第一章
三角函数
章末检测(一)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点A(sin
2
019°，cos
2
019°)位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos
α＝x，则sin
α的值为
( )
A.
B.
C.
D．－
3．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan
的值为( )
A．0
B.
C．1
D.
4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
5．若△ABC的两内角α，β满足cos
αcos
β＜0，则此三角形为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上情况均有可能
6．函数y＝sin(2x＋)的一个递减区间为( )
A．(，)
B．(－，)
C．(－，)
D．(，)
7．已知tan
α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π＜α＜，则cos
α＋sin
α＝( )
A.
B.
C．－
D．－
8．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图像如图，则f()＝( )
A．2＋
B.
C.
D．2－
9．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()等于( )
A．2或0
B．－2或2
C．0
D．－2或0
10．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)在区间上单调递减，在区间上有零点，则φ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
11．已知函数f(x)＝sin
的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
12．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图像关于直线x＝对称；③在[－，]上是增函数”的函数可以是( )
A．f(x)＝sin(＋)
B．f(x)＝sin(2x－)
C．f(x)＝cos(2x＋)
D．f(x)＝cos(2x－)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．log4sin＋log9tan(－)＝________.
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R)在一个周期内的图像如图所示，则其解析式为________．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4，则图中阴影部分的面积为________．
16．设函数f(x)＝sin(2x＋)(x∈[0，])，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则2x1＋3x2＋x3的值为________．
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)化简下列各式：
(1)＋；
(2)sin
750°·sin
150°＋cos
930°·cos(－870°)＋tan
600°·tan
1
110°.
18．(12分)设f(x)＝2cos(2x＋)＋3.
(1)求f(x)的最大值及单调递减区间；
(2)若锐角α满足f(α)＝3－2，求tan
α的值．
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)设0＜x＜π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．
20.(12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R,0≤θ≤)的图像与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A(，0)，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．
21．(13分)某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
若入住客栈的游客人数y与月份x(x∈N＋)之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π)近似描述．
(1)求该函数的解析式；
(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
22．(13分)已知函数f(x)＝asin(2x＋)＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2.
(1)求a的值；
(2)试用五点法作出该函数在一个周期闭区间上的图像，并求出该图像对称中心的坐标和对称轴的方程．
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三角函数
章末检测(一)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点A(sin
2
019°，cos
2
019°)位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵2
019°＝5×360°＋219°，∴2
019°角为第三象限角，
∴sin
2
019°＜0，cos
2
019°＜0，∴点A(sin
2019°，cos
2
019°)位于第三象限，故选C.
答案：C
2．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos
α＝x，则sin
α的值为
( )
A.
B.
C.
D．－
解析：∵|OP|＝，∴cos
α＝＝x又因为α是第二象限角，∴x＜0，得x＝－，
∴sin
α＝＝，故选A.
答案：A
3．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan
的值为( )
A．0
B.
C．1
D.
解析：∵点(a,9)在函数y＝3x的图像上，∴9＝3a，
∴a＝2，∴tan
＝tan
＝.
答案：D
4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，∴∠QOx＝，∴Q(cos
，sin
)，即Q(－，－)，故选C.
答案：C
5．若△ABC的两内角α，β满足cos
αcos
β＜0，则此三角形为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上情况均有可能
解析：∵α，β为△ABC的内角，且cos
αcos
β＜0，
∴α，β中必有一个角为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
答案：B
6．函数y＝sin(2x＋)的一个递减区间为( )
A．(，)
B．(－，)
C．(－，)
D．(，)
解析：由2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，得x∈(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)时，函数单调递减，因此当k＝0时，函数的一个递减区间为(，)，选A.
答案：A
7．已知tan
α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π＜α＜，则cos
α＋sin
α＝( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵tan
α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，∴tan
α＋＝k，tan
α·＝k2－3＝1.又3π＜α＜，∴k＞0，∴k＝2，∴tan
α＝1，∴α＝3π＋，∴cos
α＝－，sin
α＝－，
∴cos
α＋sin
α＝－，故选C.
答案：C
8．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图像如图，则f()＝( )
A．2＋
B.
C.
D．2－
解析：由图像可知：T＝2(－)＝，∴ω＝2，
∴2×＋φ＝kπ＋.又|φ|＜，∴φ＝.又f(0)＝1，∴Atan
＝1，
得A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，
∴f()＝tan(＋)＝tan
＝.
答案：B
9．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()等于( )
A．2或0
B．－2或2
C．0
D．－2或0
解析：由f(＋x)＝f(－x)可知直线x＝是函数f(x)的图像的一条对称轴．又y＝2sin(ωx＋φ)在对称轴处取得最值，故选B.
答案：B
10．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)在区间上单调递减，在区间上有零点，则φ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：当x∈时，2x＋φ∈.又φ∈(0，π)，f(x)在上单调递减，
∴?[0，π]，即，
∴≤φ≤.
由cos(2x＋φ)＝0，得2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴x＝＋－，k∈Z，
∴－＜－＜0，解得＜φ＜，综上，＜φ≤，故选C.
答案：C
11．已知函数f(x)＝sin
的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由三角函数的周期性可知点(，)在圆x2＋y2＝k2上，所以()2＋()2＝k2.解得k＝±2.此时，函数的最小正周期是T＝＝2|k|＝4.
答案：D
12．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图像关于直线x＝对称；③在[－，]上是增函数”的函数可以是( )
A．f(x)＝sin(＋)
B．f(x)＝sin(2x－)
C．f(x)＝cos(2x＋)
D．f(x)＝cos(2x－)
解析：f(x)＝sin(＋)的周期为4π，A错；f(x)＝sin(2x－)的周期为π，当x＝时，f(x)＝1，所以x＝为其一条对称轴，若x∈[－，]，则2x－∈[－，]，所以f(x)在[－，]上是增函数，B正确；当x＝时，f(x)＝cos(2x＋)＝－1，当x∈[－，]时，2x＋∈[0，π]，所以f(x)＝cos(2x＋)在[－，]上是减函数，C错；当x＝时，f(x)＝cos(2x－)＝0，所以x＝不是f(x)＝cos(2x－)的对称轴，D错．综上所述，符合①②③要求的函数只有B项正确．
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．log4sin＋log9tan(－)＝________.
解析：∵sin＝sin＝sin＝，
tan＝－tan＝tan＝，
∴log4sin＋log9tan＝log4＋log9
＝log2－＋log3－＝－－＝－.
答案：－
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R)在一个周期内的图像如图所示，则其解析式为________．
解析：由图像可知T＝4π，A＝2，∴ω＝＝＝，由“五点法”可知×＋φ＝，∴φ＝.
答案：y＝2sin(x＋)
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4，则图中阴影部分的面积为________．
解析：连接OD(图略)，因为AB＝AC，∠ABC＝45°，所以∠ACB＝45°，又OD＝OB，所以∠ODB＝45°，所以OD∥CA，所以∠BOD＝∠DOA＝90°.又圆的半径为r＝×2＝2，所以所求阴影部分的面积为S＝π×22＋×2×2＝π＋2.
答案：π＋2
16．设函数f(x)＝sin(2x＋)(x∈[0，])，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则2x1＋3x2＋x3的值为________．
解析：由x∈[0，]，得2x＋∈，画出函数f(x)的大致图像，如图所示，
由图，可得当≤a＜1时，方程f(x)＝a恰有三个根，由2x＋＝，得x＝；由2x＋＝，得x＝，由图可知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x＝对称；点(x2,0)和点(x3,0)关于直线x＝对称，所以x1＋x2＝，x2＋x3＝，所以2x1＋3x2＋x3＝2(x1＋x2)＋(x2＋x3)＝.
答案：
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)化简下列各式：
(1)＋；
(2)sin
750°·sin
150°＋cos
930°·cos(－870°)＋tan
600°·tan
1
110°.
解析：(1)原式＝＋
＝－sin
α＋sin
α＝0.
(2)原式＝sin(2×360°＋30°)·sin(180°－30°)＋cos(2×360°＋210°)·cos(2×360°＋150°)＋tan(360°＋240°)·tan(3×360°＋30°)
＝sin
30°·sin
30°＋cos
210°·cos
150°＋tan
240°·tan
30°＝sin230°＋cos(180°＋30°)·cos(180°－30°)＋tan(180°＋60°)tan
30°＝sin230°＋cos230°＋tan
60°·tan
30°＝()2＋()2＋×＝2.
18．(12分)设f(x)＝2cos(2x＋)＋3.
(1)求f(x)的最大值及单调递减区间；
(2)若锐角α满足f(α)＝3－2，求tan
α的值．
解析：(1)f(x)的最大值为2＋3，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋，
∴函数f(x)的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由f(α)＝3－2，得2cos(2α＋)＋3＝3－2，故cos(2α＋)＝－1.
又由0＜α＜，得＜2α＋＜π＋，故2α＋＝π.解得α＝π.从而tan
α＝tan
＝.
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)设0＜x＜π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．
解析：(1)显然A＝2，又图像过(0,1)点，
∴f(0)＝1.
∴sin
φ＝.
∵|φ|＜，∴φ＝.
由图像结合“五点法”可知，(，0)对应函数y＝sin
x图像上的点(2π，0)，
∴ω·＋＝2π，得ω＝2.
∴所求的函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)在同一坐标系中画出y＝2sin(2x＋)和y＝m(m∈R)的图像(图略)，
由图可知，当－2＜m＜1或1＜m＜2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
∴m的取值范围为－2＜m＜1或1＜m＜2.
当－2＜m＜1时，两根和为；
当1＜m＜2时，两根和为.
20.(12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R,0≤θ≤)的图像与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A(，0)，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．
解析：(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中得cos
θ＝，因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π且ω＞0，得ω＝＝＝2.
(2)因为点A(，0)，
又Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
所以点P的坐标为(2x0－，)．
又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图像上，且≤x0≤π，
所以cos(4x0－)＝，≤4x0－≤，
从而得4x0－＝或4x0－＝，
即x0＝或x0＝.
21．(13分)某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
若入住客栈的游客人数y与月份x(x∈N＋)之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π)近似描述．
(1)求该函数的解析式；
(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
解析：(1)由①，得最小正周期T＝＝12，所以ω＝；
由②，得f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400；
由③，得f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500，
所以，解得.
又f(2)最小，f(8)最大，
所以.
由于0＜|φ|＜π，所以φ＝－，
所以y＝200sin(x－)＋300(x∈N＋，且1≤x≤12)．
(2)由200sin(x－)＋300≥400，得sin(x－)≥，
所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z)．
因为x∈N＋，且1≤x≤12，
所以x＝6,7,8,9,10，
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐．
22．(13分)已知函数f(x)＝asin(2x＋)＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2.
(1)求a的值；
(2)试用五点法作出该函数在一个周期闭区间上的图像，并求出该图像对称中心的坐标和对称轴的方程．
解析：(1)－≤x≤－?－≤2x≤－?－≤2x＋≤?－1≤sin(2x＋)≤?f(x)max＝a＋1，
∴a＋1＝2，即a＝2.
(2)列表：
2x＋
0
π
π
2π
x
－
y
1
3
1
－1
1
描点连线如图：
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．
∴对称中心为(－，1)(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
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