数系的扩充和复数的概念
[A组 学业达标]
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i
B．3＋i
C．－＋i
D.＋i
解析：3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
答案：A
2．用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( )
A．C＝R∩I
B．R∩I＝{0}
C．R＝C∩I
D．R∩I＝?
解析：由复数的概念可知R?C，I?C，R∩I＝?.选D.
答案：D
3．若复数z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
解析：因为z为纯虚数，所以解得x＝－1.
答案：A
4．复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i，若z＜0，则实数a的值是( )
A.
B．－
C．－1
D．1
解析：由题意得a2－3＝0，解得a＝±，而a＋1＜0，故a＝－.
答案：B
5．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
解析：由条件知a2－3＋2a＝0，所以a＝1或a＝－3.
答案：1或－3
6．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．
解析：依题意知解得m＝3.
答案：3
7．x，y为实数，如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，则x＋y＝________.
解析：由复数相等可知，所以
所以x＋y＝.
答案：
8．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时：(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数．
解析：(1)因为z∈R，所以
解得m＝－1±.
(2)因为z是虚数，所以解得m≠－1＋，m≠－1－且m≠1.
(3)因为z是纯虚数，所以解得m＝0或m＝－2.
9．已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
解析：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以
即所以a＝－1.
[B组 能力提升]
10．已知复数z＝cos
α＋icos
2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )
A.
B．
C.
D.
解析：由条件知，cos
α＋cos
2α＝0，
所以2cos2α＋cos
α－1＝0，所以cos
α＝－1或.
因为0＜α＜2π，所以α＝π，或.
故选D.
答案：D
11．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos
θ＋(λ＋3sin
θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A．[－1,1]
B．
C.
D.
解析：因为z1＝z2，所以
所以4sin2θ＝λ＋3sin
θ，所以λ＝42－，
因为－1≤sin
θ≤1，
所以当sin
θ＝时，λ取得最小值－；
当sin
θ＝－1时，λ取得最大值7.
所以－≤λ≤7，
即λ的取值范围是.故选C.
答案：C
12．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．
解析：因为z1＞z2，所以所以a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案：{0}
13．已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
解析：由(2x－1)＋i＝y＋(3－y)i，可得
解得由(2x＋ay)－(4x－y＋b)i＝9－8i可得解得
14．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析：(1)若z为实数，
则即
解得m＝－2.因此当m＝－2时，z为实数．
(2)若z是虚数，则
即解得m≠－2且m≠－1，
因此当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．
(3)若z为纯虚数，则
即即
解得m＝0.因此当m＝0时，z为纯虚数.
PAGE复数的几何意义
[A组 学业达标]
1．已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的个数为( )
①|z|＝；②z的虚部为i；③z在复平面上对应点在第一象限．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：|z|＝＝，故①正确；z的虚部为1，故②错误；z在复平面上对应点是(1,1)，在第一象限，故③正确．
答案：C
2．复数z＝cos
＋isin在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因cos
＜0，sin
＞0，故复数z＝cos
＋isin
对应的点在第二象限．
答案：B
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋i
B．2＋4i
C．8＋2i
D．4＋8i
解析：因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，且C为线段AB的中点，根据中点坐标公式可得C(2,4)，则点C对应的复数是2＋4i.
答案：B
4．若复数z满足方程|z＋1－3i|＝2，则z在复平面上表示的图形是( )
A．椭圆
B．圆
C．抛物线
D．双曲线
解析：原方程可化为|z－(－1＋3i)|＝2，其几何意义表示z的坐标和(－1,3)之间的距离为2，满足圆的定义，故表示的图形是圆．
答案：B
5．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2等于( )
A．4＋5i
B．5＋4i
C．3＋4i
D．5＋4i或＋i
解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由条件得
所以或故选D.
答案：D
6．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
解析：由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4，而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.
因为＜5＜，所以|y＋2i|＜|x－yi|＜|1－5i|.
答案：|y＋2i|＜|x－yi|＜|1－5i|
7．复数z＝3＋4i对应的向量所在直线的斜率为________．
解析：由z＝3＋4i知，＝(3,4)，所以直线的斜率：k＝.
答案：
8．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
解析：由复数的几何意义可知，＝x＋y，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得，解得所以x＋y＝5.
答案：5
9．实数m取什么值时，复数z＝2m＋(4－m2)i在复平面内对应的点：
(1)位于虚轴上？
(2)位于第一、三象限？
(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？
解析：(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.
(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限，则2m(4－m2)＞0，解得m＜－2或0＜m＜2.
故满足条件的实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(0,2)．
(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则＝4，即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
10．复数i,1,4＋2i分别对应平面上A，B，C三点，另取一点D作平行四边形ABCD，求BD的长．
解析：由题意得向量对应的复数为1－i，设D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则＝(4－x,2－y)，由＝，得解得
所以D对应的复数为3＋3i，
所以＝(2,3)，则||＝，即BD的长为.
[B组 能力提升]
11．复数z＝1＋cos
α＋isin
α(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
解析：|z|＝＝＝＝2.
因为π＜α＜2π，所以＜＜π，cos
＜0，
于是|z|＝－2cos
.故选B.
答案：B
12．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆
解析：设z＝x＋yi，因为|z－i|＝|3＋4i|，所以＝5.则x2＋(y－1)2＝25，所以复数z对应点的轨迹是圆．
答案：C
13．若t∈R，t≠－1，t≠0，则复数z＝＋i的模的取值范围是________．
解析：|z|2＝2＋2≥2··＝2.(当且仅当＝，即t＝－时，等号成立)．
所以|z|≥.
答案：[，＋∞)
14．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是________．
解析：因为log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，
整理得
log2＝0，
所以2m2－6m－6＝m2－6m＋9，
即m2＝15，m＝±.
又因为m－3＞0且m2－3m－3＞0，
所以m＝.
答案：
15．已知复数z1＝－i，z2＝cos
θ＋isin
θ.
(1)求|z1|及|z2|，并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
解析：(1)|z1|＝＝2，
|z2|＝＝1，所以|z1|＞|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括圆)．
16．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知所以
因为z0＝a＋bi，|z0|＝2，所以a2＋b2＝4.
将①代入②得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
所以点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆.
PAGE复数代数形式的加、减运算及其几何意义
[A组 学业达标]
1．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为z1＝3＋2i，z2＝1－3i，
所以z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.所以点Z位于复平面内的第一象限．
答案：A
2．已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|＝( )
A.
B．3
C.
D.
解析：1＋xi＝(2－y)－3i??则|x＋yi|＝.
答案：A
3．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是( )
A.
B．i
C.＋i
D.＋2i
解析：设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝.
由题意知a＋bi＋＝5＋i，
即a＋＋bi＝5＋i
所以解得a＝，b＝.
所以所求复数为＋i.
答案：C
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
解析：在平行四边形ABCD中，＝＝－，故对应的复数是3＋i－(－1＋3i)＝4－2i，故选D.
答案：D
5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：复数z1对应向量，复数z2对应向量，
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，依题意有|＋|＝|－|.
所以以，为邻边所作的平行四边形是矩形，所以△AOB是直角三角形．故选B.
答案：B
6．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝.
所以x＋yi＋＝2＋i.
所以
解得所以z＝＋i.
答案：＋i
7．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是________．
解析：∵复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，∴解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
8．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________.
解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得
答案：5 －1 2
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，且z1－z2＝4，求复数z＝a＋bi.
解析：z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]
＝＋(a－b－1)i＝4，
所以
解得所以z＝2＋i.
[B组 能力提升]
10．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)在复平面内对应的点位于虚轴上，则z－1－i等于( )
A．－1－3i或－1－i
B．－1－i
C．－1－3i
D．－1＋i或－1＋3i
解析：因为复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，所以复数z的实部为0，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.当a＝0时，z＝－2i，z－1－i＝－2i－1－i＝－1－3i；当a＝2时，z＝0，z－1－i＝0－1－i＝－1－i.综上，z－1－i＝－1－3i或z－1－i＝－1－i.故选A.
答案：A
11．如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1
B．
C．2
D.
解析：设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，|Z1Z2|＝4，所以复数z的集合为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值．因此作Z3Z0⊥Z1Z2，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，|ZZ3|取得最小值|Z0Z3|＝1，故选A.
答案：A
12．已知在复平面内的正方形ABCD有三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，－1－2i，则第四个顶点对应的复数是________．
解析：设复平面内正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，则＝(1,2)，＝(－2,1)，＝(－1，－2)，设＝(a，b)．
∵＝－＝(－3，－1)，＝－＝(1，－3)，且1×(－3)＋(－1)×(－3)＝0，
∴⊥，
∴＝，即向量与对应的复数相等，
∴－3－i＝－1－a－(2＋b)i，
∴解得∴＝(2，－1)．
故第四个顶点对应的复数是2－i.
答案：2－i
13．若|z－1|＝|z＋1|，则|z－1|的最小值是________．
解析：法一：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，
则|(a－1)＋bi|＝|(a＋1)＋bi|，
所以＝，即a＝0，
所以z＝bi，b∈R，
所以|z－1|min＝|bi－1|min＝()min，
故当b＝0时，|z－1|的最小值为1.
法二：因为|z－1|＝|z＋1|，
所以z的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y轴，|z－1|表示y轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.
答案：1
14．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离，点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
15．已知在复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i.
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
解析：(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，又＝－，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
∵＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝＋，
∴向量对应的复数为(1＋2i)＋(3－i)＝4＋i.
∵＝－，
∴向量对应的复数为(2＋i)－(1＋2i)＝1－i.
∵＝＋，
∴向量对应的复数为(1－i)＋(4＋i)＝5，
故点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos
B，
又＝(1,2)，＝(3，－1)，
∴cos
B＝＝＝，
∴sin
B＝，
∴S＝||||sin
B＝××＝7，
故平行四边形ABCD的面积为7.
PAGE复数代数形式的乘除运算
[A组 学业达标]
1．已知复数f(n)＝in(n∈N
)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．无数
解析：
f(n)＝in＝k∈N，故集合中有4个元素．
答案：A
2．如果x－1＋yi与i－3x(x，y是实数)是共轭复数，则x＋y＝( )
A．－1
B．1
C.
D．－
解析：∵x－1＋yi与i－3x(x，y是实数)是共轭复数，
∴解得则x＋y＝－.
答案：D
3．设z的共轭复数为，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．1
B．－i
C．±1
D．±i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由条件可得解得
因此或
所以＝＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＝i，所以＝±i.故选D.
答案：D
4．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
A．1
B．2
C.
D.
解析：由z＝－ai，a∈R得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，
所以解得a＝.故选C.
答案：C
5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?＝，真命题；B，z1＝2?＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·＝z2·，真命题；D.当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．故选D.
答案：D
6．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b等于________．
解析：∵z＝－2＋i，∴z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，
∴b＝.
答案：
7．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，则解得或
则z＝±(2＋i)，故|z|＝.
答案：
8．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
解析：由＝＝＝a＋bi，得a＝，b＝，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.
答案：3
9．计算下列各题：
(1)＋－；
(2)＋2＋7.
解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i＝－16i.
(2)原式＝＋＋i7＝16i－i－i＝14i.
10．已知z1＝2＋i，·z2＝6＋2i.
(1)求z2；
(2)若z＝，求z的模．
解析：(1)设z2＝a＋bi(a，b∈R)，因为·z2＝6＋2i，所以(2－i)(a＋bi)＝6＋2i，即(2a＋b)＋(2b－a)i＝6＋2i，所以所以所以z2＝2＋2i.
(2)因为z＝＝＝＝＝－i，所以|z|＝＝.
[B组 能力提升]
11．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若ab＝0，则a＝0或b＝0，所以a＋是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数a＋为纯虚数，a＋＝a－bi，所以a＝0且b≠0，所以ab＝0，是必要条件．故选B.
答案：B
12．已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.给出下列命题：
(1)对任意z∈C，都有D(z)＞0；
(2)若是复数z的共轭复数，则D()＝D(z)恒成立；
(3)若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2；
(4)对任意z1，z2∈C，结论D(z1，z2)＝D(z2，z1)恒成立．
则其中的真命题是( )
A．(1)(2)(3)(4)
B．(2)(3)(4)
C．(2)(4)
D．(2)(3)
解析：对于(1)，由定义知当z＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除A；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D()＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B，D；选C.
答案：C
13．如果z＝，那么z100＋z50＋1的值是________．
解析：z＝＝，
z100＋z50＋1＝100＋50＋1
＝50＋25＋1＝i50＋i25＋1＝i2＋i＋1＝i.
答案：i
14．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
解析：＋＝可化为＋＝，即＋＝，从而5(x＋xi)＋2(y＋2yi)＝5＋15i，
于是解得所以x＋y＝4.
答案：4
15．设复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
解析：由z2＋＜0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝＝＝1－i.
因为a为纯虚数，所以设a＝mi(m∈R且m≠0)，则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0，
所以所以m＝4，所以a＝4i.
16．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数．
解析：因为z是虚数，
所以可设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则ω＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i.
(1)因为ω是实数，且y≠0，所以y－＝0，
即x2＋y2＝1.所以|z|＝1，此时ω＝2x.
又－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，所以
－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是.
(2)证明：μ＝
＝
＝
＝.
又x2＋y2＝1，所以μ＝－i.
因为y≠0，所以μ为纯虚数．
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