江苏省如皋市2021届高三上学期期末考试数学试题 图片版含答案

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2020～2021学年度高三年级第一学期期末考试
数 学 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
B
A
C
D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
答案
AB
BCD
BD
ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．false 14．4
15． 16．false false
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
【解】选①．
因为△ABC面积为2，
所以false，即false，解得false．
在△ABC中，据余弦定理得，false，
所以false，故false，
且false． …………………5分
因为AC是false的平分线，
所以false，
在△ACD中，据余弦定理可得，false，
即false，解得false．
所以false．
…………………10分
选②．
因为AC平分false，设false,
在Rt△ADC中，false，false，false，所以false，
在△ABC中，据正弦定理false ，得false，
…………………5分
整理得false，即false，得false．
所以在Rt△ADC中，false，即false，
所以false．
…………………10分
18．（本小题满分12分）
【解】（1）依题意，false，false．
当false时，false，故false，所以false，
当false，false时，false，
所以当false，false时，false，
所以false对false都成立，
因为false，所以false，所以false为定值，
所以数列false是false，公比为2的等比数列，
所以false． …………………5分
（2）依题意，false ，
false，
false
所以false，
整理得false． …………………9分
因为false，故数列false是单调递增数列，
又false，false，
故不存在正整数n，使得false． …………………12分
19．（本小题满分12分）
（1）证明：因为false，false，故false．
在△AND中，false，false，false，据余弦定理可得，
false，
故false，所以false，false，
所以AC⊥AD．
又PA⊥面ABCD，ACfalse面ABCD，
所以AC⊥PA．
因为PAfalseAD＝A，PA，ADfalse面PAD，
所以AC⊥面PAD． …………………6分
（2）解：以A为坐标原点，以AC，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示
的空间直角坐标系A－xyz．
在△BAD中，false，false，false，据余弦定理可得，
false，
故false，所以false，false．
所以false，false，false，false，false，
因为M是PD的中点，故false．
设false是平面PAB的法向量，则false即false
所以false取false，得false，
所以平面PAB的一个法向量为false．
同理，平面MAC的一个法向量为false．
所以false．
设平面PAB与平面MAC所成的二面角为false，故false，
因为false，所以false，
所以平面PAB与平面MAC所形成的二面角得正弦值为false．
…………………12分
20．（本小题满分12分）
【解】（1）表格如下：
日行步数≤8千步
日行步数＞8千步
总计
40岁以上
40
60
100
40岁以下（含40岁）
50
50
100
总计
90
110
200
则false，
因为false，
所以没有95%的把握认为日行步数与居民年龄是否超过40岁有关．
…………………5分
（2）依题意，该地区1位居民日行步数超过8千步的概率为false．
设调查的20位居民中日行步数超过8千步的人数为X．
则false，false，k＝0，1，2，…，20．
令false ，即false
简化得false false解得false，
又false，故k＝11．
所以这20位居民中的日行步数超过8千步的最有可能的是11位居民．
…………………12分
21．（本小题满分12分）
【解】（1）因为椭圆C经过点A(2，1)，所以false，即false． ①
又直线false与椭圆C相切，
联立方程组false整理得false，
据false，得false，即false． ②
联立①②，可解得false，false，
所以椭圆C的方程为false． …………………5分
（2）依题意，直线l经过B(3，0)，且不与x轴重合，设l的方程为false，
设false，false．
联立方程组false整理得false，
故false 即false其中false或false．
又直线AM：false，令false，得false．
同理，false．
故false
false．
…………………12分
22．（本小题满分12分）
【解】（1）依题意，false对false恒成立，
即false对false恒成立．
令false，false，false，
而false，故false在false上是单调增函数，
故false，从而false，
所以false在false上是单调增函数，
所以，当false时，false．
所以false． …………………3分
（2）依题意,false，false．
① 要证：false，即证：false，只需证：false，
即证：false．
令false，false，false，
所以false在false上是单调增函数，故false，
即false，
所以当false时，false． …………………6分
② 由①可知，当false时， false，因为false，故false，
所以false，false，false，…，false．
要证：false，只需证：false，
即证：false，即证：false，
令false，只需证：false，
即证：false，
即证：false，
即证：false．
因为false，故false．
据（1）可得，当false时，false对false恒成立，
即当false时，false，
所以false对false恒成立．
所以false．
因为false，故false，
所以false…false．
…………………12分