教
案
教学基本信息
课题
与平行线有关的辅助线问题
学科
数学
学段：第三学段
年级
七年级
教材
书名：数学
七年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2012年10月
教学目标及教学重点、难点
本节内容是在理解本章相关概念和定理的基础上，综合运用所学知识，解决有关几何问题，重点是掌握构造辅助线（平行线）的方法．提高学生的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝_____°．
复习平行线的性质：
复习平行线的性质，由课本习题引入本节课的内容．
新课
问题1
如果去掉射线CD，那么∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系是否改变？
例
如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，
∠CEF之间的数量关系，并证明．
答：∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°．
证明如下：过点C作CD∥AB，
∵AB∥EF，
∴CD∥EF．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°．
∵CD∥EF，
∴∠DCE＋∠CEF＝180°．
∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°．
小结：本题为什么需要添加这样的辅助线？
添加辅助线是为了帮助我们使用平行线的性质——因为只有当满足两条直线被第三条直线所截这个条件时，才有同旁内角互补的数量关系．
添加辅助线的一种思路：若已知条件与某条定理相关，但定理的使用条件不足，可考虑通过辅助线补充完整．
问题2
是否还有其它方法能够证明这三个角的数量关系？
方法二：借助三角形的内角和．
证明：连接AE，
∵AB∥EF，
∴∠BAE＋∠AEF＝180°
．
∵∠CAE＋∠C＋∠AEC＝180°，
∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°．
方法三：借助四边形的内角和．
小结：这三种方法都添加了辅助线．都是通过添加辅助线构造基本图形，从而借助它们的性质来解决的．
在添加辅助线之前，应先观察图形，分析已知和未知，结合自己的学习经验，有目标的添加辅助线．
练习
如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．
证明：如图，过点C作CD∥AB，
∵AB∥EF，
∴CD∥EF．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD．
同理
∠DCE＝∠CEF
．
∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠BAC＋∠CEF．
方法二：
方法三：
小结：不同的添加辅助线的方法有不同的解法，不同解法的繁简程度也是有区别的．
提出问题，引入辅助线．
通过例题，明确添加辅助线的作用．
通过一题多解，提高学生的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力．
巩固练习，掌握构造辅助线（平行线）的方法．
总结
1．添加辅助线的原因与作用：
若已知条件与某条定理相关，但定理的使用条件不足，可考虑通过辅助线补充完整．
2．添加辅助线的注意事项：
（1）当题目中的几个条件相关联时，辅助线只能满足其中一个条件，其他结论都要通过证明获得；
（2）在添加辅助线之前，应先观察图形、分析已知和未知，有一定的解题思路后，选择适当的方法添加辅助线；
（3）添加的辅助线不同，解法也不同．
梳理本节课所学内容．
作业
作业1
如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，
∠CEF之间的数量关系，并证明．
作业2
这是课本25页14题，如果去掉这个图中的直线DE，你能用添加辅助线的方法，说明为什么三角形内角和是180°吗？
巩固构造辅助线（平行线）的方法．《与平行线有关的辅助线问题》学习任务单
【学习目标】
本节内容是在理解本章相关概念和定理的基础上，综合运用所学知识，解决有关几何问题，重点是掌握构造辅助线（平行线）的方法．提高学生的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力．
【课上任务】
1．同位角（内错角）相等的条件是什么？
2．要使用平行线的性质，除了两条直线平行，还需要满足什么条件？
3．三角形的内角和是多少度？四边形的内角和是多少度？
4．通过本节课的学习，你学会了哪种添加辅助线的方法？
5．添加辅助线有哪些注意事项？
6．请跟随视频讲解，完成例题和练习．
例
如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．
练习
如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．
【学习疑问】
7．本节课的例题共讲解了三种方法，哪种方法你还没有理解？
8．在添加辅助线时你还有什么困惑？
9．本节课的哪个环节你还没弄清楚？
【课后作业】
10．作业1
如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．
11．作业2
这是课本25页14题，如果去掉这个图中的直线DE，你能用添加辅助线的方法，说明为什么三角形内角和是180°吗？
【课后作业参考答案】
作业1
答：∠CEF＝∠BAC＋∠ACE．
证明如下：过点C作CD∥AB，如图所示，
∵AB∥EF，
∴EF∥CD．
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC．
同理
∠DCE＝∠CEF．
∵∠DCE＝∠DCA＋∠ACE，
∴∠CEF＝∠BAC＋∠ACE．
作业2
证明：过点A作DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C．
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°．
