《勾股定理应用》（第一课时）学习任务单
【学习目标】
本节课研究勾股定理的基本应用，去除实际背景在几何图形中的基本应用．从一个直角三角形中应用勾股定理，继而到多个直角三角形组合应用勾股定理，其间将会解决化斜三角形为直角三角形，化四边形为直角三角形等等问题，突出转化思想,难点在于勾股定理与方程思想的结合．
【课前预习任务】
复习勾股定理，复习全等知识，回顾一元一次方程，二元一次方程组的应用．
【课上学习任务】
探究勾股定理在直角三角形中的应用．
基本应用，已知两边求一边；
灵活应用，获得一个方程，求未知边，体会方程思想．
探究勾股定理在斜三角形中的应用．
凡是确定的图形，皆可以求出未知边．需化斜为直，应用方程思想．
探究勾股定理在其他图形中的应用．
化斜为直，应用方程思想，关注图形性质．
【课后作业】
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
AC=2，
求斜边AB长．
2．
如图，等边三角形的边长是6．求这个三角形的面积．
【课后作业参考答案】
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
AC=2，
求斜边AB长．
解：设BC=x．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
∴
AB=2BC=2x．
∵Rt△ABC中，
∴
解得：（舍负值）
∴
AB=2x=．
2．如图，等边三角形的边长是6．求这个三角形的面积．
解：作AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵等边三角形边长是6．
∴BH=CH=3．
∵∠AHC=90°．
∴．
∴AH=
∴等边三角形的面积是．
2教
案
教学基本信息
课题
勾股定理应用（第二课时）
学科
数学
学段：
初中
年级
八年级
教材
书名：数学（八年级下册）
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2013年
11月
教学目标及教学重点、难点
本课应用勾股定理解决问题，
体会数形结合、转化、分类讨论的思想方法，感受勾股定理的应用价值，提升数学推理的素养，提高分析问题、解决问题的能力。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
回顾勾股定理—从边的数量关系的角度丰富了直角三角形的性质.
提出本节课的目标应用勾股定理解决问题
例题
如图1-1，几何原本中的勾股定理这样表述，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直角边a，b为边长的两个正方形面积之和等于以斜边c为边长正方形的面积.
（1）如图1-2，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直角边a，b，为边长的两个等边三角形的面积之和是否等于以斜边c为边长的等边三角形的面积？
（2）如图1-3，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直角边a，b为直径的两个半圆的面积之和是否等于以斜边c为直径的半圆的面积？
（1）分析：要求三角形的面积需要知道它的底和高的，显然底已知，关键是确定高.
（1）解：作于H,
∵?
ABC
是等边三角形，∴
，
,
∵在Rt?
AEH中,
同理可得：
,
∵在Rt?ABC中，
.
(2)分析:要计算半圆的面积关键是确定它的半径，显然半径长为直角三角形边长的一半
(2)
解：设以a
,
b,
c为直径的半圆面积分别为：S1
,S1
,
S3
.
∵在Rt?ABC中，a2+b2=c2，
.
反思：以直角边为基础所作画两个图形的面积S1与S2的和始终等于以斜边为基础所画图形的面积S3.这一切都依赖于三个图形面积比值S1：S2：S3=a2：b2：c2,而Rt?ABC的三边满足a2+b2=c2,所以S1+S2=S3.
例2
如图2，在直线上依次摆放着3个正方形，水平放置的2个正方形面积分别为S1，S2，
倾斜放置的正方形面积为S3，求S1，S2，S3之间的关系.
分析：正方形的面积等于边长的平方，所以探寻3个正方形面积之间的关系，就是探究3个正方形边长AG，AB，CH间的关系.AG，AB分别是Rt?AGB的一条直角边和斜边，独立存在的CH要是和它的另一条直角边BG有关系就好了.测量一下，就会发现BG=CH.所以我们只需证明BG=CH.要证BG=CH需证明BG与CH所在三角形△AGB和△BHC全等，要证三角形全等，需找齐三个条件，显然由正方形可得AB=BC,∠AGB=∠BHC=90?。边相等是要求证的，所以我们需再找一对角相等，不妨找∠ABG=∠BCH，要证两个角等，这里我们不会再证全等，可以找和它们有关系的角，显然它们都是∠CBH的余角.所以依据同角的余角相等即可得证.
证明：∵在正方形EFGA，正方形ABCD，正方形CHIM中，
AB=BC，∠AGB=∠BHC=∠ABC=90?，
∵在Rt?BHC中，∠BCH+∠CBH=90?，
∵∠ABC=90?，∴∠CBH+∠ABG=180?－90?=90?，
∵在Rt?AGB中，
，，，
反思：对比例1与例2，如果两道题中的?ABC和?ABG是同一个图形，可以认为例2是把例1中一条直角边上的正方形经过全等变换改变了图形位置而得到的所以虽然图形位置不同，但3个正方形面积间数量关系仍旧保持不变。
例3
（1）如图3-1，这是我国古代著名的
“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三
角形和一个小正方形拼接成一个大正
方形，若直角三角形两条直角边分别
为a，b（a>b)，大正方形面积为49，
小正方形
面积为4，求a+b的值.
（2）如图3-2，有一个长和宽分别为6.5和2的长方形，把它分割后拼成一个大正方形.
(1)分析：我们由两个正方形的面积与直角三角形两条直角边
a，b之间的关系，得到两个关于a，b的等式，再根据所学代数知识求出a+b的值就可以了.
(1)解：我们设直角三角形斜边为c，.
∵大正方形面积为49
，
，
∵小正方形面积为4
，∴小正方形边长为，也就是
，
,.
,,,.
分析：依题意可知长方形面积为6.5×2=13，从长方形变成正方形，面积不变，所以正方形面积是13，因此要拼成的正方形边长为根号13
.我们知道根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和，所以根号13是以2，3为直角边的直角三角形的斜边长.
我们可以以此在图中画出长为根号13的线段.将长方形沿分割线（虚线）剪出4个以根号13为斜边的直角三角形，将它们拼成右图，我们知道这四个直角三角形全等，如图
?ADF
≌
?BAE,则∠ADF=∠BAE.
∵∠ADF+∠DAF=90?，
∴∠ADF+∠BAE=90?，
即∠DAB=90?，
同理可证∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90?
,由于
AD=DC=CB=BA=，所以四边形ABCD为正方形.拼成的大正方形中间还空出个四边形EFGH，显然它的四个角都是直角，四条边恰好是直角三角形较大直角边3与较小直角边2的差为1,所以中间空出的四边形EFGH也是正方形，面积为1.原长方形剪掉4个直角三角形后剩余一个长为2，宽为0.5的长方形，面积为1.把它分成2个长为1，宽为0.5的长方形，恰能拼成一个边长为1的正方形,也就是拼成正方形EFHG.
反思：回顾例3的第（1）小问，借助赵爽弦图，我们把图形面积转化为代数式的值；问题（2）的解决过程我们借助根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和这个数量关系，完成了从长方形到正方形的转变.
例4
请你在边长为1的正方形网格纸中，画?ABC，使它的三个顶点都在格点上，且三边长分别为
AB=，AC=
，BC=
.
分析：?ABC的三个顶点都在格点上
,而三边长均不是整数，考虑它们是直角边长为正整数的直角的三角形的斜边.
我们知道的，所以是以2，3为直角边的直角三角形的斜边长，，所以是以1，2为直角边的直角三角形的斜边长，再计算BC的长即可。
(1)
(2)
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
解：如图（8）?ABC即为所求.
反思：由满足特殊的数量关系边长，找到画线段的方法，再通过对线段不同位置的讨论最终用计算确定图形,以至后面的图形面积计算，都让我们感受到数与形的交汇交融，同时对AB的位置分类讨论时是按空间顺序有序展开.
例1从勾股定理几何原本中的表述起步，改变题目中的条件使图形从正方形到等边三角形到半圆，探讨图形发生变化，面积之间根据勾股定理不变的数量关系，体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养.
例2是把例1中一条直角边上的正方形经过全等变换改变了图形位置而得到的所以虽然图形位置不同，但3个正方形面积间数量关系根据勾股定理，仍旧保持不变。使学生再次体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
例3的第（1）小问，借助赵爽弦图，根据勾股定理，我们把图形面积转化为代数式的值；问题（2）的解决过程我们根据勾股定理，借助根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和这个数量关系，完成了从长方形到正方形的转变.体会从形到数，从数到形的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
例4由满足特殊的数量关系的边长，根据勾股定理，找到画线段的方法，再通过对线段的位置按空间顺序有序分类讨论，最终运用勾股定理计算线段长度确定图形，使学生感受到数与形的交汇交融，再次感受勾股定理的应用价值.
总结
1.数形结合
本节课我们首先从不同的几何图形中发现其蕴含的数量关系，反过来又从特殊的数量关系发现构图的方法。当然这一切都依赖于勾股定理这一媒介，因为勾股定理本身就是一个数形完美结合的定理。
2.转化
在解决问题中我们多次用到了转化的数学思想方法：在研究面积关系时，在证明线段相等时，再用补形的方法求面积时等等，
3.分类讨论
在解题中我们还用到了分类讨论的数学思想方法，比如对线段位置的讨论，这些数学思想方法对我们今后学习会大有帮助。
总结本节课所学知识，领悟数学思想方法.
作业
1.如图,分别以在Rt?ABC的三边AC
,
BC
,
AB
为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AFCD和月形图案BGCE的面积和等于Rt△ABC的面积.
2.有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形.
3.?ABC三边长分别为，，
，其中
且，
请你画出?ABC
并求出它的面积.
练习1运用勾股定理从几何图形特征到代数数量关系转化.
练习2运用勾股定理从代数数量关系寻求构造图形的方法，从而将长方形转化为正方形.
练习3运用勾股定理从代数数量关系寻求构造图形的方法，从而画出图形，在运用割补法求图形面积.教
案
教学基本信息
课题
勾股定理应用（第四课时）
学科
数学
学段：
初中
年级
八年级
教材
书名：数学八年级下册
出版社：人民教育出版社出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1．解决与勾股定理有关的距离问题，熟练运用勾股定理进行计算．
2．体会勾股定理在代数问题和几何问题中的应用，经历从实际问题抽象出数学模型的过程，进一步感受数形结合与建模思想．
3．解决生活中的数学问题，热爱思考，勇于探索．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
提出问题
【问题】
一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？
简单的勾股定理求距离问题，复习勾股定理，熟悉研究实际问题的方法，感受建模的过程，为后面的研究做好铺垫．介绍《九章算术》，感受数学文化．
探究应用
【问题1】
如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理，提出一个解决这个问题的方案．
【问题2】
如图，长方体木块的长为6cm，宽为4cm，高为3cm，一只蚂蚁在木块的表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？
问题更加接近实际生活，需要学生对条件与结论作出判断，并在此基础上提出解决方案，建模的过程也就是找到直角三角形的过程，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，也进一步感受到数学与生活的联系．
研究的实际问题更加复杂，不仅是培养学生的建模能力，也对勾股定理的应用进行了巩固．由特殊到一般的过程，实现了对学生思维能力及代数运算能力的培养．
开阔思路
【问题】
你能求出代数式
的最小值吗？
体会构造直角三角形的方法，体会代数问题中勾股定理的应用．
总结提升
1．知识上：应用勾股定理解决距离问题．
2．方法上：建模，构造图形．
梳理学习内容与方法．
作业设计
1．如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆．求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
2．如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
复习勾股定理的应用．《勾股定理应用（第四课时）》学习任务单
【学习目标】
1．解决与勾股定理有关的距离问题，熟练运用勾股定理进行计算．
2．体会勾股定理在代数问题和几何问题中的应用，经历从实际问题抽象出数学模型的过程，进一步感受数形结合与建模思想．
3．解决生活中的数学问题，热爱思考，勇于探索．
例题：
1.一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？
2.如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理，提出一个解决这个问题的方案．
3.如图，长方体木块的长为6cm，宽为4cm，高为3cm，一只蚂蚁在木块的表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？
4.你能求出代数式的最小值吗？
【课上任务】
1．“断竹”描述了什么场景，怎样转化为数学问题？
2．旗杆问题与数学问题的转化及求解。
3．怎样爬行路程会最短？
4．有没有比沿着棱行走更短的路程？
5．比较了这些路程的大小，就找到了本题的答案了吗？
6．让点M在棱ED上移动，AM+BM何时最短呢？
7．你会计算AB的长吗？
8．对于M点的位置，你是否有新的发现？
9．这里面是否有必然的规律？怎样证明？
【课后作业】
1．如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆．求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
2．如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
【课后作业参考答案】
1．根据勾股定理，得m．
2．将圆柱侧面展开成矩形，矩形的长为底面圆的半周长cm，宽为圆柱的高10cm，根据勾股定理，得cm．《勾股定理应用（第三课时）》学习任务单
【学习目标】
1．复习勾股定理及逆定理的应用，能根据已知条件构造直角三角形，进而运用勾股定理解决问题．
2．经历寻找与构造直角三角形的过程，感受分析条件与结论对解决几何问题的重要性，培养逻辑推理能力．
3．积极参与数学活动，认真思考问题，激发探究的热情．
例题：
1.如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．
2.如图，，，
，比大10，求四边形ABCD的面积．
3.如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点D在的斜边AB上．求证：．
4.如图，是等腰直角三角形，，点D在的斜边AB上．
求证：．
5.如图，是等腰直角三角形，，点D，点E在的斜边AB上，．求证：．
【课上任务】
1．你对求哪些四边形的面积比较熟悉呢？
2．怎样求一个很一般的四边形的面积？
3．两个等腰直角三角形带给你什么启发？
4．用不同方法解决问题。
4．题目中的条件可以简化吗？怎样解决？
5．尝试解决新问题。
【课后作业】
1．
如图，每个小正方的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的面积与周长；
（2）是直角吗？
2．在中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求AC．
3．如图，是等腰直角三角形，，点D，点E在的斜边AB上，．求证：．
课堂上的例题，你还有不同解法吗？
【课后作业参考答案】（给出作业1的答案及过程）
1．
四边形ABCD的面积为14.5，周长为．
2．根据勾股定理逆定理，得是直角三角形，因而AD垂直于BC，再根据中垂线的性质，得AC=13．
3．提示：可以将∠DCE分成两个角，分别与∠ACD和∠ECB相等，并且CF=CA，在中应用勾股定理证明结论．教
案
教学基本信息
课题
勾股定理应用（第一课时）
学科
数学
学段：第三学段
年级
初二
教材
书名：义务教育教科书
数学
八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2013
年
12
月
教学目标及教学重点、难点
本节课研究勾股定理的基本应用，去除实际背景在几何图形中的基本应用．从一个直角三角形中应用勾股定理，继而到多个直角三角形组合应用勾股定理，其间将会解决化斜三角形为直角三角形，化四边形为直角三角形等等问题，突出转化思想,难点在于勾股定理与方程思想的结合．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
基本应用
回顾勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
．
探究勾股定理的应用：
求直角三角形的边：
1．
知道两条边求第三条边
直角三角形中两条边分别是3,4
，第三条边是多长呢？
情况一：
情况二：
【归纳】勾股定理强调位置，应用时要注意直角位置，注意边是斜边还是直角边．
算一算：，
abc12122323……
探一探：
你能在数轴上画出表示的点吗？
需要找到长度为的线段
联想到直角边长为2，3的直角三角形的斜边；
以及直角边为6，斜边为7的直角三角形的第二条直角边．
借助勾股定理可以画出许多无理数对应的长度．
借助勾股定理可以找到许多无理数在数轴上的位置．
体会勾股定理是一个与图形位置关系密切相关的定理，需要关注直角位置，关注是直角边还是斜边．
熟悉位置和数量之间的对应．
模型探索
2．将勾股定理当做建立方程的模型
已知直角三角形的一条直角边为5，请你补充一个条件，求剩余两条边．
条件一：另一条直角边是12；
条件二：有一条边是12；
想一想：
求解直角三角形的一条边一定需要已知两边长吗？
条件三：有一锐角是30°；
【归纳】勾股定理是一个关于直角三角形三边的等式，当其中存在未知边时，这就是一个方程．通常，一个方程能求解一个未知数．
条件四：另外两条边之差为1；
条件五：周长为30．
条件六：去掉条件“一条直角边为5”，补充条件三条边长恰好为三个连续整数．
【归纳】直角三角形中边的计算
情况一：已知两边；
情况二：已知一边，以及剩余两边的关系．
情况三：已知三边之间的关系．
将勾股定理当做求解未知线段的方程，为灵活应用勾股定理做好思维准备．
灵活应用
二、求三角形中的重要线段
已知等腰三角形的一条腰为10，底为12，求这个等腰三角形的面积．
已知等腰三角形的一条腰为10，底为12，求这个等腰三角形腰上的高．
借助面积相等建立方程
已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4
，AD是△ABC的角平分线，求AD．
作DH⊥AB于H，由角平分线性质有DC=DH．
方法一：借助面积相等建立方程
方法二：借助勾股定理建立方程
Rt△HBD中
已知△ABC中，AB=
，AC=，BC=12
，AD是△ABC的中线，求AD，∠B．
【归纳】斜三角形中线段转化成直角三角形的边．
将几何图形的性质数量化成为消去未知数的条件，建立关于未知线段的方程，使得方程中未知数更少．
AH=AH
引出作高将斜三角形转化成直角三角形的方法．
变式教学引发目标变化对于解法的影响的关注．
关注图形的性质，获得更多的求解思路，巩固等面积法，体会方程思想中的消元意识．
关注图形的性质，例如本题中两个直角三角形具有公共边，就成为了建立方程，消去未知数的图形条件
拓展提升
三、求其它多边形中的线段
已知等腰Rt△ABC中AC=12cm，Rt△ABD中BD=cm，求CD的长．
法一：将四边形中的线段转化成三角形的边，继而转化成直角三角形的边来研究．
法二：
关注图形元素的数量关系继而发现新的图形性质．
发现全等，发现中点．
将勾股定理的应用领域进一步拓展到任意的几何图形中，体会万变不离其宗的核心思想．
归纳
小结
选择研究对象的小结：
将图形中的线段转化成三角形的边，继而转化成直角三角形的边来研究．
具体研究方法的小结：
将勾股定理看成是关于线段的方程；
充分关注并利用几何图形的性质；
将图形性质数量化，以获得更多的数量条件，借以消元．
思想方法的小结：
几何图形的研究总是伴随着数量到位置，从位置到数量的分析，分析几何问题，离不开对图形性质背后蕴含的数量位置之间对应关系的分析．
梳理应用勾股定理解决问题的要点，并且提炼背后蕴含的研究几何问题的通性通法．
布置作业
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
AC=2，
求斜边AB长．
2．
如图，等边三角形的边长是6．求这个三角形的面积．
巩固新知识
4《勾股定理应用（第二课时）》学习任务单
【学习目标】
本课应用勾股定理解决问题，
体会数形结合、转化、分类讨论的思想方法，感受勾股定理的应用价值，提升数学推理的素养，提高分析问题、解决问题的能力。共设计四道例题，由图形的几何特征，依据勾股定理发现数量关系（例1，例2，例3（1）），由数量关系发现构图的方法，拼接、画出几何图形（例3（2），例4）。
【课前预习任务】
复习勾股定理.
【课上学习任务】
例1从勾股定理几何原本中的表述起步，改变题目中的条件使图形从正方形到等边三角形到半圆，应用勾股定理，探讨图形发生变化，面积之间不变的数量关系。体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养.
例2的本质是把例1中一条直角边上的正方形经过全等变换改变图形位置得到的新图形，让学生从图形的几何特征，根据勾股定理探讨3个正方形面积间数量关系。使学生再次体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
例3（1）借助赵爽弦图，根据勾股定理，把图形面积转化为代数式的值；（2）问根据勾股定理，借助根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和这个数量关系，完成了从长方形到正方形的拼接.本题使学生体会从形到数，从数到形的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
由满足特殊的数量关系边长，根据勾股定理，找到画线段的方法，再通过按空间顺序有序展开线段的位置的分类讨论，最终应用勾股定理计算线段长度，确定图形。让我们学生感受到数与形的交汇交融，再次感受勾股定理的应用价值.
【课后作业】
1.如图,分别以在Rt?ABC的三边AC
,
BC
,
AB
为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AFCD和月形图案BGCE的面积和等于Rt△ABC的面积.
2.有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形.
3.?ABC三边长分别为，，
，其中
且，
请你画出?ABC
并求出它的面积.
【课后作业参考答案】
1.如图,分别以在Rt?ABC的三边AC
,
BC
,
AB
为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AFCD和月形图案BGCE的面积和等于Rt△ABC的面积.
解：设以三边AC
，BC
，AB为直径的半圆面积分别为：S1，S2
，S3
，
，，
，
∵在Rt?ABC中，a2+b2=c2，
，，.
.
有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形.
解；如图
?ABC三边长分别为，，，其中
且，
请你画出?ABC
并求出它的面积.
解：(1)如图，?ABC即为所求.
（2）
2教
案
教学基本信息
课题
勾股定理应用（第三课时）
学科
数学
学段：
初中
年级
八年级
教材
书名：数学八年级下册
出版社：人民教育出版社出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1．复习勾股定理及逆定理的应用，能根据已知条件构造直角三角形，进而运用勾股定理解决问题．
2．经历寻找与构造直角三角形的过程，感受分析条件与结论对解决几何问题的重要性，培养逻辑推理能力．
3．积极参与数学活动，认真思考问题，激发探究的热情．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
旧知巩固
【问题】
如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．
【问题变式】
如图，，，
，比大10，求四边形ABCD的面积．
简单连线构造直角三角形，复习勾股定理及其逆定理的使用，体会直角三角形是使用勾股的前提．
体会勾股定理在列方程时发挥的桥梁作用，感受数形结合．
问题提出
【问题】
如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点D在的斜边AB上．求证：．
引导学生，在解决几何综合题时，学会分析条件与结论，构造直角三角形，再利用勾股定理解决问题，培养学生分析问题、解决问题的能力．
问题探究
【新问题】
如图，是等腰直角三角形，，点D在的斜边AB上．
求证：．
弱化条件，看清题目与解法的本质，寻找不同的解法，加深对图形及方法的理解，培养学生的思维能力．
新知应用
如图，是等腰直角三角形，，点D，点E在的斜边AB上，．求证：．
体会构造直角三角形的方法，熟练运用勾股定理，熟悉线段之间平方关系的启示．
方法梳理
1．知识上：勾股定理的应用．
2．方法上：分析条件与结论，主动构造图形，解决几何问题．
梳理学习内容与方法．
作业设计
1．
如图，每个小正方的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的面积与周长；
（2）是直角吗？
2．在中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求AC．
3．如图，是等腰直角三角形，，点D，点E在的斜边AB上，．求证：．
课堂上的例题，你还有不同解法吗？
复习求四边形面积的方法，及勾股定理的应用．
体会方法，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
问题的加深思考，激发探究的热情．
