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)．
原式＝
＝＝＝－1.
∴对于k∈Z，原式＝－1.
6．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(－α)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解析：(1)f(α)＝＝－cos
α.
(2)∵sin(－α)＝－cos
α＝，
∴f(α)＝.
(3)∵＝10π＋，
∴f(－)＝－cos(－)＝－cos
＝－cos
＝－.
PAGE第一章
三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．有下列说法：
①作正弦函数的图像时，单位圆的半径长与x轴的单位长度必须一致；
②y＝sin
x，x∈[0,2π]的图像关于点P(π，0)对称；③y＝sin
x，x∈的图像关于直线x＝成轴对称图形；
④正弦函数y＝sin
x的图像不超出直线y＝－1和y＝1所夹的区域．
其中，正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：作出正弦函数y＝sin
x的图像，可知①②③④均正确．
答案：D
2．函数y＝－sin
x，x∈的简图是( )
答案：D
3．方程|sin
x|＝的根中，在[0,2]内的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：如图所示，在区间[0，π]内|sin
x|＝的两个根为和，又因为2<，所以在区间[0,2]内|sin
x|＝只有一个根.
答案：A
4．在[0,2π]内，不等式sin
x＜－的解集是( )
A．(0，π)
B.
C.
D.
解析：画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的图像如下：
因为sin
＝，所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0,2π]内，满足sin
x＝－的是x＝或x＝.
由图可知不等式sin
x＜－的解集是.
答案：C
5．方程x＋sin
x＝0的根有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
解析：设f(x)＝－x，g(x)＝sin
x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点，则方程x＋sin
x＝0仅有一个根．
答案：B
6．已知f(sin
x)＝x且x∈，则f＝_________________.
解析：因为x∈，所以sin
x＝时，x＝，
所以f＝f＝.
答案：
7．由正弦函数y＝sin
x的图像可知，若sin
x＜0，则自变量x的取值范围是________．
解析：在[－π，π]上，sin
x＜0的解集是{x|－π＜x＜0}，
∴sin
x＜0的解集为{x|2kπ－π＜x＜2kπ，k∈Z}．
答案：2kπ－π＜x＜2kπ，k∈Z
8．如果直线y＝a与函数y＝sin
x，x∈[0，π]的图像有且只有一个交点，则a的取值范围是________．
解析：画出y＝sin
x，x∈[0，π]的图像，如图直线y＝a与该图像只有一个交点时，a＝sin
或sin
≤a＜sin
π，即a＝1或－1≤
a＜0.
答案：－1≤a＜0或a＝1
9．画出下列函数的简图，并指出其与函数y＝sin
x图像的关系．
(1)y＝|sin
x|；(2)y＝sin|x|.
解析：(1)列表：
x
－
－
0
π
2π
y＝sin
x
－1
－
0
1
0
－
－1
0
y＝|sin
x|
1
0
1
0
1
0
描点、连线成图，如图．
与y＝sin
x图像的关系：函数y＝|sin
x|的图像可以看作是把y＝sin
x图像中x轴及上方的部分不变，把x轴下方的图像沿x轴翻折上去而得到．
(2)列表：
x
－2π
－π
－π
－
0
π
2π
y＝|x|
2π
π
π
0
π
2π
y＝sin|x|
0
－1
0
1
0
1
0
－1
0
描点、连线成图，如图．
与y＝sin
x图像的关系：y轴右侧部分与y＝sin
x(x＞0)图像完全相同，y轴左侧部分是把y＝sin
x图像在y轴右侧的部分沿y轴翻折得到，即函数y＝sin|x|的图像关于y轴对称，是一个偶函数．
10．求方程sin
x＝lg(x＋6)根的个数．
解析：构造两个函数f(x)＝sin
x，g(x)＝lg(x＋6)．
在同一坐标系下画出两个函数的图像，图像交点的横坐标就是方程的根．
由图知，两图像有三个交点，故方程有三个实根．
[B组 能力提升]
1．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝|sin
x|
B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x|
D．y＝－|sin
x|
解析：∵|sin
x|≥0，－|sin
x|≤0，∴选项A，D不成立；
对于选项B，当x≥0时，y＝sin|x|＝sin
x，显然不成立；故C成立．
答案：C
2．方程2x＝sin
x的实数解有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无穷多个
解析：由图像可知y＝sin
x为周期函数，∴其交点的个数有无穷多个．
答案：D
3．若sin
x＝a－1有意义，则a的取值范围是________．
解析：因为－1≤sin
x≤1，所以－1≤a－1≤1.即0≤a≤2.
答案：[0,2]
4．函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是_______．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图像，如图所示．
当f(x)＞时，函数f(x)的图像位于函数y＝的图像的上方，此时－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈N)．
答案：
5．方程sin
x＝在x∈[，π]上有两个实数解，求a的取值范围．
答案：(－1,1－)
6．用“五点法”作出函数y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．
①y＞1；②y＜1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的图像有两个交点，求a的取值范围．
解析：列表如下：
x
－π
－
0
π
sin
x
0
－1
0
1
0
1－2sin
x
1
3
1
－1
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图：
(1)由图像可知，图像在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1，
所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的图像有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1.
所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3).
PAGE第一章
三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数y＝2sin
x－3的值域是( )
A．[－1,1]
B．[－5，－1]
C．[－5，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：∵－1≤sin
x
≤1，∴－2≤2sin
x
≤2，∴－5≤2sin
x－3≤－1，即－5≤y
≤－1.
答案：B
2．函数f(x)＝x·sin(π＋x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：函数的定义域是R，关于原点对称，
而f(x)＝x·(－sin
x)＝－xsin
x，
∵f(－x)＝－(－x)·sin(－x)＝－xsin
x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
答案：B
3．已知sin
α＞sin
β，α∈，β∈，则( )
A．α＋β＞π
B．α＋β＜π
C．α－β≥－π
D．α－β≤－π
解析：∵β∈，∴π－β∈，且sin(π－β)＝sin
β.
∵y＝sin
x在x∈时单调递增，sin
α＞sin
β.
∴sin
α＞sin(π－β)?α＞π－β?α＋β＞π，故选A.
答案：A
4．函数f(x)＝sin
x在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos＝
( )
A．0
B.
C．－1
D．1
解析：由题意知可取[a，b]＝[－，]，故cos＝cos
0＝1.
答案：D
5．若f(x)＝5sin
x在[－b，－a]上是增加的，则f(x)在[a，b]上是( )
A．增加的
B．减少的
C．奇函数
D．偶函数
解析：因为函数f(x)＝5sin
x，x∈R是奇函数，所以在关于原点对称的区间上有相同的单调性，所以由f(x)在[－b，－a]上是增加的知f(x)在[a，b]上也是增加的．
答案：A
6．函数y＝lg
sin
的定义域是________．
解析：由sin
＞0，得2kπ＜＜2kπ＋π，k∈Z，解得4kπ＜x＜4kπ＋2π，k∈Z.
答案：(4kπ，4kπ＋2π)，k∈Z
7．若函数y＝sin
x在区间[－，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图像知，要使y＝sin
x在[－，a]上为增函数，需满足－＜a≤.
答案：(－，]
8．下列说法正确的是________(只填序号)．
①y＝|sin
x|的定义域为R；
②y＝3sin
x＋1的最小值为1；
③y＝－sin
x为奇函数；
④y＝sin
x－1的单调递增区间为(k∈Z)．
解析：当sin
x＝－1时，y＝3sin
x＋1的值为－2，②错误；y＝sin
x－1的单调递增区间为
(k∈Z)，④错误．应填①③.
答案：①③
9．求函数y＝＋log2(2sin
x－)的定义域．
解析：由题意得
即
∴由图可知，所求函数的定义域为{x|－＜x＜－，或＜x＜，或＜x＜}．
10．(1)比较大小：sin
与sin
；
(2)锐角三角形ABC中，比较sin
A与cos
B的大小．
解析：(1)∵sin
＝sin(π－)＝sin
，
0＜＜＜，y＝sin
x在(0，)上是增加的，
∴sin
＜sin
，
即sin
＜sin
.
(2)由△ABC为锐角三角形，
∴∠A＋∠B＞，即∠A＞－∠B，－∠B∈(0，)．
∴sin
A＞sin(－∠B)＝cos
B，即sin
A＞cos
B.
[B组 能力提升]
1．函数f(x)＝是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
解析：由题意，知sin
x≠1，即f(x)的定义域为，此函数的定义域不关于原点对称．
∴f(x)是非奇非偶函数．
答案：D
2．函数y＝sin2x－3sin
x＋2的最小值为( )
A．2
B．0
C.
D．6
解析：利用换元法转化为求二次函数的最小值．设sin
x＝t，－1≤t≤1，则有y＝t2－3t＋2＝2－，所以当t＝1，即sin
x＝1时，函数y＝sin2x－3sin
x＋2取最小值0.
答案：B
3．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中的假命题是________．(写出所有假命题的序号)
解析：易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos
x是偶函数，①④都不成立．
答案：①④
4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin
x，则f()的值为________．
解析：由f(x)的最小正周期是π，知f()＝f()＝f(－)．由f(x)是偶函数知f(－)＝f()．又当x∈[0，]时，f(x)＝sin
x，∴f()＝f(－)＝f()＝sin
＝.
答案：
5．求函数y＝－2sin2
x＋5sin
x－2的最值以及取得最值时相应的x值．
解析：设t＝sin
x，则t∈[－1,1]．
∴y＝－2t2＋5t－2＝－2(t－)2＋，∴当t＝－1时，ymin＝－9，此时sin
x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z；当t＝1时，ymax＝1.
此时sin
x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z.
综上知，y的最大值为1，此时x的值为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}；y的最小值为－9，此时x的值为{x|x＝2kπ－，k∈Z}．
6．已知函数f(x)＝，
(1)求其定义域和值域；
(2)判断奇偶性；
(3)判断周期性，若是周期函数，求周期；
(4)写出单调区间．
解析：(1)|sin
x|＞0?sin
x≠0，
∴x≠kπ，k∈Z.
∴所求函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
∵0＜|sin
x|≤1，
∴≥0，
∴所求函数的值域是[0，＋∞)．
(2)∵f(－x)＝sin(－x)|＝|sin
x|＝f(x)，且定义域关于原点对称，∴函数f(x)是偶函数．
(3)y＝|sin
x|在定义域{x|x≠kπ，k∈Z}内是周期函数，如图所示：
∴y＝|sin
x|的最小正周期是π.
∴函数f(x)＝是周期函数，最小正周期为π.
(4)单调增区间是[kπ－，kπ)(k∈Z)；
单调减区间是(kπ，kπ＋](k∈Z).
PAGE第一章
三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数y＝－xcos
x的部分图像是( )
解析：∵y＝－xcos
x是奇函数，∴图像应关于原点对称，故排除A、C两项．又x∈(0，)时，y＝－x
cos
x＜0，故选D.
答案：D
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图像和直线y＝的交点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：y＝cos＝sin
.
∵x∈[0,2π]，∴∈[0，π]，取关键点列表如下：
x
0
π
2π
0
π
sin
0
1
0
∴y＝sin
，x∈[0,2π]的图像如图．由图可知y＝sin
，x∈[0,2π]的图像与直线y＝有两个交点．
答案：C
3．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( )
A．cos
0＜cos
＜cos
1＜cos
30°＜cos
π
B．cos
0＜cos
π＜cos
＜cos
30°＜cos
1
C．cos
0＞cos
＞cos
1＞cos
30°
＞cos
π
D．cos
0＞cos
＞cos
30°＞cos
1＞cos
π
解析：在[0，]上，0＜＜＜1，又余弦函数在[0，]上是减少的，所以cos
0＞cos＞cos
＞cos
1＞0.
又cos
π＜0，所以cos
0＞cos
＞cos
＞cos
1＞cos
π.
答案：D
4．设M和m分别是函数y＝cos
x－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A.
B．－
C．－
D．－2
解析：需根据y＝cos
x的性质(或图像)确定M、m.由y＝cos
x－1，
可知ymax＝M＝－1＝－，ymin＝m＝－－1＝－.所以M＋m＝－2.
答案：D
5．对于函数f(x)＝下列命题中正确的是( )
A．该函数的值域是[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最大值－1
D．当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋(k∈Z)时，f(x)＜0
解析：画出函数f(x)的图像(图略)，由图像容易看出：该函数的值域是；当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋，k∈Z时，f(x)＜0，可知A，B，C不正确，故选D.
答案：D
6．函数y＝|cos
x|的最小正周期是________．
解析：画出y＝cos
x的图像，把位于x轴下方的图像关于x轴翻折后，可得到y＝|cos
x|的图像，可知周期为π.
答案：π
7．函数f(x)＝lg(1＋2cos
x)的定义域是________．
解析：由条件知1＋2cos
x＞0，即1≥cos
x＞－，解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.从而定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．方程x2－cos
x＝0的实数解的个数是________．
解析：作出函数y＝cos
x与y＝x2的图像，如图所示，由图像可知原方程有两个实数解．
答案：2
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2－cos
x；
(2)f(x)＝asin
x＋bcos
x(a·b≠0)．
解析：(1)∵x∈R，又f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos
x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈R，又f(－x)＝asin(－x)＋bcos(－x)
＝－asin
x＋bcos
x，
∴f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
10．求函数y＝cos2x－3cos
x＋2的值域．
解析：y＝cos2x－3cos
x＋2＝(cos
x－)2－.
∵－1≤cos
x≤1，y关于cos
x是单调递减的，
∴当cos
x＝－1时，ymax＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6；
当cos
x＝1时，ymin＝1－3×1＋2＝0.
故此函数的值域是[0,6]．
[B组 能力提升]
1．函数y＝ln
cos
x(－＜x＜)的图像是( )
解析：∵－＜x＜，∴0＜cos
x＜1，ln
cos
x＜0，图像应在x轴下方．
答案：A
2．在(0,2π)内使sin
x＞|cos
x|成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
解析：∵sin
x＞|cos
x|，∴sin
x＞0，∴x∈(0，π)．在同一坐标系中画出y＝sin
x，x∈(0，π)与y＝|cos
x|，x∈(0，π)的图像，如图．
观察图像易得使sin
x＞|cos
x|成立的x∈，故选A.
答案：A
3．已知函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)－|sin
x－cos
x|，x∈[0,2π]，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝作出区间[0,2π]内f(x)的图像，如图．由f(x)的图像可得f(x)的值域为.
答案：
4．若cos
x＝，且x∈，则m的取值范围是________．
解析：由y＝cos
x的图像可知，当x∈时y＝cos
x的值域为，所以≤≤1，解之得－≤m≤－.
答案：[－，－]
5．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝3－2cos(x＋π)；
(2)y＝.
解析：(1)∵y＝3－2cos(x＋π)＝3＋2cos
x，
∴－1≤cos
x≤1，
∴3－2≤y≤3＋2，即1≤y≤5，
∴ymax＝5，ymin＝1.
(2)解法一 (利用分子常数化)：∵y＝＝＝1＋，
∴当cos
x＝－1时，ymin＝1＋＝，无最大值．
解法二 (利用函数有界性)：由y＝，得cos
x＝.
又∵－1≤cos
x≤1，
∴||≤1，∴|y－2|≤|y－1|，
∴y2－4y＋4≤y2－2y＋1，∴2y≥3，
∴y≥，∴ymin＝，无最大值，此时，cos
x＝－1.
∴ymin＝.
6．阅读如图所示的流程图．若记y＝f(x)，
(1)写出y＝f(x)的解析式，并求函数的值域；
(2)若x0满足f(x0)＜0，且f(f(x0))＝1，求x0.
解析：(1)f(x)＝
当x≤0时，f(x)＝x2∈[0，＋∞)；
当0＜x＜π时f(x)＝2cos
x∈(－2,2)；
当x≥π时f(x)＝x3∈[π3，＋∞)．
综上可知：函数f(x)的值域为(－2，＋∞)．
(2)∵f(x0)＜0，
∴f(f(x0))＝[f(x0)]2＝1，∴f(x0)＝－1，
∴f(x0)＝2cos
x0＝－1，
∴cos
x0＝－.
又由f(x0)＜0知＜x0＜π，∴x0＝.
PAGE第一章
三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．点P(tan
θ，cos
θ)位于第二象限，则角θ所在象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：点P在第二象限，所以tan
θ＜0，cos
θ
＞0，所以θ在第四象限．
答案：D
2．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tan
x与函数y＝sin
x的图像交点的个数为( )
A．3
B．5
C．7
D．9
解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝tan
x与函数y＝sin
x在区间[－2π，2π]内的图像(图像略)，由图像可知其交点个数为5，故选B.
答案：B
3．已知tan(－α－)＝－5，则tan(＋α)的值为( )
A．－5
B．5
C．±5
D．不确定
解析：∵(－α－)＋(＋α)＝－π，
∴tan(＋α)＝tan[－π－(－α－)]＝－tan(－α－)＝5.
答案：B
4．下列各式中正确的是( )
A．tan
735°＞tan
800°
B．tan
1＞－tan
2
C．tan
＜tan
D．tan
＜tan
解析：tan
＝tan
，∵0＜＜＜，函数y＝tan
x在(0，)内为增函数，∴tan
＜tan
.
答案：D
5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )
(1)在上是递减的；(2)最小正周期为2π；(3)是奇函数．
A．y＝tan
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin(x＋3π)
D．y＝sin
2x
解析：y＝tan
x在上是递增的，不满足条件(1)．
B．函数y＝cos
x是偶函数，不满足条件(3)．
C．函数y＝sin(x＋3π)＝－sin
x，满足三个条件．
D．函数y＝sin
2x的最小正周期T＝π，不满足条件(2)．
答案：C
6．直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan
的图像相交两相邻交点间的距离为________．
解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．
答案：2π
7．tan与tan的大小关系是________．
解析：tan＝tan＝tan
，
tan＝tan＝tan
.
∵0＜＜＜，
∴tan
＜tan
，即tan＞tan.
答案：tan＞tan
8．已知f(x)＝asin
x＋btan
x＋1满足f＝7，则f＝________.
解析：∵f＝asin
＋btan
＋1＝7，
∴asin
＋btan
＝6.
∴f
＝f
＝f
＝asin＋btan＋1＝－asin
－btan
＋1＝
－＋1＝－5.
答案：－5
9．已知角α的终边上的一点的坐标是P(－，y)，且sin
α＝y，求sin
α和tan
α.
解析：当y＝0时，角α的终边在x轴的负半轴上，sin
α＝0，tan
α＝0；
当y≠0时，r＝，由sin
α＝y，得＝，
所以＝2，因此y＝±.
当y＝时，sin
α＝，tan
α＝－；
当y＝－时，sin
α＝－，tan
α＝.
10．已知f(x)＝－atan
x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈[－，]上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的单调区间；
(4)若a＞0，求f(x)在[，)上的值域．
解析：(1)∵f(x)＝－atan
x(a≠0)，x∈[－，]，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan
x＝－f(x)．
又定义域[－，]关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y＝tan
x在(kx－，kπ＋)(k∈Z)上单调递增，
∴当a＞0时，f(x)在(kπ－，kπ＋)上单调递减，
当a＜0时，f(x)在(kπ－，kπ＋)上单调递增．
(4)当a＞0时，f(x)在[，]上单调递减，
故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．
∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
[B组 能力提升]
1．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a、b、c的大小关系是( )
A．b＞a＞c
B．a＞b＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
解析：tan(－π)＝tan(－π－)＝－tan＝－，
cosπ＝cos(8π＋)＝cos＝.
sin(－π)＝sin(－8π－)＝－.
答案：A
2．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图像大致是( )
解析：∵x∈(，)，当x∈(，π)时，sin
x≥tan
x；
当x∈(π，)时，sin
x＜tan
x，
∴y＝
由tan
x及sin
x的图像知D正确．
答案：D
3．若tan
x＞tan且x在第三象限，则x的取值范围是______________．
解析：∵tan
x＞tan
＝tan
且x在第三象限，
∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，
即x的取值范围是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
4．函数f(x)＝－2tan
x＋m，x∈有零点，则实数m的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝－2tan
x＋m有零点，即方程
2tan
x＝m有解．
∵x∈，∴tan
x∈[－1，]，
∴m∈[－2，2]．
答案：[－2,2]
5．(1)求y＝tan2
x＋4tan
x－1的值域；
(2)求y＝的最大值、最小值．
解析：(1)设t＝tan
x，
则y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，
∴y＝tan2
x＋4tan
x－1的值域为[－5，＋∞)．
(2)令t＝tan
x∈R，则原函数式化为y＝(t∈R)，
即(1－y)t2－(1＋y)t＋(1－y)＝0有实数解．
当y＝1时，适合题意；
当y≠1时，由Δ＝[－(1＋y)]2－4(1－y)(1－y)≥0，
有3y2－10y＋3≤0，解得≤y≤3且y≠1.
综上，函数的最大值为3，最小值为.
6．已知函数f(x)＝x2＋2xtan
θ－1，x∈[－1，]，θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解析：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1
＝2－(x∈[－1，])．
∴当x＝时，f(x)min＝－；当x＝－1时，f(x)max＝.
(2)函数f(x)＝(x＋tan
θ)2－1－tan2θ的图像的对称轴为直线x＝－tan
θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan
θ≤－1或－tan
θ≥，
∴tan
θ≥1或tan
θ≤－.
故θ的取值范围是∪.
PAGE第一章
三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知f(x)＝2sin的图像经过点(0,1)，则f(x)的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
解析：T＝＝6，将(0,1)代入得sin
φ＝.又|φ|＜，∴φ＝.
答案：A
2．能将正弦曲线y＝sin
x的图像变为y＝sin(2x＋)的图像的变换方式是( )
A．横坐标变为原来的2倍，再向左平移
B．横坐标变为原来的倍，再向左平移
C．向左平移，再将横坐标变为原来的倍
D．向左平移，再将横坐标变为原来的2倍
解析：把y＝sin
x的图像向左平移个单位可得到y＝sin(x＋)，再将其图像上的点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变即得到y＝sin(2x＋)．
答案：C
3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
解析：由图知T＝4(－)＝π，∴ω＝＝2.令2×＋φ＝得φ＝－.
答案：D
4．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D．3
解析：由函数向右平移π个单位后与原图像重合，
得π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，
∴·k＝π，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.
答案：C
5．把函数y＝cos
2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
解析：由题意，y＝cos
2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的解析式为y＝cos
x＋1；再向左平移1个单位长度，所得图像的解析式为y＝cos(x＋1)＋1；最后向下平移1个单位长度，所得图像的解析式为y＝cos(x＋1)，显然点在此函数图像上．故选A.
答案：A
6．要得到y＝cos的图像，且使平移的距离最短，则需将y＝sin
2x的图像向________平移________个单位长度即可．
解析：y＝sin
2x＝cos＝cos2，向左平移个单位长度得到y＝cos2＝cos的图像．
答案：左
7．把函数y＝sin(2x＋)的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图像的函数解析式是________．
解析：将函数y＝sin(2x＋)的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]，即y＝sin
2x的图像，再将y＝sin
2x的图像上各点的横坐标缩短到原来的，就得到函数y＝sin
2×2x，即y＝sin
4x的图像．
答案：y＝sin
4x
8．给出下列六种图像变换的方法：
①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
③图像向右平移个单位长度；
④图像向左平移个单位长度；
⑤图像向右平移个单位长度；
⑥图像向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin
x的图像变换为函数y＝sin的图像，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
解析：y＝sin
x的图像y＝sin的图像y＝sin的图像，或y＝sin
x的图像y＝sin
的图像y＝sin＝sin的图像．
答案：④②或②⑥
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R)的图像的一部分如图所示，求函数f(x)的解析式．
解析：由图像可知：A＝2，T＝8.
∵T＝8，∴ω＝＝＝.
∴f(x)＝2sin.
由图像过点(1,2)，得2sin(×1＋φ)＝2，
∴sin(＋φ)＝1.
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z.
∵|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)cos
x，求g的值．
解析：(1)由题图可知A＝2，ω＝＝，
∴解析式为f(x)＝2sin，
且由f(x)的图像过点，
得2sin＝2，又－<φ<，得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵g(x)＝f(2x)cos
x
＝×2sincos
x
＝sincos
x，
∴g＝sincos＝sin
cos
＝(－1)×＝.
[B组 能力提升]
1．把函数f(x)＝sin(－3x＋)的周期扩大为原来的2倍，再将其图像向右平移个单位长度，则所得图像的解析式为( )
A．y＝sin(－)
B．y＝cos(x＋)
C．y＝sin(－x)
D．y＝sin(－6x)
解析：f(x)＝sin(－3x＋)的周期扩大2倍变为y＝sin(－x＋)，再将其图像向右平移个单位，变为y＝sin[－(x－)＋]＝sin(－x＋)．
答案：A
2．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，f()＝－，则f(0)＝( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：由题意可知，此函数的周期T＝2(π－π)＝，
故＝，∴ω＝3，f(x)＝Acos(3x＋φ)．
f()＝Acos(＋φ)＝Asin
φ＝－.
又由图知f()＝Acos(3×＋φ)＝0，则φ＝－π，A＝－，∴f(0)＝Acos
φ＝.
答案：C
3．关于函数f(x)＝sin(2x－)有下列命题：
①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋)；②直线x＝－是函数f(x)的图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数g(x)＝sin
2x的图像向右平移个单位得到；④存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立．
其中正确的命题是________．
解析：对于f(x)＝sin(2x－)，有f(0)＝－，而对于f(x)＝cos(2x＋)，则有f(0)＝，所以①错误
；因为f(－)＝－1，所以②正确；由f(x)＝sin(2x－)＝sin[2(x－)]可知，函数f(x)的图像是由函数g(x)＝sin
2x的图像向右平移个单位得到的，所以③错误；因为π是函数f(x)的最小正周期，可取α＝，所以④正确．
答案：②④
4．把函数y＝cos的图像向右平移φ个单位长度，所得到的图像正好关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
解析：将y＝cos的图像向右平移φ个单位长度，得y＝cos的图像．
∵y＝cos的图像关于y轴对称，
∴cos＝±1，
∴φ－＝kπ，k∈Z.当k＝－1时，φ取得最小正值.
答案：
5．将函数y＝lg
x的图像向左平移一个单位长度，
可得函数f(x)的图像；将函数y＝cos(2x－)的图像向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图像．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图像；
(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．
解析：函数y＝lg
x的图像向左平移一个单位长度，
可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图像，即图像C1；函数y＝cos(2x－)的图像向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋)－]＝cos
2x的图像，即图像C2.
(1)画出图像C1和C2的图像如图
(2)由图像可知：两个图像共有5个交点．
即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.
6．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
解析：(1)由题意知A＝，T＝4×＝π，ω＝＝2，
∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵φ∈，∴φ＝.
∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示：
第一章
三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列函数中，在区间(0，)上为增函数且以π为周期的函数是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
x
C．y＝－tan
x
D．y＝－cos
2x
解析：y＝cos
2x的减区间为y＝－cos
2x的增区间，
T＝＝π.
答案：D
2．设函数f(x)＝Asin(2x＋)(A≠0)，则( )
A．f(x)的图像过点
B．f(x)在[，]上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是
D．f(x)的最大值是A
解析：f(x)＝Asin.∴图像过，选项A不正确；x∈[，]时，2x＋∈[π，]，但A的符号不确定，故B不正确；A＜0时，D不正确；当x＝时，2x＋＝π，即f＝0，
∴是f(x)的一个对称中心．
答案：C
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )
A．关于直线x＝对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称
D．关于点(，0)对称
解析：由题意知ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)．
当x＝时，f(x)＝0，所以f(x)关于点(，0)对称．
当x＝时，f(x)＝sin(＋)＝cos
＝，
所以f(x)不关于点(，0)对称，也不关于直线x＝对称．
答案：D
4．已知ω＞0，函数f(x)＝cos图像的一条对称轴方程为x＝，一个对称中心为，则ω有( )
A．最小值2
B．最大值2
C．最小值1
D．最大值1
解析：由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.
答案：A
5．若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝( )
A．3
B．2
C.
D.
解析：由于函数f(x)＝sin
ωx的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像(图略)可知，为这个函数的四分之一周期，故＝，解得ω＝.
答案：C
6．函数y＝3sin的最小正周期为________．
解析：最小正周期T＝＝π.
答案：π
7．写出函数y＝2sin(2x＋)在[0，π]上的单调减区间________．
解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋.
得kπ＋≤x≤kπ＋，
∵x∈[0，π]，∴函数y＝2sin(2x＋)在[0，π]上的递减区间是[，]．
答案：[，]
8．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图像关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：
①图像关于点对称；
②图像关于点对称；
③在上是增函数；
④在上是增函数．
所有正确结论的序号为________．
解析：∵T＝π，∴ω＝2.
又∵2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z.
∵φ∈，
∴φ＝.
∴y＝sin.由图像及性质可知②④正确．
答案：②④
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求ω和φ的值．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，∴φ＝＋kπ，k∈Z.
又∵0≤φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝sin＝cos
ωx.
∵图像关于点M对称，∴cos
ω＝0，
∴ω＝＋nπ，n∈Z，∴ω＝＋n，n∈Z.
又∵f(x)在区间上是单调函数，
∴≥－0，即≥，∴ω≤2.
又∵ω＞0，∴ω＝或ω＝2.
10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图像．
解析：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，
∴sin(2×＋φ)＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin(2x－)．
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数y＝sin(2x－)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
(3)根据y＝sin(2x－)列表如下：
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如图所示．
[B组 能力提升]
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像在y轴上的截距为1，在相邻两最值点x0，x0＋(x0＞0)处f(x)分别取得最大值2和最小值－2.若函数g(x)＝af(x)＋b的最大值和最小值分别为6和2，则|a|＋b的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：由题意知，A＝2，＝－x0＝，
∴T＝3，即＝3，∴ω＝，∴f(x)＝2sin.
又∵函数f(x)的图像过点(0,1)，∴2sin
φ＝1.
∵|φ|＜，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，
g(x)＝af(x)＋b＝2asin＋b.
由解得
∴|a|＋b＝5.
答案：A
2．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析：由f()＝f()，且f(x)在区间上有最小值，
得f＝sin＝－1，
∴ω＋＝－＋2kπ，k∈Z.
∴ω＝－＋8k，k∈Z.
∵f(x)在上无最大值．
∴T＝＞－，得k＜.
又∵－＋8k＞0，∴k＞，∴k＝1
∴ω＝－＋8＝.
答案：
3．设函数y＝1－3sin，当x＝________时，函数的最大值为4.
解析：由－≤x≤0知－≤2x＋≤，
当2x＋＝－，即x＝－时，y＝sin取最小值－1，
故y＝1－3sin取最大值4.
答案：－
4．已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a＜0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝sin＋1＋b.
∵y＝sin
x的单调递减区间为(k∈Z)，
∴当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数．
∴f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)f(x)＝asin＋a＋b.
∵x∈[0，π]，
∴－≤x－≤，
∴－≤sin≤1.
又∵a＜0，∴a≤asin≤－a，
∴a＋a＋b≤f(x)≤b.
∵f(x)的值域是[2,3]，
∴解得
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图像过点P(，0)，图像上与点P最近的一个顶点是Q(，5)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的最大值和取得最大值时相应的x的取值集合；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解析：(1)由题意，知A＝5，且＝－＝，
∵T＝π，即＝π，
∴ω＝2.∴y＝5sin(2x＋φ)．
又该函数的图像过点P(，0)，
∴5sin(2×＋φ)＝0.
∴sin(＋φ)＝0.
∵|φ|＜，∴＋φ＝0.
∴φ＝－.∴y＝5sin(2x－)．
(2)当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋，k∈Z时，函数取得最大值为5.
此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(3)由y≤0，即5sin(2x－)≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴x的取值范围是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
PAGE三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
解析：水轮每分钟旋转4圈，即每秒钟旋转π
rad.
∴ω＝π.
∴水轮上最高点离水面的距离为r＋2＝5(米)．
即ymax＝A＋2＝5，∴A＝3.
答案：B
2．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，l＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为周期T＝，所以 ＝＝2π.所以l＝.
答案：D
3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
解析：对每个选项进行验证．
当t∈[0,5]时，∈[0,2.5]．
因为2.5＞，所以函数F(t)在[0,5]上先增后减，不符合题意；
当t∈[5,10]时，∈[2.5,5]，
所以函数F(t)在上是减少的，在上是增加的，不符合题意；
当t∈[10,15]时，∈[5,7.5]，所以函数F(t)在[5，7.5]上是增加的，符合题意；
当t∈[15,20]时，∈[7.5,10]，所以函数F(t)在[7.5,10]上先增后减，不符合题意．
答案：C
4.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin(2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A.，
B．2，
C.，π
D．2，π
解析：t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.
答案：A
5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1]
B．[1,7]
C．[7,12]
D．[0,1]∪[7,12]
解析：由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.
又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]∪[7,12]．
答案：D
6．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20
cm，某时刻振子处在B点，经0.5
s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5
s末相对平衡位置的位移大小分别为________m，________cm.
解析：设振幅为A，则2A＝20
cm，A＝10
cm，
设周期为T，则＝0.5
s，T＝1
s.
振子在1T内通过的路程为4A，故在t＝5
s＝5T内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10
cm＝2
m.
5
s末振子处在B点，所以它相对平衡位置的位移是10
cm.
答案：2 10
7.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0,0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________．
解析：图中从6时到14时的图像是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．
所以·＝14－6，解得ω＝，由图知A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20，这时y＝10sin＋20，
将x＝6，y＝10代入上式可取φ＝π.
综上所求的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
答案：y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析：解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin
.
答案：10sin
9．如图，某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天最大的温差；
(2)求这段曲线的函数解析式．
解析：(1)由图像得这一天的最高温度是－2
℃，最低温度是－12
℃，所以这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．
(2)由(1)得解得
由图像得函数的周期T＝2×(14－6)＝16，则＝16，解得ω＝.
所以y＝5sin－7.
由图像知点(6，－12)在函数的图像上，
则－12＝5sin－7，
整理得sin＝－1，所以φ＝＋2kπ，k∈Z.
所以这段曲线的函数解析式是
y＝5sin－7(6≤x≤14)．
10．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝k(k＞0)的图像的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4,8])的图像，图像的最高点为B(5，)，且DF⊥OC，垂足为点F.
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
解析：(1)由图像，可知A＝，ω＝＝＝，将B(5，)代入y＝sin(x＋φ)中，
得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|＜，∴φ＝－，故y＝sin(x－)．
(2)在y＝sin(x－)中，令x＝4，得D(4,4)，从而得曲线OD的方程为y＝2(0≤x≤4)，则P(，)，
∴矩形PMFE的面积为S＝(4－)×＝，即儿童乐园的面积为.
[B组 能力提升]
1．如图所示，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将移至( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：经过周期，乙由最低点变为最高点，但乙点的位置不变，故选B.
答案：B
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
B．f(x)＝9sin(x－)(1≤x≤12，x∈N＋)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
D．f(x)＝2sin(x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
解析：令x＝3可排除D；令x＝7可排除B；由A＝＝2可排除C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，
∴ω＝.∴f(x)＝2sin(x＋φ)＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin(＋φ)＋7＝9，即sin(＋φ)＝1.
∵|φ|＜，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)．
答案：A
3．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M(2,4)和P(6,0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的方程是________．
解析：由题意可设曲线方程为y＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．因为＝4，所以T＝16，所以ω＝＝，所以y＝4sin.又曲线经过点M(2,4)，所以×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝4sin.
答案：y＝4sin
4．某校学生进行研究性学习，在参观某工厂时了解到某车间的温度θ(℃)的波动近似地满足函数θ＝20＋6sin(t)(0≤t≤24)．
(1)画出温度随时间波动的图像；
(2)利用函数图像确定最高和最低温度；
(3)最高和最低温度分别在什么时候出现？
(4)在什么时候温度为23
℃？
解析：(1)
(2)∵sin(t)∈[－1,1]，
∴θmax＝20＋6＝26，
θmin＝20－6＝14，最高温度为26
℃，最低温度为14
℃.
(3)∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π.
当达到最高温度时，sint＝1，
t＝或t＝，∴t＝3或t＝15.
当达到最低温度时，sin
t＝－1，
t＝或t＝，∴t＝9或t＝21.
故最高温度出现在3时和15时，最低温度出现在9时和21时．
(4)令θ＝23
℃，得23＝20＋6sin(t)，
∴sin(t)＝.结合0≤t≤24，
解得t＝1,5,13,17.
故在1时，5时，13时和17时温度为23
℃.
5.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为
m，圆环的圆心距离地面的高度为1
m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处．
(1)试确定在时刻t时蚂蚁距离地面的高度h(t)；
(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过
m?
解析：(1)h(t)＝1－cos
2πt.
(2)由h(t)＝1－cos
2πt＞，解得＜t＜，
所以一圈内，有分钟的时间蚂蚁距离地面超过
m.
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