江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

如东县2020-2021学年度第一学期期末考试
高二数学
一?选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分?在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.一物体做直线运动,其位移s与时间t的关系是false则物体在t=2时的瞬时速度为
A.4 B.6 C.8 D.10
2.命题p:“false”是命题q:“曲线false表示双曲线”的
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.抛物线false的焦点是直线x+4y-1=0与坐标轴的交点,则该抛物线的准线方程是
false B.x=-1 false D.y=-1
4.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日五尺,问日织几何?”意思是:“女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景,则从第一天开始,要使织布机织布的总尺数为165尺,则所需的天数为
A.7 B.8 C.9 D.10
5.若函数false在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是
false B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,-2]
6.已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式false恒成立,则m的取值范围是
false B.[1,+∞) C.(0,1] false
7.在公差不为0的等差数列{an}中,false成公比为4的等比数列,则k3=
A?84 B.86 C.88 D.96
8.已知函数f(x)=lnx,若对任意的false都有falsefalse恒成立,则实数k的最大值是
A.-1 B.0 C.1 D.2
二?选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分?在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求?全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分?
9.如图是函数y=f(x)的导函数的图象,下列结论中正确的是
A.f(x)在[-2,-1]上是增函数 B.当x=3时,f(x)取得最小值
C.当x=-1时,f(x)取得极小值 D.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数
10.等差数列false中,falsefalse是数列false的前n项和,则
false B.S8是{Sn}中的最大项
C.S9是{Sn}中的最小项 D.|a8|<|a9|
11.下列命题中是真命题的是
false的最小值为2
B.当a>0,b>0时,false
C.若false则a+b的最大值为2
D.正数a,b满足a+b=2,则false的最小值为false
12.已知false是椭圆false和双曲线false
的公共焦点,P是他们的一个公共点,且false则以下结论正确的是
false false
false false的最小值为false
三?填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分?不需写出解答过程,请把答案直接填写
在答题卡相应位置上?
13.命题“不等式false的解集为空集false”是真命题,则实数a的取值范围是____.
14.数列false满足false,则false___.
15.已知false若对falsefalse使得false，则实数a的取值范围为___.
16.已知双曲线C: false (a>0,b>0)的上?下焦点分别为false过F1且垂直于y轴的直线与C交于A,B两点,直线false分别交x轴于点C,D,若|CF2|+|DF2|=12,则过点false的直线的斜率的最大值为_____.此时双曲线的离心率为____.
四?解答题:本大题共6小题,共70分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?
17.(本小题满分10分)
在①数列false为递增的等比数列,且false②数列false满足false③数列false满足false这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,再完成解答.
问题:设数列false的前n项和为false_________.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设false求数列false的前n项和false
18.(本小题满分12分)
已知椭圆false和直线l:y=2x+m.
(1)当椭圆C与直线l有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|AB|的最大值.
19.(本小题满分12分)
已知等差数列false的公差为正数.a=1,其前n项和为false数列false为等比数列,false且false
(1)求数列{an}与false的通项公式;
(2)求数列false的前n项和false
(3)设false求数列false的前2n项和.
20.(本小题满分12分)
如图,有一个半圆形场馆,政府计划改建为一个方舱医院,改建后的场馆由病床区(矩形ABCD)及左右两侧两个大小相同的休闲区(矩形AHLJ和BEFG)组成,其中半圆的圆心为O,半径为50米,矩形BEFG的一边BG在BC上,矩形AHLJ的一边AH在AD上,点C,D,F,I在圆周上,E,J在直径上,且false设false.若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为false万元和false万元,记病床区及休闲区的总造价为f(θ)(单位:万元).
(1)求f(θ)的表达式;
(2)为进行改建预算,当θ为何值时,总造价最大?并求出总造价的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆false,右顶点A(2,0),上顶点为B,左右焦点分别为false且false过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D,交y轴于点E.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为AD的中点,过点E且与OP垂直的直线交OP于点G,判断直线EG是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知函数false,其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为l,求a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)若函数f(x)的导函数false在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,false
2020～2021学年度第一学期期末考试
高二数学参考答案
一、单选题：
1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4． 【答案】D 5．【答案】C
6．【答案】B 7.【答案】B 8．【答案】B?二、多选题
9．【答案】CD 10．【答案】AB 11.【答案】BCD 12．【答案】BD
三、填空题：
13．【答案】false 14． 【答案】false 15．【答案】false 16．【答案】4，false
四、解答题：
17. 在①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，③数列{an}满足false这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．
问题：设数列{an}的前n项和为Sn，false，_____．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝false ，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）选① 数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，
设等比数列{an}的公比为q，（q＞0），
则a1q（1+q）＝2q（1+q）＝12，解得q＝2（﹣3舍去）， ……… 3分
所以an＝2n； ………………5分
选② 数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，
可得Sn+1+2＝2（Sn+2），数列{Sn+2}是首项为S1+2＝4，
公比为2的等比数列，
则Sn+2＝2n+1，即为Sn＝2n+1﹣2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n， ……………… 3分
a1＝2也满足上式，
所以an＝2n，n∈N*； ……………… 5分
选③ 2na1+2n﹣1a2+…+2an＝nan+1（1），
当n≥2时，2n﹣1a1+2n﹣2a2+…+2an﹣1＝（n﹣1）an（2），
由（2）×2﹣（1）可得2an＝nan+1﹣2（n﹣1）an，即an+1＝2an，
又因为a1＝2，a2＝2a1＝4，也满足上式， ……………… 3分
故数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，
所以an＝2n，n∈N*； ……………… 5分
（2）由（1）可得an＝2n，bn＝false
false ……………… 7分
所以false
false
false ……………… 10分
18. 已知椭圆false和直线false.
（1）当椭圆false与直线false有公共点时，求实数false的取值范围；
（2）设直线false与椭圆false相交于false两点，求false的最大值.
解：（1）联立false，得false.
因为椭圆false与直线false有公共点，
所以false， ……………… 4分
解得false.所以实数false的取值范围是false， ……………… 6分
（2）设false，结合（1）的方程，有false，
所以false
false ……………… 10分
false. ……………… 12分
有（1）知，若椭圆false与直线false有两个交点，则false，所以false.
所以当false时，false取得最大值false.
19. 已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an?bn}的前n项和Tn．
（3）设false ，n∈N*，求数列false 的前2n项和．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则false，
等比数列{bn}的公比为q，
因为a1＝1，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，
可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，
解得q＝2，d＝1， ……………… 2分
则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n； ……………… 4分
（2）an?bn＝n?2n，
前n项和Tn＝1?2+2?22+3?23+…+n?2n，
2Tn＝1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1， ……………… 6分
两式相减可得﹣Tnfalse
false
化简可得Tn＝2+（n﹣1）?2n+1； ……………… 8分
（3）由false 可得false
则前n项和false
false ……………… 10分
false
则数列false 的前2n项和为false． ……………… 12分
20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形AHLJ和BEFG）组成，其中半圆的圆心为O，半径为50米，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHLJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF＝false，设∠BOC＝false．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为false万元和false万元，记病床区及休闲区的总造价为false（单位：万元）．
（1）求false的表达式；
（2）为进行改建预算，当false为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．
解：（1）由题意半径为50米，显然R＝50，如图示，由图形可知：，
在矩形ABCD中，BC＝Rsinθ，OB＝Rcosθ，
所以游泳池面积为S矩形ABCD＝2OB?BC＝2R2sinθcosθ＝R2sin2θ．
在矩形BEFG中，EF＝Rsinfalse＝，BE＝Rcosfalse﹣Rcosθ＝R（false﹣cosθ），
所以休息区面积为：2S矩形BEFG＝2BE?EF＝R2（false﹣cosθ），
由每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为false万元和false万元，
则f（θ）＝falset?R2sin2θ+2t?R2（false﹣cosθ）
即f（θ）＝false×502（falsesin2θ﹣2cosθ+false）（false＜θ＜false）； ………… 6分
（2）由（1）得false＝125（2falsecos2θ+2sinθ）
＝250（false﹣2falsesin2θ+sinθ）＝﹣250（2sinθ﹣false）（falsesinθ+1），
∵θ∈（false，false），∴sinθ∈（，1），
令false＝0，解得sinθ＝false，∵θ∈（false，false），∴θ＝false，
θ，false，f（θ）的变化如下：
θ
（false，false）
false
（false，false）
false
+
0
﹣
f（θ）
递增
极大值
极小值
故θ＝false时，总造价f（θ）取极大值false（1+2false），
即当θ＝false时，总造价的最大值是false(1+2false）万． ……………… 12分
21. 已知椭圆false，右顶点false，上顶点为B，左右焦点分别为false，false，且false，过点A作斜率为false的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设P为AD的中点，过点E且与OP垂直的直线交OP于点G，判断直线false是否过定点?若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
解：（1）由题意得：false，
因为在false中，false，
所以false，false，false，
所以false，所以false，
所以false，false，
所以椭圆方程为false. ……………… 4分
（2）设直线false，*
令false，则false，所以false，
将*代入false，整理得false，
设false，则false，
所以false，false， ………………6分
设false，因为false为false的中点，
所以false，false，
所以false， ……………… 8分
设直线false过定点false，则false，则false，false，
所以false，
即false对任意的false都成立，
所以false，所以false，
所以false.
所以直线false过定点false. ……………… 12分
22. 已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．
解：（1）根据条件false，
则当x＝2时，false， ……………… 1分
解得a＝2； ………………2分
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
false， ……………… 3分
①a≤0时，2x﹣a＞0，令false＞0，解得：x＞1，令false＜0，
解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
②0＜a＜2时，令false＞0，解得：x＞1或0＜x＜false，
令false＜0，解得：false＜x＜1，
故f（x）在（0，false）递增，在（false，1）递减，在（1，+∞）递增，
③a＝2时，false≥0，f（x）在（0，+∞）递增，
④a＞2时，令false＞0，解得：x＞false或0＜x＜1，令false＜0，解得：1＜x＜false，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，false）递减，在（false，+∞）递增；
综上a≤0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，……………… 6分
0＜a＜2时，f（x）在（0，false）递增，在（false，1）递减，在（1，+∞）递增，
a＝2时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞2时，f（x）在（0，1）递增，在（1，false）递减，在（false，+∞）递增；
（3）证明：因为false，
又因为导函数false在（1，e）上存在零点，
所以false＝0在（1，e）上有解，则有1＜false＜e，即2＜a＜2e，
且当1＜x＜false时，false＜0，f（x）单调递减，当false＜x＜e时，false＞0，
f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（false）＝alnfalse+false﹣false（a+2）＝alna﹣false﹣（1+ln2）a，
设g（x）＝xlnx﹣false﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，
则false＝lnx+1﹣false﹣（1+ln2）＝lnx﹣false﹣ln2，
则false，所以false在（2，2e）上单调递减，
所以g（x）在（2，2e）上单调递减，
则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），
所以g（x）＞﹣e2，
则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．…………… 12分