章末测试卷(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限．
答案：D
2．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A．3i＜5i
B．a＝0?|a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
解析：A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1＜0.故选B.
答案：B
3.的虚部为( )
A．－i
B．i
C.
D．－
解析：＝＝＝＝－1＋i，故其虚部为.
答案：C
4．已知集合M＝{1,2，zi}(i为虚数单位)，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝
( )
A．－2i
B．2i
C．－4i
D．4i
解析：由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，故z＝＝＝－4i.
答案：C
5.＋＝( )
A．－
B．
C.i
D．－i
解析：因为(1±i)2＝±2i，所以＋＝＋＝＋＝－.
答案：A
6．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2
B．
C.
D．1
解析：＝＝1－ai，则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝.
答案：B
7．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于( )
A.
B．
C．－
D．－
解析：z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1·是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.故选A.
答案：A
8．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于直线y＝x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i
B．2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
解析：由题意知，A点坐标为(－1，－2)，B点坐标为(－2，－1)，故对应的复数为－2－i.故选A.
答案：A
9．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：z＝(a－2i)(1＋i)＝(a＋2)＋(a－2)i，所以点M在第四象限的充要条件是即－2＜a＜2，所以“a＝1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
解析：＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，所以z＝＝＝＝3－i.故选A.
答案：A
11．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A.
B．
C.
D.
解析：因为|(x－2)＋yi|＝，
所以(x－2)2＋y2＝3，
所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，
为半径的圆上，如图，令＝k，
kx－y＝0，则＝，得k＝±.由平面几何知识得－≤≤.所以最大值为，故选D.
答案：D
12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”，定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，(a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位)，“z1＞z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．给出下面命题：①1＞i＞0；②若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3；③若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1＋z＞z2＋z；④对于复数z＞0，则z·z1＞z·z2.其中真命题是( )
A．①②④
B．①②③
C．②③
D．①②③④
解析：对命题①，1的实部是1，i的实部是0，故①正确；对命题②，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，由已知得a1＞a2或a1＝a2且b1＞b2，a2＞a3或a2＝a3且b2＞b3，显然有a1≥a3，若a1＞a3，则z1＞z3，若a1＝a3，则a1＝a2＝a3，b1＞b2＞b3，也有z1＞z3，故②正确；对命题③，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z1＞z2得a1＞a2或a1＝a2且b1＞b2，从而a1＋a＞a2＋a或a1＋a＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b，∴z1＋z＞z2＋z，故③正确；对命题④，z1＝1＋i，z2＝－2i，z＝2i，则有z1＞z2，但z·z1＝－2＋2i，z·z2＝4，显然有z·z2＞z·z1，故④错误．
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数为________．
解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得＋＝，－＝，两式相加，可得2＝＋＝2＋14i，所以＝－1－7i.
法二：如图，把向量平移到向量的位置，可得＝＝－(＋)＝－1－7i.
答案：－1－7i
14．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
解析：(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0，a＝－1.
答案：－1
15．若复数z＝sin
θ－＋i是纯虚数，则tan
θ＝________.
解析：因为z＝sin
θ－＋i是纯虚数，所以则所以cos
θ＝－，所以tan
θ＝－.
答案：－
16．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为________．
解析：因为复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，
所以2a＋b＝2，
所以4a＋1－b＝22a＋2b－1≥2＝2＝2.当且仅当a＝，b＝时取等号．
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知(2＋i)＝7＋i，求z及.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
所以
(2＋i)(a－bi)＝7＋i，
所以(2a＋b)＋(a－2b)i＝7＋i，
所以
解得所以z＝3＋i.
所以＝3－i，所以＝＝＝＋i.
18．(本小题满分12分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.
(1)若z1＋z2＝1＋i，求z1，z2；
(2)若|z1＋z2|＝2，z1－z2为实数，求a，b的值．
解析：向量＝(a－1，－1)，＝(－3，b－3)对应的复数分别为z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i.
(1)若z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i＝1＋i.
所以a－4＝1，b－4＝1.
解得a＝b＝5.
所以z1＝4－i，z2＝－3＋2i.
(2)若|z1＋z2|＝2，z1－z2为实数，
所以＝2，(a＋2)＋(2－b)i∈R，
所以2－b＝0，解得b＝2，
所以(a－4)2＋4＝4，解得a＝4.
所以a＝4，b＝2.
19．(本小题满分12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(－2,1)，B(a,3)，a∈R.
(1)若|z1－z2|＝，求a的值；
(2)若复数z＝z1·2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值．
解析：由复数的几何意义可知z1＝－2＋i，z2＝a＋3i.
(1)因为|z1－z2|＝，所以|－2－a－2i|＝＝，即(a＋1)(a＋3)＝0，解得a＝－1或a＝－3.
(2)复数z＝z1·2＝(－2＋i)(a－3i)＝(－2a＋3)＋(a＋6)i.
由题意可知，点(－2a＋3，a＋6)在直线y＝－x上，所以a＋6＝－(－2a＋3)，解得a＝9.
20．(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
解析：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－＝(－2,2)．
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－＝(3,2)－(－2,2)＝(5,0)．
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，
＝＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以×·cos
∠APB＝－，
因此cos
∠APB＝－，故sin
∠APB＝，
故S△APB＝||||sin
∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
21．(本小题满分12分)已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
解析：法一：设ω＝z－3＋4i，所以z＝ω＋3－4i，
所以z＋1－i＝ω＋4－5i，
又|z＋1－i|＝1，
所以|ω＋4－5i|＝1.
可知ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆，如图(1)所示，所以|ω|max＝＋1，|ω|min＝－1.
图(1) 图(2)
法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝＋1，|z－3＋4i|min＝－1.
22．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2－(tan
θ＋i)x－(2＋i)＝0.
(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
(2)证明：对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．
解析：(1)原方程可化为x2－xtan
θ－2－(x＋1)i＝0，设方程的实数根为x0，则即又θ是锐角，故θ＝.
(2)证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，则－b2－(tan
θ＋i)bi－(2＋i)＝0，即－b2－ibtan
θ＋b－2－i＝0，可得－b2＋b－2＝0，解得b＝，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根．
PAGE章末测试卷(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A．3i＜5i
B．a＝0?|a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
3.的虚部为( )
A．－i
B．i
C.
D．－
4．已知集合M＝{1,2，zi}(i为虚数单位)，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝
( )
A．－2i
B．2i
C．－4i
D．4i
5.＋＝( )
A．－
B．
C.i
D．－i
6．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2
B．
C.
D．1
7．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于( )
A.
B．
C．－
D．－
8．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于直线y＝x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i
B．2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
9．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
11．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A.
B．
C.
D.
12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”，定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，(a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位)，“z1＞z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．给出下面命题：①1＞i＞0；②若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3；③若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1＋z＞z2＋z；④对于复数z＞0，则z·z1＞z·z2.其中真命题是( )
A．①②④
B．①②③
C．②③
D．①②③④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数为________．
14．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
15．若复数z＝sin
θ－＋i是纯虚数，则tan
θ＝________.
16．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知(2＋i)＝7＋i，求z及.
18．(本小题满分12分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.
(1)若z1＋z2＝1＋i，求z1，z2；
(2)若|z1＋z2|＝2，z1－z2为实数，求a，b的值．
19．(本小题满分12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(－2,1)，B(a,3)，a∈R.
(1)若|z1－z2|＝，求a的值；
(2)若复数z＝z1·2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值．
20．(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
21．(本小题满分12分)已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
22．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2－(tan
θ＋i)x－(2＋i)＝0.
(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
(2)证明：对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．
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