教
案
教学基本信息
课题
勾股定理的逆定理
学科
数学
学段：
初中
年级
八年级
教材
书名：数学（八年级下册）
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2013年
11月
教学目标及教学重点、难点
本课探究并证明勾股定理逆定理，体会从特殊到一般的方法，应用定理解决问题，提升数学抽象、直观想象、数学推理素养。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
回顾勾股定理—从边的数量关系的角度丰富了直角三角形的性质，提出问题—能不能从边的数量关系来判定直角三角形呢？究.
古埃及人画直角的方法：
把一根长绳打上距离相等的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角就是直角.
这个方法意味着：如果三角形的三边长分别为，它们满足，那么这个三角形为直角三角形.
问题：
如果三角形的三边长分别为，它们满足，那么这个三角形是直角三角形吗？请你画一画，量一量得出答案.
如果三角形的三边长分别为，它们满足，那么这个三角形是直角三角形吗？请你画一画，量一量得出答案.
你能得到什么猜想？
【命题】
如果三角形的三边长分别满足，那么这个三角形为直角三角形.
提出本节课的目标
从数学史料到实际操作到提出猜想，让学生体会从特殊到一般的几何探索过程，提升数学抽象的素养。
新课
证明勾股定理的逆定理
请大家自行分析命题的题设、结论，画出图形，写出已知和求证并证明.
已知：的三边长分别满足.
求证：是直角三角形.
证明：画Rt,使，
，.
，
.
是直角三角形.
归纳定理
探讨新命题与勾股定理的关系
命题和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.
原命题：勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别斜边长为，那么.
逆命题：勾股定理逆定理
如果三角形的三边长分别满足，那么这个三角形为直角三角形.
（2）勾股定理逆定理的作用——判定直角三角形的一个依据.
引导学生证明勾股定理的逆定理，体会从猜想到证明的认识几何图形的过程，提升直观想象和推理的素养.
引导学生从文字语言、图形语言、符号语言去认识勾股定理.
例题
应用
例1
写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴内错角相等，两条直线平行；
⑵对顶角相等.
分析：将原命题的题设和结论互换得逆命题，同时注意语言的运用然后再判断是否成立即可。
解：（1）原命题的题设：内错角相等，结论：两条直线平行.
逆命题则为：两条直线平行，内错角相等.这是平行线的性质定理，显然成立.
（2）原命题的题设：两个角是对顶角，结论：它们的绝对值相等.
逆命题则为：如果两个实数绝对值相等，那么它们相等.这是错误的，因为两个实数绝对值相等，，那么它们相等或互为相反数，所以逆命题不成立.
例2
判断由下面三条线断组成的三角形是否是直角三角形？
，，；
，，
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是够等于最大边的平方.
解：(1)，
是直角三角形.
，
,
是直角三角形.
例3
在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且.求证：
分析：根据勾股定理的逆定理，判断,只要证即可.所以分别在直角中计算的长度即可.
解：四边形ABCD是正方形，
,
.
设，.,
.
E是BC的中点,.
在Rt中，
，
,
.
例1设计意图：理解原命题与逆命题的关系.
例2设计意图：会用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形；
综合运用勾股定理及其逆定理解决问题,提升数学推理的素养.
总结
学到了哪些知识？
（1）勾股定理的逆定理的做用
判定直角三角形的一个依据
（2）逆命题于原命题的什么关系？
命题和结论正好相反，原命题成立，它的逆命题可能成立也可能不成立.
学到了哪些知识？
（1）如何得到勾股定理的
特殊
一般
猜想
证明
（2）如何证明勾股定理的逆定理？
构造直角三角形
总结本节课所学知识，领悟数学方法.
作业
写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行；
⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
判断由下面线段组成的三角形是不是直角三角形:
（1），，；
（2），，.
3.
在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12,AD=13,，求四边形ABCD的面积.
练习1设计意图：理解原命题与逆命题的关系，会判断命题真假.
练习2设计意图：会用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形；
练习3
综合运用勾股定理及其逆定理解决问题,提升数学推理的素养.《勾股定理的逆定理》学习任务单
【学习目标】
本课探究并证明勾股定理逆定理，体会从特殊到一般、从猜想到证明的研究问题的方法，提升数学抽象、数学推理的素养.理解原命题与逆命题的关系，并应用勾股定理逆定理解决问题，提升直观想象、数学推理素养，体会勾股定理的逆定理的应用价值.共设计三道例题，涉及根据原命题写出逆命题，并判断逆命题的真假，应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形,
及综合运用勾股定理与勾股定理的逆定理解决问题.
【课前预习任务】
复习勾股定理.
【课上学习任务】
探究并证明勾股定理逆定理，并会用三种语言表示勾股定理逆定理.
理解原命题与逆命题的关系,能根据原命题写出逆命题，并判断逆命题的真假.
能应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
能综合运用勾股定理与勾股定理的逆定理解决问题.
【课后作业】
写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴
同旁内角互补，两条直线平行；
⑵
如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
判断由下面线段组成的三角形是不是直角三角形:
（1），，；
（2），，.
3.
在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12,AD=13,，求四边形ABCD的面积.
【课后作业参考答案】
写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴
同旁内角互补，两条直线平行；
⑵
如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
解：⑴逆命题：两条直线平行，同旁内角互补.这个逆命题成立.
⑵
逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等。这个逆命题不成立.
判断由下面线段组成的三角形是不是直角三角形:
（1），，；
（2），，.
解：(1)
是直角三角形.
（2），，.
解：
是直角三角形
3.
在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12,AD=13,，求四边形ABCD的面积.
解：连接AC
在Rt中，
，（勾股定理）
,
,
2
