2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2第三章3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件（共46张PPT）

人教A版 选修2-2
第三章 数系的扩充和复数的引入
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
3.1 数系的扩充和复数的引入
一
提出问题
“数”是万物之源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉．
古希腊数学家、哲学家 毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
计数的需要
自然数
被“数”出来的自然数
远古时期的人类，用划痕、 石子、结绳记数，创造了自然数1.2.3.4. 5……
自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地.
相反量的需要
负数
被“欠”出来的负数
东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.
吐鲁番盆地大约比海平面低155米.
+8844
-155
珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米.
等额公平分配的需要
分数
被“分”出来的分数
分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾.
大约在春秋战国时期
度量计算的需要
无理数
1
1
边长为1的正方形的对角线长是多少?
被“推”出来的无理数
约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.
？
自然数N
整数Z
有理数Q
实数R
负整数
分数
无理数
数系的扩充过程
问题：求下列方程的解
核心问题：
引进一个新数，使 类方程有解，并将数系
进一步扩充。
核心问题：
引进一个新数，使 类方程有解，并将数系
进一步扩充。
希望：引进一个新数使方程有解
设想：实数与新数能像实数那样进行加法、乘法运算，原有的实数加法、乘法运算律仍成立
二
解决问题
一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数扩充到实数那样，通过引进新数使问题变得可以解决呢？
1 、引进一个新数
1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”
(R.Descartes,1596--1661)
笛卡尔
1777年，欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
欧 拉 (Leonhard Euler,
1707--1783）
1801年，高斯系统使用了i这个符号,使之通行于世
高 斯(Johann Carl Friedrich Gauss,1777--1855）
2 、设想
新数集
(1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示.
(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示.
实部
虚部
3 、复数与数系的扩充
i 叫虚数单位
虚数
有理数Q
整数Z
自然数N
实数R
负整数
分数
无理数
复数C
3 、复数与数系的扩充
三
反思提升
(1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示.
(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C表示.
实部
虚部
1 、复数的概念
i 叫虚数单位
2 、复数的分类
实数
纯虚数
虚数
实数R
纯虚数
虚数
复数集C
虚数
有理数Q
整数Z
自然数N
实数R
负整数
分数
无理数
复数C
数系的每一次扩充都与实际需求密切相关,都能解决一些新的问题、建立新的体系，发挥新的作用。
3 、数系的进一步扩充
虚数
有理数Q
整数Z
自然数N
实数R
负整数
分数
无理数
复数C
数系的不断扩充体现人类在数的认识上的深化，就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数认识的一次飞跃。
3 、数系的进一步扩充
虚数
有理数Q
整数Z
自然数N
实数R
负整数
分数
无理数
复数C
复数是16世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入的。一直以来它在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。
3 、数系的进一步扩充
在高科技迅猛发展的今天和未来，将发挥更大的作用。
4 、复数相等
规定：
复数只有相等与不相等，没有大小关系；
如果两复数比较大小，那么这两复数一定为实数。
思考: 复数可以比大小吗？
四
运用反馈
1
典型例题
例1. 将下列复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部。
实数R
纯虚数
虚数
复数集C
例1. 将下列复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部。
复数集C
实数R
纯虚数
虚数
复数集C
例2 实数m取什么值时，复数 是
(1) 实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
(2)当 ，即 时，复数 z 是虚数．
例2 实数m取什么值时，复数 是
(1) 实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
解：(1) 当 ，即 时，复数 z 是实数．
(3)当 ，且 ，
即 时，复数 z 是纯虚数．

例3. 如果 ，求实数 的值
例3. 如果 ，求实数 的值
解：
由复数相等知
2
课堂小结
虚数
有理数Q
整数Z
自然数N
实数R
负整数
分数
无理数
复数C
数系的扩充
从古代到近代，数系的扩充过程，就是不断探索与创造的过程，是人类智慧的结晶，体现出很多研究精神、创新的价值。
复数的相关概念及复数的分类，让我们初步认识、理解复数
实数R
纯虚数
虚数
复数集C
复数的概念
3
课堂检测
1.下列复数中，满足方程 x2＋2＝0的是（ ）
A.±1 B.±i C.± i D.±2i
2.若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为（ ）
A.－1 B.2 C.1 D.－1或 2
3.若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于 .
4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值
范围______________________.
1.下列复数中，满足方程 x2＋2＝0的 x 是
A.±1 B.±i
C. D.±2i
√
解析　由x2＋2＝0，得x2＝－2，即x2＝2i2，
2.若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为
A.－1 B.2
C.1 D.－1或2
解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
√
3.若复数z＝(m＋1)＋(m2－9) i < 0，则实数m的值等于______.
－3
∴m＝－3.
解：由z＝(m＋1)＋(m2－9) i < 0 知，z 为实数
4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值
范围______________________.
解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
五
课后任务
梳理新学的内容，掌握知识方法，典型例题，适当巩固
查阅“数系的扩充”，“复数的起源”相关资料
预习3.1.2 复数的几何意义
本课结束
谢谢！