导数的概念
[A组 学业达标]
1．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的改变量为( )
A．－0.29
B．－2.9
C．0.29
D．2.9
解析：f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
所以函数值的改变量为
f(－0.9)－f(－1)＝－1.71－(－2)＝0.29.故选C.
答案：C
2．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于( )
A．8πRΔR
B．8πRΔR＋4π(ΔR)2
C．4πRΔR＋4π(ΔR)2
D．4π(ΔR)2
解析：球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2，故选B.
答案：B
3．一质点的运动方程为s＝3－5t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A．－2－Δt
B．2＋Δt
C．－10－5Δt
D．10＋5Δt
解析：＝＝－10－5Δt，故选C.
答案：C
4．给定函数f(x)，则
等于( )
A．f′(x0)
B．f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f′(－x0)
解析：
＝－
＝－
＝－f′(x0)，故选C.
答案：C
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．3
解析：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx2)＋(Δx)3，
所以＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
所以f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3得3x＝3，所以x0＝±1，故选C.
答案：C
6．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)．
解析：由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)＞s2(0)，
所以＜，即甲＜乙．
答案：小于
7．一物体的运动方程为s＝，则当t＝2时该物体的瞬时速度为________．
解析：瞬时速度即为s对t的导数，
所以v＝s′|t＝2＝
＝
＝
＝－.
答案：－
8．设函数f(x)在x＝x0处可导，当Δx无限趋近于0时，对于
的值，以下说法中正确的是________．
①与x0，Δx都有关；②仅与x0有关而与Δx无关；③仅与Δx有关而与x0无关；④与x0，Δx均无关．
解析：导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．
答案：②
9．求函数y＝－x2，y＝2x＋1，y＝在x＝1附近的平均变化率，当Δx很小时，哪一点附近的平均变化率最大？
解析：y＝－x2在x＝1附近的平均变化率为
k1＝－(2＋Δx)；y＝2x＋1在x＝1附近的平均变化率为k2＝2；y＝在x＝1附近的平均变化率为k3＝.当Δx很小时，k1＜0，k2＜1，
0＜k3＜1，所以最大的是k2，即y＝2k＋1在x＝1附近的平均变化率最大．
10．利用导数的定义，求函数y＝＋2在点x＝1处的导数．
解析：因为Δy＝－(1＋2)
＝
所以＝＝，
所以f′(1)＝
＝－2，
即函数y＝＋2在点x＝1处的导数为－2.
[B组 能力提升]
11．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a等于( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
解析：由题意得＝＝a＝3.故选C.
答案：C
12．设函数f(x)可导，则
等于( )
A．f′(1)
B．f′(1)
C．不存在
D．以上都不对
解析：因为
＝
＝f′(1)，故选B.
答案：B
13．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，且y＝f(x)在[2，a]的平均变化率是，则a＝________.
解析：＝＝a，
由题意得＝，所以a＝.
答案：
14．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.
解析：因为Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，
所以＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，
所以f′(－1)＝[3m－3mΔx＋m(Δx)2]＝3m，
由f′(－1)＝3得3m＝3，所以m＝1.
答案：1
15．若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)：
s(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体在t＝1时的瞬时速度；
(3)物体的初速度v0.
解析：(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，所以物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为物体在t＝1附近的平均变化率为
＝＝3Δt－12，
所以物体在t＝1处的瞬时变化率为
s′(1)＝
＝
(3Δt－12)＝－12(m/s)，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.
(3)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
所以物体在t＝0处的瞬时速度为
s′(0)＝
＝
(3Δt－18)＝－18(m/s)．
16．已知函数f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．
解析：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
所以＝.
所以
＝
＝＝.
所以f′(4)＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f′(－1)＝
(Δx－2)＝－2，
所以f′(4)·f(－1)＝×(－2)＝－.
导数的几何意义
[A组 学业达标]
1．如果曲线y＝f(x)上一点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有( )
A．f′(1)＞0
B．f′(1)＝0
C．f′(1)＜0
D．f′(1)不存在
解析：由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k＝f′(1)＝＝1＞0.
答案：A
2．抛物线y＝x2在点M处的切线的倾斜角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：点M满足抛物线y＝x2，则点M为切点，y′＝2x，x＝时，y′＝1，即切线的斜率为1，故倾斜角为45°.
答案：B
3．已知曲线y＝f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx，所以＝x＋Δx＋2，所以f′(x)＝
＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋2.由已知x0＋2＝4，所以x0＝2.
答案：D
4．函数y＝－在处的切线方程是( )
A．y＝4x
B．y＝4x－4
C．y＝4x＋4
D．y＝2x－4
解析：因为y′＝
＝
＝，
所以切线的斜率k＝y′|x＝＝4，
所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4，故选B.
答案：B
5．已知曲线f(x)＝ax3＋1在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－1＝0，则a等于
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为切点在切线上，所以3×1－f(1)－1＝0，
即f(1)＝2，又因为切点(1，f(1))也在曲线y＝f(x)上，所以2＝a×13＋1，即a＝1，故选A.
答案：A
6．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用＞连接)
解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝为直线AB的斜率，由图象易知k1＞k3＞k2.
答案：k1＞k3＞k2
7．已知函数f(x)＝－ax的图象在点(－1，f(－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．
解析：因为f′(－1)＝
＝
＝
＝
＝
＝－(a＋2)＝1，
得a＝－3，所以f(x)＝＋3x，所以f(－1)＝－5，则所求切线的方程为y＋5＝x＋1，即x－y－4＝0.
答案：x－y－4＝0
8．已知曲线y＝，用切线斜率的定义求曲线过点P(1,2)的切线方程为________．
解析：因为Δy＝－2，
所以＝，
所以k＝
＝
＝
＝
＝1.
故曲线经过P(1,2)的切线方程是y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
9．如果曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程．
解析：因为切线与直线y＝3x＋4平行，
所以斜率为3，设切点坐标为(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝3.
又y′|x＝x0＝
＝
＝
＝
(Δx＋2x0＋1)
＝2x0＋1，
所以2x0＋1＝3.
从而x0＝1，代入y＝x2＋x－3得y0＝－1，
所以切点坐标为(1，－1)．
切线的方程为y＋1＝3(x－1)，即3x－y－4＝0.
10．求过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．
解析：显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上．
若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝
＝
＝[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，
所以切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，
即x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，
则k＝＝＝
＝x＋x0－1.
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝
＝
＝3x－2，
所以x＋x0－1＝3x－2，所以2x－x0－1＝0.
因为x0≠1，所以x0＝－.
所以k＝x＋x0－1＝－，
所以切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，
即5x＋4y－1＝0.
[B组 能力提升]
11．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．a＜f′(2)＜f′(4)
B．f′(2)＜a＜f′(4)
C．f′(4)＜f′(2)＜a
D．f′(2)＜f′(4)＜a
解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越来越大，所以(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率的大小在点(2，f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4，f(4))处的切线斜率f′(4)之间，所以f′(2)＜a＜f′(4)．
答案：B
12．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相平行，则为
( )
A．－3
B．3
C.
D．－
解析：y′＝
＝＝
＝3x2，
因为点P(1,1)为曲线y＝x3上一点，所以曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3.由条件知，＝3.
答案：B
13．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
解析：y′＝
＝3x2，所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝3×12＝3，所以曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，切线与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，－2)，所以S＝×2×＝.
答案：
14．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，由导数的几何意义知y′＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝.
答案：
15．已知曲线C：y＝f(x)＝经过点P(2，－1)，求：
(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线的方程；
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．
解析：(1)将P(2，－1)代入y＝中得t＝1，
所以y＝，所以＝
＝＝.
所以
＝，所以曲线在点P(2，－1)处切线的斜率为k＝＝1.
(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0.
(3)因为点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝＝，由于y0＝，所以x0＝，所以切点M，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4，即y＝4x.
16．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求实数a的值及切点的坐标．
解析：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
因为＝
＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.
所以当Δx→0时，→3x－4x0，即f′(x0)＝3x－4x0，
由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
所以切点的坐标为或(2,3)．
当切点为时，
有＝4×＋a，所以a＝，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
所以a＝－5.
综上，当a＝时，切点为；
a＝－5时，切点为(2,3).
PAGE几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
[A组 学业达标]
1．下列结论正确的个数为( )
①y＝ln
2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln
2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①因为ln
2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，故选D.
答案：D
2．已知f(x)＝xn且f′(－1)＝－4，则n等于( )
A．4
B．－4
C．5
D．－5
解析：因为f′(x)＝nxn－1，
所以f′(－1)＝n(－1)n－1＝－4.
若(－1)n－1＝－1，则n＝4，此时满足(－1)n－1＝－1；
若(－1)n－1＝1，则n＝－4，此时不满足(－1)n－1＝1；
所以n＝4，故选A.
答案：A
3．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．e
B．1
C．－1
D．－e
解析：因为y′＝ex，所以y′|x＝0＝e0＝1，所以切线方程为y－1＝x即y＝x＋1，令x＝0，则y＝1.
答案：B
4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2
B．ln
2＋1
C．ln
2－1
D．ln
2
解析：因为y＝ln
x的导数y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln
2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln
2－1.
答案：C
5．若曲线处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于( )
A．64
B．32
C．16
D．8
解析：由题，a＞0，y′＝，所以曲线y
在点(a，a－)处的切线斜率，
所以切线方程为
由x＝0，得由y＝0得x＝3a，
所以
解得a＝64.故选A.
答案：A
6．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.
解析：因为f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，所以f(x)＝x2，f′(x)＝2x.
答案：2x
7．若曲线y＝xα(α∈Q
)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝________.
解析：y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过(0,0)，所以α＝2.
答案：2
8．已知(cf(x))′＝cf′(x)，其中c为常数．若f(x)＝ln
5log5x，则曲线f(x)在A(1,0)处的切线方程为________．
解析：由已知得f′(x)＝ln
5＝，所以f′(1)＝1，在A点处的切线方程为x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
9．求下列函数的导数．
(1)y＝3x；
(3)y＝ln
3.
解析：(1)y′＝(3x)′＝3xln
3.
(3)y′＝(ln
3)′＝0.
10．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解析：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，
即y′|x＝x0＝1.
因为y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，
得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得距离为.
[B组 能力提升]
11．正弦曲线y＝sin
x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪
B．[0，π)
C.
D.∪
解析：因为y′＝cos
x，而cos
x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，
所以直线l倾斜角的范围是∪.
答案：A
12．下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝sin
x
解析：设切点的横坐标分别为x1，x2，若存在无数对互相垂直的切线，则f′(x1)·f′(x2)＝－1有无数对x1，x2使之成立．对于A，由f′(x)＝ex＞0，
所以不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1；
对于B，由于f′(x)＝3x2≥0，
所以也不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1；
对于C，由于f(x)＝ln
x的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝＞0，也不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1；
对于D，f′(x)＝cos
x，
所以f′(x1)·f′(x2)＝cos
x1·cos
x2.
当x1＝2kπ，x2＝(2k＋1)π，k∈Z时，
f′(x1)·f′(x2)＝－1成立，故选D.
答案：D
13．曲线f(x)＝cos2－，x∈(0，π)在P点的切线斜率为－，则点P的坐标为________．
解析：f(x)＝－＝cos
x，
f′(x)＝－sin
x，所以－sin
x＝－，所以sin
x＝1，
又因为x∈(0，π)，所以x＝，f＝0.
答案：
14．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N
.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
解析：函数y＝x2(x＞0)在点(a1，a)处(a1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y－256＝32(x－16)．
令y＝0得a2＝8；同理函数y＝x2(x＞0)在点(a2，a)处(a2＝8)，即点(8,64)处的切线方程为y－64＝16(x－8)．令y＝0得a3＝4，同理依次求得a4＝2，a5＝1，所以a1＋a3＋a5＝21.
答案：21
15．试求过点P(2，－1)且与曲线y＝x2相切的直线的方程．
解析：由题意知点P(2，－1)不是曲线y＝x2上的点，即点P不是切点，设切点为M(x0，y0)，
则y0＝x，①
因为y′＝2x，所以y′|x＝x0＝2x0.
又kPM＝，所以2x0＝.②
由①②解得x0＝2＋或x0＝2－.
当x0＝2＋时，切线斜率k＝2x0＝4＋2.
此时切线方程为y＋1＝(4＋2)(x－2)，
即(4＋2)x－y－9－4＝0.
当x0＝2－时，切线斜率k＝2x0＝4－2，
此时切线方程为y＋1＝(4－2)(x－2)，
即(4－2)x－y－9＋4＝0.
所以切线方程为(4＋2)x－y－9－4＝0或(4－2)x－y－9＋4＝0.
16．直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过P且垂直于l1交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长．
解析：如图，设P(x0，y0)，
则kl1＝f′(x0)＝，
因为直线l1与l2垂直，
则kl2＝－2，
所以直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)，
因为点P(x0，y0)在曲线y＝上，
所以y0＝.
在直线l2的方程中令y＝0，
则－＝－2(x－x0)．
所以x＝＋x0，即xQ＝＋x0.
又xk＝x0，
所以|KQ|＝xQ－xK＝＋x0－x0＝.
导数的运算法则及复合函数的导数
[A组 学业达标]
1．下列求导数运算正确的是( )
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cos
x)′＝－2xsin
x
解析：因为′＝x′＋′＝1－，A错误；(log2x)′＝，B正确；(3x)′＝3xln
3，C错误；
(x2cos
x)′＝(x2)′cos
x＋x2(cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x，D错误．故选B.
答案：B
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.
B．
C.
D.
解析：y′＝＝≥－1，
所以0＞tan
α≥＝－1，所以≤α＜π.
答案：D
3．曲线y＝f(x)＝－x3＋2x在横坐标为－1的点处的切线为l，则点(3,2)到l的距离是( )
A.
B．
C.
D.
解析：由题得y′＝f′(x)＝－3x2＋2，当x＝－1时，y＝－1，所以切点为(－1，－1)，k＝f′(－1)＝－3＋2＝－1，所以切线l的方程为y＋1＝－(x＋1)，所以x＋y＋2＝0，所以点(3,2)到直线l的距离为＝.
答案：A
4．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4,
函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( )
A．26
B．29
C．215
D．212
解析：因为a1＝2，a8＝4，又f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
答案：D
5．函数f(x)＝在区间(0，＋∞)恒有f′(x)≥0，则实数a的取值范围为( )
A．[0，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，0)
解析：由f(x)＝，
得f′(x)＝＝.
因为x∈(0，＋∞)，所以x2＞0，
所以f′(x)≥0等价于ax2＋1≥0，
所以a≥－恒成立，所以a≥0.故选A.
答案：A
6．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，
所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝f′sin
x＋cos
x，则f′＝________.
解析：因为f′(x)＝f′cos
x－sin
x，
所以f′＝f′cos
－sin
＝－1，
所以f′(x)＝－cos
x－sin
x，
所以f′＝－cos
－sin
＝－.
答案：－
8．函数f(x)＝在x＝1处的切线方程为________．
解析：由f(x)＝可得f′(x)＝＝，所以f′(1)＝－1，
又f(1)＝2.
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x(3ln
x＋1)；(2)y＝＋ln
2；
(3)y＝sin
x2＋ex2；
(4)y＝xcossin.
解析：(1)因为y＝x(3ln
x＋1)＝3x·ln
x＋x，
所以y′＝3ln
x＋3x·＋1
＝3ln
x＋4.
(2)y′＝＝.
(3)y′＝cos
x2·(x2)′＋ex2·(x2)′
＝2x·cos
x2＋2x·ex2.
(4)因为y＝xcos
sin
＝x(－sin
2x)cos
2x＝－xsin
4x，
所以y′＝′
＝－sin
4x－cos
4x×4＝－sin
4x－2xcos
4x.
10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，求实数a，b的值．
解析：函数f(x)＝ax－的导数为f′(x)＝a＋，可得y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为a＋，切点为，由切线方程7x－4y－12＝0，可得a＋＝，2a－＝，解得a＝1，b＝3.
[B组 能力提升]
11．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1
B．0
C．2
D．4
解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于＝－，所以f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案：B
12．已知f(x)＝ex＋x，则曲线y＝f(x)在x＝0处切线方程为________.
解析：因为f(0)＝1，又f′(x)＝ex＋1即k＝f′(0)＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－0)，即为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
13．已知曲线y＝x2＋a上的点到直线l：y＝x＋6的最小距离等于曲线(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点到直线l的最小距离，则实数a＝________.
解析：d＝－＝2，
对y＝x2＋a，求导得y′＝x，
所以切点为，
所以＝2，
所以a＝或，
当a＝时，y＝x2＋与y＝x＋6相交，所以a＝.
答案：
14．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切线的方程．
解析：(1)因为f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，
f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，
所以切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，
或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
15．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln
x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解析：f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得解得a＝e，x＝e2.所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
PAGE函数的单调性与导数
[A组 学业达标]
1．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是图中的( )
解析：由f′(x)的符号易判断，f(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上为减函数，在(－2,0)上为增函数，故选A.
答案：A
2．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且对任意x∈R都有f′(x)＞3，则不等式f(x)＞3x－1的解集为( )
A．(1,2)
B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
解析：因为f′(x)＞3，所以f′(x)－3＞0.
设h(x)＝f(x)－3x，则h′(x)＝f′(x)－3＞0，
所以h(x)是R上的增函数，且h(1)＝f(1)－3＝－1，
不等式f(x)＞3x－1，即为f(x)－3x＞－1，
即h(x)＞h(1)，得x＞1，
所以原不等式的解集为(1，＋∞)．故选C.
答案：C
3．曲线y＝x2－2ln
x的单调增区间是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]和(0,1]
D．[－1,0)和[1，＋∞)
解析：求解函数的导数可得y′＝2x－，令2x－≥0，结合x＞0，解得x≥1.所以单调增区间为[1，＋∞)．
答案：B
4．若关于x的不等式x2＋mx－2＞0在区间[1,2]上有解，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
解析：关于x的不等式x2＋mx－2＞0在区间[1,2]上有解，所以mx＞2－x2在x∈[1,2]上有解，即m＞－x在x∈[1,2]上成立，设函数f(x)＝－x，x∈[1,2]，所以f′(x)＝－－1＜0恒成立，所以f(x)在x∈[1,2]上是单调减函数，且f(x)值域为[－1,1]，要使m＞－x在x∈[1,2]上有解，则m＞－1，即实数m的取值范围是(－1，＋∞)．
答案：D
5．已知函数f(x)＝x－sin
x，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)＞0的解集是( )
A.
B．
C．(－∞，3)
D．(3，＋∞)
解析：因为f(x)＝－x－sin
x，所以f(－x)＝－x＋sin
x＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f′(x)＝1－cos
x≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)＞0等价为f(x＋1)＞－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1＞2x－2，解得x＜3，故不等式的解集为(－∞，3)．
答案：C
6．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(1＋x)的单调递减区间是________．
解析：令f′(x)＝x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3，由1＜1＋x＜3，解得0＜x＜2，故函数f(1＋x)的单调递减区间为(0,2)．
答案：(0,2)
7．若f(x)＝(x∈R)在区间[－1,1]上是增函数，则a∈________.
解析：f′(x)＝2·，
因为f(x)在[－1,1]上是增函数，
所以f′(x)＝2·≥0.
因为(x2＋2)2＞0，所以x2－ax－2≤0对x∈[－1,1]恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，则即
所以－1≤a≤1.即a的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)＜＋的解集为________．
解析：设g(x)＝f(x)－－，则函数g(x)的导数g′(x)＝f′(x)－，因为f(x)的导函数f′(x)＜，所以g′(x)＝f′(x)－＜0，则函数g(x)单调递减，
因为f(1)＝1，g(1)＝f(1)－－＝1－1＝0.
则不等式f(x)＜＋，等价为g(x)＜0，
即g(x)＜g(1)，则x＞1，
即f(x)＜＋的解集为{x|x＞1}．
答案：{x|x＞1}
9．求函数f(x)＝(a＋1)ln
x＋ax2＋1的单调区间．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a≤－1时，f′(x)＜0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，
解得x＝ ，
则当x∈时，f′(x)＞0；
x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
[B组 能力提升]
10．已知函数f(x)＝x2＋cos
x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )
解析：由函数的解析式可得：f′(x)＝x－sin
x，
所以f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B、D，又当x＝时，
f′＝－sin
＝－1＜0，排除C，中有A适合．
答案：A
11．定义在R上的奇函数f(x)满足f(－1)＝0，且当x＞0时，f(x)＞xf′(x)，则下列关系式中成立的是( )
A．4f＞f(2)
B．4f＜f(2)
C．f＞4f(2)
D．ff(2)＞0
解析：当x＞0时，
f(x)＞xf′(x)，′＝＜0，
所以x＞0时是减函数，所以＞，
即4f＞f(2)．故选A.
答案：A
12．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则a的范围为________．
解析：因为当x≥2时，f(x)＝x2＋a|x－2|＝x2＋ax－2a，对称轴为x＝－，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝－≤2，①
又当2＞x＞0时，f(x)＝x2＋a|x－2|＝x2－ax＋2a在(0,2)上单调递增，所以有对称轴x＝≤0，②
由①②知－4≤a≤0.
答案：[－4,0]
13．已知函数f(x)＝x2－ln
x＋在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x2－ln
x＋在区间(a－1，a＋1)上不单调，所以f′(x)＝2x－＝在区间(a－1，a＋1)上有零点，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝0，得x＝，则
得1≤a＜.
答案：
14．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln
＋的图象分别与直线y＝m(m＞0)交于A，B两点，求|AB|的最小值．
解析：A(ln
m，m)，其中，且m＞0，所以|
令y′＝0，得x＝.
所以0＜x＜时，y′＜0，x＞时，y′＞0，
所以x＞0在上单调递减，在上单调递增．
所以x＝时，|AB|min＝2＋ln
2.
PAGE函数的极值与导数
[A组 学业达标]
1．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a，b的值为( )
A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11
C．a＝－4，b＝11
D．以上都不对
解析：f′(x)＝3x2－2ax－b，f′(1)＝0，即2a＋b＝3，①
f(1)＝a2－a－b＋1＝10，即a2－a－b＝9，②
解由①②组成的方程组，得a＝－4，b＝11(有极值)或a＝3，b＝－3(无极值，舍去)．
答案：C
2．已知函数f(x)＝x3－x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值为( )
A．－或
B．－3或1
C．－或
D．－1或
解析：f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，当x变化时，
f′(x)，f(x)变化如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
＋c
?
－＋c
?
f(－1)＝＋c，f(1)＝－＋c，
因为函数f(x)＝x3－x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，
所以＋c＝0或－＋c＝0，所以c＝－或c＝.
答案：C
3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a＜－1
B．a＞－1
C．a＜1
D．a＞1
解析：因为y′＝ex＋a，所以由y′＝0，得ex＝－a，设函数的极值点为x0(x0＞0)，则－a＝ex0＞1，所以a＜－1.故选A.
答案：A
4．设a∈R，若函数y＝f(x)＝x＋aln
x在区间有极值点，则a取值范围为( )
A.
B.
C.∪(e，＋∞)
D．(－∞，－e)∪
解析：f′(x)＝1＋(x＞0)，f′(x)为单调函数，所以函数在区间有极值点，即f′f′(e)＜0，代入得(1＋ae)·＜0?a2＋a＋1＜0?(a＋e)＜0，解得a取值范围为－e＜a＜－.
答案：B
5．若函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝x3ex，f(1)＝0，则当x＞0时，f(x)( )
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值又无极小值
解析：由题设知，当x＞0时，
′＝＝＝xex，
可得＝(x－1)ex＋C(C为常数)，又f(1)＝0，得C＝0，所以f(x)＝x(x－1)ex.又f′(x)＝(x2＋x－1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝(舍去)．
所以当x＞0时，
x∈时，f′(x)＜0，x∈时，
f′(x)＞0，所以当x＞0时，f(x)有极小值f，
无极大值．
答案：B
6．若函数f(x)＝在x＝a处有极小值，则实数a等于________．
解析：函数f(x)＝在x＝a处有极小值，得x＝a是极值点，所以f′(a)＝0，由f′(x)＝，代入a解得a＝1.
答案：1
7．若函数f(x)＝x2＋aln
x在区间(1，＋∞)上存在极小值，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x2＋aln
x，所以f′(x)＝2x＋＝，当a≥0时，无极值，所以a＜0，当a＜0时，x＝是f(x)的极值点，因为f(x)在(1，＋∞)上存在极小值，所以
＞1，得a＜－2.
答案：(－∞，－2)
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．
解析：求导得f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝2处取极值，所以f′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，
即4a＋b＋4＝0，①
又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
所以f′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，②
联立①②可得a＝－1，b＝0，
所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当f′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f′(x)＜0时，0＜x＜2，
所以函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0,2)，
因此求出函数的极大值为f(0)＝c，
极小值为f(2)＝c－4，
故函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.
答案：4
9．设f(x)＝aln
x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解析：(1)因为f(x)＝aln
x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln
x＋＋x＋1(x＞0)，
f′(x)＝－－＋＝
＝
令f′(x)＝0，解得x1＝1，
x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
10．已知函数f(x)＝x3－x2－x.
(1)求f(x)的极值；
(2)画出它的大致图象；
(3)指出y＝f(x)零点的个数．
解析：(1)由已知得f′(x)＝3x2－2x－1＝0.
解得x1＝－，x2＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的极大值是f
＝，极小值是f(1)＝－1.
(2)令f(x)＝0得x＝0或x＝，结合函数的单调性及极值画出f(x)的大致图象如图所示．
(3)由(2)可知f(x)图象与x轴有3个交点，即y＝f(x)有3个零点．
[B组 能力提升]
11．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,5)
B．[－1,5]
C．[1,5]
D．[1,5)
解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)＜0，即(1－a)(5－a)＜0，
解得1＜a＜5，另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)上没有极值点，故实数a的范围为[1,5)，故选D.
答案：D
12．已知函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．
C．(10,1)
D．(0，＋∞)
解析：函数f(x)＝x(ln
x－ax)，则
f′(x)＝ln
x－ax＋x＝ln
x－2ax＋1，
令f′(x)＝ln
x－2ax＋1＝0得ln
x＝2ax－1，函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，等价于f′(x)＝ln
x－2ax＋1有两个零点，等价于函数y＝ln
x与y＝2ax－1的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象(如图)，
当a＝时，直线y＝2ax－1与y＝ln
x的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y＝ln
x与y＝2a－1的图象有两个交点，则实数a的取值范围是.
答案：B
13．已知函数f(x)＝2f′(1)ln
x－x，则f(x)的极大值为________．
解析：由题意得，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，所以f′(1)＝2f′(1)－1，所以f′(1)＝1，所以f(x)＝2ln
x－x，令f′(x)＝－1＝0，得x＝2，则f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)极大值＝f(2)＝2ln
2－2.
答案：2ln
2－2
14．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析：f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2，
由f′(2)＝0，得c＝2或6.易验证得c＝2时，f(x)在x＝2处取极小值，舍去；当c＝6时，符合题意．
答案：6
15．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
解析：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，所以(
)
(1)当a＝3时，(
)式为解得b＝－3，
c＝12.又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0，
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由题意得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，
解得1≤a≤9，
即a的取值范围为[1,9].
PAGE函数的最大（小）值与导数
[A组 学业达标]
1．函数f(x)＝x－sin
x在区间[0，π]上的最大值、最小值分别为( )
A．π，0
B．－，0
C．π，－1
D．0，－1
解析：f′(x)＝1－cos
x，令f′(x)＝0，得cos
x＝，
又x∈[0，π]，所以x＝，所以x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，且f＝－sin
＝－1，f(0)＝0，f(π)＝π，所以函数f(x)在区间[0，π]上的最大值、最小值分别为π和－1.故选C.
答案：C
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值为3，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．－1
解析：f′(x)＝3x2－2x－1，若f′(x)＝0，则x＝－或x＝1，又因为f＝a＋，f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，则a＋2＝3，则a＝1.故选B.
答案：B
3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a)
B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，
所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0.
所以F′(x)＜0，所以F(x)在[a，b]上递减，
所以F(x)max＝f(a)－g(a)．故选A.
答案：A
4．已知函数f(x)＝＋ln
x－1(a＞0)在定义域内有零点，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：函数f(x)定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)＝＋ln
x－1(a＞0)在定义域内有零点，所以a＝x－xln
x有解，令h(x)＝x－xln
x所以h′(x)＝－ln
x，所以h(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)，所以h(x)max＝h(1)＝1.
答案：B
5．已知函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围为
( )
A．(－1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞)
D．(－∞，－1]
解析：因为函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，所以f(x)＝ex－x＋a的最小值大于零，令f′(x)＝ex－1＝0，得x＝0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)＝ex－x＋a的最小值为f(0)＝1＋a，因为1＋a＞0，所以a＞－1.
答案：A
6．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.若x＝3是f(x)的极值点，则f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值分别为________．
解析：由题意知f′(x)＝3x2－2ax＋3＝0的一个根为x＝3，可得a＝5，
所以f′(x)＝3x2－10x＋3，f′(x)＝0的根为x＝3或x＝(舍去)，又f(1)＝－1，f(3)＝－9，f(5)＝15，所以f(x)在x∈[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.
答案：－9,15
7．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．
当a＞0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．
当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f(x)单调递减，
所以当＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0,1)内有最小值．
答案：(0,1)
8．已知函数f(x)＝x＋xln
x，若k∈Z，且k(x－1)＜f(x)对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为________．
解析：因为x＞1，所以由题意得k＜＝对任意x＞1恒成立．
令h(x)＝，则h′(x)＝，
令φ(x)＝x－ln
x－2(x＞1)，则
φ′(x)＝1－＝＞0，
所以函数φ(x)在(1，＋∞)上单调递增．
又φ(3)＝1－ln
3＜0，φ(4)＝2－2ln
2＞0，
所以存在x0∈(3,4)，使得
φ(x0)＝x0－2－ln
x0＝0，
因此当x∈(1，x0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
所以当x＝x0时，h(x)有极小值，也为最小值，
且h(x)min＝h(x0)＝＝＝＝x0∈(3,4)．
所以k≤3.所以整数k的最大值是3.
答案：3
9．已知函数f(x)＝x3＋3ax2.
(1)若a＝－1，求f(x)的极值点和极值；
(2)求f(x)在[0,2]上的最大值．
解析：(1)a＝－1时，f(x)＝x3－3x2，
f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
令f′(x)＞0，解得x＞2或x＜0；
令f′(x)＜0，解得0＜x＜2，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以0是极大值点，极大值是f(0)＝0,2是极小值点，极小值是f(2)＝－4.
(2)f′(x)＝3x2＋6ax＝3x(x＋2a)，
a≥0时，f′(x)≥0，f(x)在[0,2]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2)＝12a＋8；
当－1＜a＜0时，－2＜2a＜0.
令f′(x)＞0，解得x＞－2a；
令f′(x)＜0，解得0＜x＜－2a，
所以f(x)在[0，－2a)上单调递减，在(－2a,2]上单调递增，所以f(x)max＝f(0)＝0或f(2)＝12a＋8；
当a≤－1时，2a≤－2，f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)max＝f(0)＝0.
10．已知函数f(x)＝ln
x＋.
(1)当a＜0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
解析：函数f(x)＝ln
x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝.
(1)因为a＜0，所以f′(x)＞0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a＜1时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a＜1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当1＜a＜e时，函数f(x)在[1，a)上有f′(x)＜0，
f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)的最小值为f(a)＝ln
a＋1，
由ln
a＋1＝，得a＝；
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)＜0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a＞e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋＞2，仍与最小值是相矛盾．综上所述，a的值为.
[B组 能力提升]
11．已知f(x)＝x2－cos
x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是( )
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的奇函数
解析：f′(x)＝2x＋sin
x，
则f′(－x)＝－2x－sin
x＝－f′(x)，
所以导函数f′(x)是奇函数，
又f″(x)＝2＋cos
x＞0，
所以f′(x)在[－1,1]上单调递增，
故f′(x)min＝f′(－1)，f′(x)max＝f′(1)，
所以f′(x)既有最大值又有最小值．
答案：D
12．已知函数f(x)＝－(a＞0)在区间[0,1]上有极值，且函数f(x)在区间[0,1]上的最小值不小于－，则a的取值范围是( )
A．(2,5]
B．(2，＋∞)
C．(1,4]
D．[5，＋∞)
解析：f′(x)＝(a＞0)．
若f(x)在[0,1]上有极值，则即
解得a＞2.又f(x)在[0,1]上先增后减，
则f(x)min＝f(1)＝－≥－，
解得a≤5，所以a∈(2,5]．故选A.
答案：A
13．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
解析：f′(x)＝＝，当x＞时，
f′(x)＜0，f(x)单调递减；当－＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＝时，f(x)＝＝，
解得＝＜1，不合题意，
所以f(x)max＝f(1)＝＝，所以a＝－1.
答案：－1
14．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a＞1)，若对于任意的x∈[－1,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
解析：由题意得，f′(x)＝3ax2－3，
当a＞1时，令f′(x)＝3ax2－3＝0，
解得x＝±，±∈[－1,1]，
①当－1＜x＜－时，f′(x)＞0，f(x)为递增函数；
②当－＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)为递减函数；
③当1＞x＞时，f′(x)＞0，f(x)为递增函数．
所以只须f≥0，且f(－1)≥0即可，
由f≥0，得a·3－3·＋1≥0，解得a≥4，由f(－1)≥0，可得a≤4，综上a＝4为所求．
答案：4
15．已知函数f(x)＝2x＋＋aln
x，a∈R.
(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)记函数g(x)＝x2[f′(x)＋2x－2]，若g(x)的最小值是－6，求函数f(x)的解析式．
解析：(1)f′(x)＝2－＋≥0，
所以a≥－2x在[1，＋∞)上恒成立，
令h(x)＝－2x，x∈[1，＋∞)，
因为h′(x)＝－－2＜0恒成立，h(x)在[1，＋∞)单调递减，h(x)max＝h(1)＝0，所以a≥0.
故a的取值范围为[0，＋∞)．
(2)g(x)＝2x3＋ax－2，x＞0，因为g′(x)＝6x2＋a，
当a≥0时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)单调递增，无最小值，不合题意，
所以a＜0，令g′(x)＝0，则x＝(舍负值)，由此可得，g(x)在上单调递减，在上单调递增，则x＝是函数的极小值点，g(x)最小＝g＝－6，解得a＝－6，f(x)＝2x＋－6ln
x.
16．已知函数f(x)＝a(x＋1)2－3ln
x.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若对任意的x∈[1，e]，f(x)＜2恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝2时，
f(x)＝2(x＋1)2－3ln
x，f(1)＝8，
f′(x)＝4x＋4－，f′(1)＝5，
所以所求切线方程为y－8＝5(x－1)，即y＝5x＋3.
(2)f(x)＜2，即a(x＋1)2－3ln
x＜2，
等价于a＜.令g(x)＝，
则g′(x)＝，
设h(x)＝－x＋3－6xln
x，
则h′(x)＝－1－(6ln
x＋6)＝－7－6ln
x，
因为1≤x≤e，所以h′(x)＜0，所以h(x)在[1，e]上递减．
又h(1)＝2＞0，h(e)＝3－7e＜0，所以，存在x0∈(1，e)，使得h(x0)＝0.因此，当x∈[1，x0)时，g′(x)＞0；
当x∈(x0，e]时，g′(x)＜0.
即函数g(x)＝在[1，x0]上递增，
在(x0，e]上递减．
因为对任意的x∈[1，e]，f(x)＜2恒成立，
所以a＜g(x)min，则，即.
又＝＞，所以a＜，
即a∈.
PAGE生活中的优化问题举例
[A组 学业达标]
1．正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B．
C．2
D.
解析：设底面边长为a，高为h，
则V＝Sh＝a2h，所以h＝＝，
则表面积为S＝3ah＋2×a2＝a2＋，
则S′＝a－，
令S′＝a－＝0，可得a＝，即a＝.
答案：D
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高应为( )
A.
cm
B．100
cm
C．20
cm
D.
cm
解析：设高为h，体积为V，
则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，
所以V＝πr2h＝(400h－h3)，V′＝(400－3h2)，
令V′＝0，得h＝或h＝－(舍去)．故选A.
答案：A
3．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底边为直径，其他三边为半圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底为( )
A.
B．r
C.r
D．r
解析：如图所示为半圆及其内接梯形，设∠COB＝θ，则CD＝2rcos
θ，h＝rsin
θ，所以S＝，rsin
θ＝r2sin
θ(1＋cos
θ)，
所以S′＝r2[cos
θ(1＋cos
θ)－sin2θ]＝r2(2cos2θ＋cos
θ－1)．
令S′＝0，得cos
θ＝－1(舍去)或cos
θ＝.
即当cos
θ＝时，梯形面积最大，
此时上底CD＝2rcos
θ＝r.故选D.
答案：D
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q
＝(8
300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11
700P－166
000
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11
700.
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23
000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
答案：D
5．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48
m3，高为3
m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( )
A．900元
B．840元
C．818元
D．816元
解析：设箱底一边的长度为x
m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l＝15×＋12×2＝240＋72(x＞0)，l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．
当0＜x＜4时，l′＜0；当x＞4时，l′＞0.
故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4
m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.
答案：D
6．要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72
cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．
解析：设底面两邻边长分别为x
cm,2x
cm，
则高h＝＝(cm)．
所以表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·(x＞0)．
所以S′＝8x－＝.
令S′＝0，解得x＝3，则S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，所以当x＝3时S取极值，且是S的最小值．
答案：6 3 4
7.一个帐篷，它下部的形状是高为1
m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3
m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________时，帐篷的体积最大．
解析：设OO1为x
m(1＜x＜4)，
底面正六边形的面积为S
m2，帐篷的体积为V
m3.
则由题设可得正六棱锥底面边长为＝
m，于是底面正六边形的面积为
S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V＝××(8＋2x－x2)(x－1)＋×(8＋2x－x2)
＝(8＋2x－x2)＝(16＋12x－x3)，
则V′＝(12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．
当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.
所以当x＝2时，V最大．
答案：2
m
8．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
解析：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，
可得k＝.所以Q＝x3.
所以总费用
y＝·＝x2＋.
y′＝－，令y′＝0，得x＝20.
所以当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．
所以当x＝20时，y取得最小值．所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．
9．某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)
(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大．
解析：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以当t＝2时，f(t)max＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)．对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
当0＜x＜2时，g′(x)＞0，即g(x)在[0,2)上单调递增；
当2＜x＜3时，g′(x)＜0，即g(x)在(2,3]上单调递减，
所以当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝.故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元．
[B组 能力提升]
10．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系式R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品数量是( )
A．100
B．150
C．200
D．300
解析：由题意，总成本为C＝20
000＋100x，所以总利润为
P＝R－C＝
P′＝
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x＞400时，
P′＜0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
答案：D
11．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.6万元
B．43.6万元
C．43.2万元
D．42.15万元
解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝L1＋L2＝－0.15x2＋3.06x＋30，x∈[0,15]．L′(x)＝－0.3x＋3.06，令L′(x)＝0，解得x＝10.2.所以当x＝10时，L有最大值45.6万元．
答案：A
12．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5
cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．
解析：连接OB，连接OD，交BC于点G，由题意得，OD⊥BC，OG＝BC，设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，
三棱锥的高h＝＝＝，
S△ABC＝2x·3x·＝3x2，
则V＝S△ABC·h＝x2·
＝·，
令f(x)＝25x4－10x5，x∈，
f′(x)＝100x3－50x4，
令f′(x)＞0，即x4－2x3＜0，x＜2，
则f(x)≤f(2)＝80，
则V≤×＝4，
所以体积最大值为4
cm3.
答案：4
cm3
13．将边长为1
m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某一边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析：如图所示，设DE＝x，则梯形的周长为：3－x，
梯形的面积为：(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)，
所以s＝＝×，x∈(0,1)，
设h(x)＝，
则h′(x)＝.
令h′(x)＝0，得：x＝或x＝3(舍)．
所以h(x)min＝h＝8，
所以smin＝×8＝.
答案：
14．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200
m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16
m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
解析：(1)设长为x
m，则宽为
m.
据题意解得≤x≤16，
y＝×400＋×248＋16
000
＝800x＋＋16
000.
(2)由y′＝800－＝0，解得x＝18.
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．又因为≤x≤16，所以当x＝16时，ymin＝45
000，＝12.5.
所以当且仅当长为16
m、宽为12.5
m时，总造价y最低为45
000元．
15．网校教学越来越受广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y＝＋4(x－6)2，其中2＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出21千套．
(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(结果保留1位小数)
解析：(1)因为x＝4时，y＝21，所以＋16＝21，所以m＝10.
(2)由(1)可知，该套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，所以网校每日销售套题所获得的利润
f(x)＝(x－2)＝10＋4(x－2)(x－6)2，
f′(x)＝4[(x－6)2＋2(x－2)(x－6)]
＝4(x－6)(3x－10)，
令f′(x)＝0得x＝(x＝6舍去)．
知在上f′(x)＞0，在上f′(x)＜0，
所以x＝≈3.3时，f(x)有最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
PAGE汽车行驶的路程
[A组 学业达标]
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
解析：作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．
答案：C
2．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )
A.
B．
C．1
D.
解析：曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
答案：B
3．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是( )
A.
B．
C.
D.
解析：将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，
所以第1个小区间为；
第2个小区间为；
第3个小区间为；
……
所以第i个小区间为.故选C.
答案：C
4．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,1])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )
A.
B．
C.
D.
答案：B
5．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A.
B．
C.
D.
解析：将区间[0,1]三等分，，，各小矩形的面积和为：s1＝03×＋3×＋3×＝＝.
答案：A
6．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
解析：将区间5等分所得的小区间为，，，，，于是所求平面图形面积的近似值等于＝×＝1.02.
答案：1.02
7．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析：∵区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案：55
8．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b，及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sin
nx在上的面积为(n∈N＋)，则函数y＝sin
3x在上的面积为________．
解析：∵函数y＝sin
nx在上的面积为(n∈N＋)，∴对于函数y＝sin
3x而言，n＝3，函数y＝sin
3x在上的面积为，则函数y＝sin
3x在上的面积为×2＝.
答案：
9．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2＋2x围成的图形的面积．
解析：将区间[0,1]n等分，每个区间长度为，区间右端点函数值y＝2＋2·＝＋.
作和Sn＝
＝
＝i2＋i
＝·n(n＋1)(2n＋1)＋·
＝＋
＝，
∴所求面积S＝
＝
＝.
10．用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度
v＝gt，求在时间区间[0,
t]内物体下落的距离．
解析：(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，
每个小区间所表示的时间段Δt＝－t＝，在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)可取ξi使v(ξi)＝gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为Δs≈gt·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝Δsi＝g·t·＝gt2(i＝1,2，…，n)．
(4)取极限：s＝
gt2＝gt2.
[B组 能力提升]
11．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式Sn＝f(ξi)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么Sn的大小( )
A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n有关，与ξi的取法无关
C．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n，ξi的取法都有关
D．与f(x)和区间[a，b]的ξi的取法有关，与分点的个数n无关
解析：用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝f(ξi)·Δx.若对和式求极限，则可以得到函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．
答案：C
12．直线y＝2x＋1与直线x＝0，x＝m，y＝0围成图形的面积为6，则正数
m＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：如图，∵四条直线所围成的图形为梯形，∴S＝(1＋2m＋1)m，令S＝6，解得m＝2或m＝－3(舍去)．故选B.
答案：B
13．汽车以10
m/s的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2
m/s2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值为________．
解析：由题意知，
v(t)＝v0＋at＝10－2t，令v(t)＝0得t＝5，即t＝5时，汽车将停车．将区间[0,5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似代替每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值为S＝[10＋(10－2×1)＋(10－2×2)＋(10－2×3)＋(10－2×4)]×1＝30
m.
答案：30
m
14．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________，________.
解析：将区间[0,2]5等分，每个区间长度为0.4，按照区间左端点和右端点对应的小曲边梯形的面积近似为小矩形的面积，所以按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为0.4×(0.42＋1)×5和0.4×(22＋1)×5，即为2.32和10.
答案：2.32 10
15．求曲线y＝x3＋1与x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积．
解析：分割：将区间[0,1]等分成n个小区间，，…，，…，每个小区间的长度为Δx＝－＝，过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
近似代替：对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值f＝3＋1为一边的长，以Δx＝为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，
即ΔSi≈fΔx＝.
求和：Sn＝ΔS1＋ΔS2＋…＋ΔSn＝ΔSi≈fΔx＝
＝[03＋13＋23＋…＋(n－1)3]＋1
＝·＋1＝＋1.
取极值：当n→∞时，Sn趋近于，即S＝Sn＝.
所以曲边梯形的面积为.
PAGE1.5.3
定积分的概念
[A组 学业达标]
1．下列结论中成立的个数是( )
①
x3dx＝
·；②
x3dx＝
·；③
x3dx＝
·.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：根据定积分的定义知②③正确．
答案：C
2．已知定积分
f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则＝( )
A．0
B．16
C．12
D．8
解析：本题主要考查定积分的概念．因为偶函数的图象关于y轴对称，所以根据定积分的性质有
－6
f(x)dx＝2
f(x)dx＝16.
答案：B
3．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为( )
A.
(－x)dx
B．
|－x|dx
C.
－1
xdx
D．－
xdx
解析：由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S＝
|－x|dx.
答案：B
4．下列阴影部分的面积S不可以用S＝
[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
解析：定积分S＝
[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．
答案：D
5．若则正数a的最大值为( )
A．6
B．56
C．36
D．2
016
解析：由
≤2
016，得
∵∴a2≤36，即0＜a≤6.故正数a的最大值为6.
答案：A
6．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，在第1
s到第2
s间的1
s内经过的路程是________．
答案：
7．如果
f(x)dx＝1,
f(x)dx＝－1，则
f(x)dx＝________.
解析：∵
f(x)dx＝
f(x)dx＋
f(x)dx，
∴
f(x)dx＝
f(x)dx－
f(x)dx＝－1－1＝－2.
答案：－2
8．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．
解析：由定积分的几何意义知，
答案：
9．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
解析：(1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间．记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.
每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝Δsi.
(2)近似代替
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，于是
Δsi≈Δsi′＝v·Δt＝·＝＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝Δsi′＝
＝(12＋22＋…＋n2)＋4＝·＋4＝8＋4.
从而得到s的近似值s≈sn.
(4)取极限
s＝sn＝
＝8＋4＝12.
答：这段时间内行驶的路程为12
km.
10．利用定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)
(－x＋1)dx；(2)
dx.
解析：(1)
(－x＋1)dx表示的是图①中阴影所示三角形的面积．由于这个三角形的面积为×1×1＝，
所以
(－x＋1)dx＝.
(2)
dx表示的是图②中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为，所以
dx＝.
[B组 能力提升]
11．由曲线y＝ex，直线y＝x，x＝所围成平面图形的面积S可以表示为( )
答案：C
12．若则m等于________．
解析：如图，dx＝1－(x＋1)2＝y2，表示以(－1,0)为圆心以1为半径的圆，
∴表示以(－1,0)为圆心以1为半径的圆面积的二分之一，
∴m＝0.
答案：0
13．如图，抛物线y＝x2将圆面x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为＋，求定积分
dx.
解析：解方程组可得到x＝±2，所以阴影部分的面积为积分
－2
(－x2)dx，根据几何概型可得阴影部分的面积是2π＋，
∴
(－x2)dx＝π＋.
PAGE1.6
微积分基本定理
[A组 学业达标]
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是( )
①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)|；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；
③它在时间段[a，b]内的位移是s＝
s′(ξi)；
④它在时间段[a，b]内的位移是s＝
s′(t)dt.
A．①
B．①②
C．①②④
D．①②③④
解析：由定积分可得①②③④都正确．
答案：D
2.
(ex＋2x)dx等于( )
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析：
(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
答案：C
3．已知f(x)＝则的值为( )
A.
B.
C.
D．－
解析：＝＋1＝.
答案：B
2.
(ex＋2x)dx等于( )
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析：
(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
答案：C
3．已知f(x)＝则的值为( )
A.
B.
C.
D．－
解析：＝＋1＝.
答案：B
4.
等于( )
A.
B.－1
C．2
D.
解析：
答案：D
5．若
dx＝3－ln
2，且a＞1，则a的值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
解析：
dx＝(x2－ln
x)|＝a2－ln
a－1，故有a2－ln
a－1＝3－ln
2，解得a＝2.
答案：D
6．若
(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
解析：∵
(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|＝1＋k＝2，∴k＝1.
答案：1
7．若则a3等于________．
解析：∵
＝a3，∴a3＝，∴a3＝.
答案：
8．若m是正整数，则的值为________．
解析：＝＝＝π.
答案：π
9．计算下列定积分．
.
解析：(1)
dx
＝|
＝－＝ln
2－.
10．已知f(x)＝计算：
f(x)dx.
解析：
取F1(x)＝2x2－2πx，
则F1′(x)＝4x－2π；
即F2(x)＝sin
x，则F2′(x)＝cos
x.
[B组 能力提升]
11．给出下列4个不等式：
其中不等式成立的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
法二：当x∈时，sin
x＜cos
x；
当x＝时，sin
x＝cos
x.
(3)当x∈(0,1)时，e－x＜e－x2；当x＝0或1时，e－x＝e－x2.∴
e－xdx＜
e－x2dx.
(4)令f(x)＝x－sin
x，x∈[0,2]，则f′(x)＝1－cos
x≥0，∴f(x)在[0,2]上单调递增，∴当x∈(0,2]时，f(x)＞f(0)＝0，即x＞sin
x；当x＝0时，x＝sin
x.
∴
sin
xdx＜
xdx.
综上可得，不等式成立的有4个．
答案：D
12．已知函数f(x)＝sin
(x－φ)，且则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
解析：法一：
∴－cos
＋cos
φ＝0，即cos－cos
φ＝0，
即sin
φ－cos
φ＝0，即sin＝0.
∴φ＝k1π＋(k1∈Z)，
∴f(x)＝sin(k1∈Z)．
由x－k1π－＝k2π＋(k1，k2∈Z)，
得x＝(k1＋k2)π＋(k1，k2∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)．
故f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．
故直线x＝为函数f(x)的图象的一条对称轴．
法二：结合三角函数的图象及不难得到为函数f(x)的对称中心．
注意到函数的周期为2π，根据三角函数的图象特征，可知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋＋kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)．故直线x＝为函数f(x)的图象的一条对称轴．
答案：A
13．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：因为1＞0，所以f(1)＝lg
1＝0.
因为x≤0时，f(x)＝x＋
3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3，即f(f(1))＝a3.
又f(f(1))＝1，所以a3＝1，解得a＝1.
答案：1
14．执行如图所示的程序框图，输出的T的值为________．
解析：开始n＝1，T＝1，因为1＜3，所以T＝1＋
x1dx＝1＋x2|＝1＋×12＝，n＝1＋1＝2；因为2＜3，所以T＝＋
x2dx＝＋x3|＝＋×13＝，n＝2＋1＝3.因为3＜3不成立，所以输出T，即输出的T的值为.
答案：
15．若函数f(x)＝求
f(x)dx的值．
解析：由定积分的性质，知：
f(x)dx＝
f(x)dx＋
f(x)dx＋
f(x)dx＝
x3dx＋
dx＋
2xdx
16．已知且f(t)＝
(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b.
解析：∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，∴＝0，
∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①
由①②可知，a＝－3，b＝－9.
PAGE定积分的简单应用
[A组 学业达标]
1．求由y＝ex，x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为( )
A．[0，e2]
B．[0,2]
C．[1,2]
D．[0,1]
解析：由得ex＝1，即x＝0，所以积分区间为[0,2]．
答案：B
2．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )
A.
f(x)dx
B.
C.
f(x)dx＋
f(x)dx
D.
f(x)dx－
f(x)dx
解析：由定积分的几何意义知，S1＝
f(x)dx，S2＝－
f(x)dx，故S＝S1＋S2＝
f(x)dx－
f(x)dx.
答案：D
3．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos
x所围成的封闭图形的面积为( )
A.
B．1
C.
D.
解析：所求面积为＝－＝.
答案：D
4．由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．
解析：画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝
(－x3)dx.
答案：
(－x3)dx
5．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
解析：图形如图所示：
S＝
x2dx－
x2dx＝
x2dx＝x3|＝.
答案：
6．一物体做直线运动的速度与时间成正比，5
s时速度为20
m/s，则物体开始运动10
s内所经过的路程为________m.
解析：∵v＝4t，∴s＝
∫
4tdt＝(2t2)|＝200(m)．
答案：200
7．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．
解析：由解得x＝0或x＝3.
∴S＝
(x＋3)dx－
(x2－2x＋3)dx＝
(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝
(－x2＋3x)dx＝|＝.
∴所围成的图形的面积为.
8．在底面面积为S的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体对活塞的压力所做的功．
解析：由物理知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV＝k.
因为V＝xS(x指活塞与底面的距离)，所以p＝＝.
所以作用在活塞上的力F＝p·S＝·S＝.
故气体对活塞的压力所做的功W＝
dx＝k·ln
x|＝kln
.
[B组 能力提升]
9．若由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V＝π
[f(x)]2dx，设由曲线x2＝4y，x2＝－4y，直线x＝4，x＝－4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的点(x，y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则( )
A．V1＝V2
B．V1＝V2
C．V1＝V2
D．V1＝2V2
解析：画出两个平面图形如下图．
法一：利用定积分求旋转体体积的方法．
V1＝V圆柱－V抛物线旋转体
＝8×π×42－2π
4ydy
＝128π－64π
＝64π，
V2＝π×43－2×π×23＝64π，所以V1＝V2.
法二：用任意一个与y轴垂直的平面截两图形绕y轴旋转所得的两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积分别为S1＝π(42－4|y|)，S2＝π(42－y2)－π[4－(2－|y|)2]＝π(42－4|y|)，所以S1＝S2.由祖暅原理知，两个几何体的体积相等，即V1＝V2.
答案：C
10.一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．
解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x2＝2py(p＞0)，由图易知点(5,2)在抛物线上，可得p＝，故抛物线方程为x2＝y，所以当前最大流量对应的截面面积为2
dx＝，原始的最大流量对应的截面面积为＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为＝.
答案：
11．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)，直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t变化时，阴影部分的面积的最小值．
解析：依题意知，阴影部分的面积S＝
(et－1－ex＋1)dx＋
(ex－1－et＋1)dx＝
(et－ex)dx＋
(ex－et)dx＝(xet－ex)|＋(ex－xet)|＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，令g′(t)＝0，解得t＝.
当t∈时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．因此g(t)的最小值为g＝e＋1－2＝(－1)2，故阴影部分的面积的最小值为(－1)2.
12．已知函数f(x)＝x3－x，其图象记为曲线C.证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．
证明：f′(x)＝3x2－1，曲线C在点P1处的切线方程为y＝(3x－1)(x－x1)＋x－x1，即y＝(3x－1)x－2x.由消去y，得x3－x＝(3x－1)x－2x，即(x－x1)2(x＋2x1)＝0，解得x＝x1或x＝－2x1，故x2＝－2x1.进而有S1＝
用x2代替x1，重复上述计算过程，
可得x3＝－2x2，S2＝x.
又x2＝－2x1≠0，所以S2＝x≠0，因此＝.
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