《矩形的判定》学习任务单
【学习目标】
本节课的主要内容是探索并证明矩形的判定定理．通过经历判定定理的探索过程，从性质定理的逆命题出发，加强数学自身的逻辑力量，发展学生的合情推理和演绎推理的能力．课堂通过2道例题及练习综合运用矩形性质和判定，帮助学生完成学习任务．
【课上任务】
1．回顾矩形的定义及性质．
2．回顾研究平行四边形的判定方法．
3．思考：如何从对角线的角度出发，判定一个平行四边形是矩形？
根据以前的学习经验，我们将矩形性质定理的题设部分和结论部分
交换位置，得到判定一个平行四边形是矩形的猜想．
证明猜想，得到判定定理．
思考：如何从角的角度出发，判定一个四边形是矩形？
根据以前的学习经验，我们将矩形性质定理的题设部分和结论部分
交换位置，得到判定一个平行四边形是矩形的猜想．
证明猜想，得到判定定理．
归纳矩形的判定方法．
请跟随视频讲解，完成例题．
例
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，四边形ABDE是平行四边形，DE交AC于点F，连接CE.求证：四边形ADCE是矩形．
例
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，求∠OAB的度数．
9．请跟随视频讲解，完成练习．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4．求平行四边形ABCD的面积．
10．梳理本节课所学的知识．
【学习疑问】
11．哪个环节没弄清楚？
12．有什么困惑？
【课后作业】
13．作业1
1．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．它是一个矩形吗?为什么？
一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
【课后作业参考答案】
1.需要再搬来38盆红花．根据矩形的对角线相等，以及对角线交点处不放花;
需要再搬来48盆红花．根据矩形的对角线相等，以及对角线交点处要放花．
2．是．利用∠1=∠2，可知BO=CO，从而BD=AC，平行四边形ABCD的对角线相等，它是一个矩形．
3．能．这时他得到的是一个角为直角的平行四边形，即矩形．教
案
教学基本信息
课题
矩形的判定
学科
数学
学段：第三学段
年级
八年级
教材
书名：数学
八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2013年
9月
教学目标及教学重点、难点
本节课的主要内容是探索并证明矩形的判定定理．通过经历判定定理的探索过程，从性质定理的逆命题出发，加强数学自身的逻辑力量，发展学生的合情推理和演绎推理的能力．课堂通过2道例题及练习综合运用矩形性质和判定，帮助学生完成学习任务．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
提出问题
引发思考
在上节课，我们研究了矩形的定义及性质，并能利用性质来解决矩形的有关问题．如何判定一个平行四边形或四边形是矩形呢？
回顾矩形的定义，根据定义可以判定一个平行四边形是矩形．
符号语言：
∵
四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，
∴
所以平行四边形ABCD是矩形．
追问：除此之外，还有没有其他判定方法呢？研究图形的判定，我们有哪些经验呢？
回顾研究平行四边形判定的方法，类比得到研究矩形判定的方法．
通过复习回顾，类比得到学习矩形判定的方法，引出课题．
获得猜想
规范证明
回顾矩形的性质，可以发现，矩形在边的角度并没有自己的特殊性质，因此，不能从边的角度判定矩形．
问题1
如果从对角线的角度出发，在平行四边形的基础上，对角线需要满足什么条件才是矩形呢？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD．
求证：平行四边形ABCD是矩形．
证明：连接BD．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB=DC．
∴ ∠ABC+∠DCB=180°．
∵ AC=DB，BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB．
∴ AB∥DC，AD∥BC．
∴∠ABC=∠DCB．
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
用符号表示为：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
归纳：
矩形的判定方法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形．
问题2
在四边形的基础上，可以从角的角度出发，判定矩形吗？
猜想：有四个角是直角的四边形是矩形．
四边形内角和是360°
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．
∴ AD∥BC，AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
∵ ∠B=90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形．
矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
用符号语言表示为：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
归纳：
矩形的判定方法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
问题3
从对角线的角度再出发，可以判定一个四边形是矩形吗？
结论：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
反例：
显然，只满足对角线相等的四边形不是矩形．
归纳：
（1）矩形的判定方法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
矩形既可以从四边形的基础上进行判定，也可以从平行四边形的基础上进行判定，还可以利用平行四边形的判定先将四边形证明为平行四边形，再基于平行四边形判定为矩形．
根据以往的学习经验，经历研究几何图形的过程．能够利用互逆，研究矩形的性质与判定．
经历证明一个几何命题的过程，通过证明猜想，发展学生演绎推理能力．
经历证明一个几何命题的过程，证明猜想，得到矩形的判定定理．
归纳矩形的判定方法．为今后判定一个平行四边形或四边形是矩形提供更多的思路．
运用定理
解决问题
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，你知道其中的道理吗？
答：对角线相等的平行四边形是矩形．
例
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，四边形ABDE是平行四边形，DE交AC于点F，连接CE.求证：四边形ADCE是矩形．
分析：
证明：∵
AB=AC，D是BC中点，
∴
AD⊥DC，BD=DC．
∵
四边形ABDE是平行四边形，
∴
AE∥BD，AE=BD．
∴
AE∥DC，AE=DC．
∴
四边形ADCE是平行四边形．
∵
∠ADC=90°，
∴
平行四边形ADCE是矩形．
例题小结：
想要选择适合的方法解决问题，可以结合已知条件及图形分析，进行判断．
例
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，求∠OAB的度数．
分析：
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
，．
又
OA=OD，
∴
AC=BD．
∴
四边形ABCD是矩形．
∴
∠DAB=90°．
∵
∠OAD=50°，
∴
∠OAB=40°．
例题小结：将四边形或平行四边形判定为矩形后，便可以在边、角、对角线等方面提供特殊的条件来解决问题了．实际上，矩形的性质在求角的度数、线段的长度，证明角、线段相等或线段的倍分关系等方面都有很大的作用．
练习
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4．求平行四边形ABCD的面积．
应用矩形的性质和判定进行推理，体会证明矩形的多种思路，学会选择和判断．
通过练习，综合运用矩形的判定定理及性质定理．
归纳总结
提升认识
引导学生对本节课的知识进行小结．
通过小结，梳理本节课所学知识，体会矩形的性质与判定之间的关系．
作业
1．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．它是一个矩形吗?为什么？
3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
