《平行四边形复习（第一课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课通过总结本章内容和研究方法，理解平行四边形与特殊的平行四边形之间的关系，理解相关性质和判定，对几何图形形成整体认识，提升逻辑推理能力．
【课上任务】
1．从定义及边角关系角度梳理平行四边形一章的知识，形成结构图．
2．从对角线的角度进一步梳理平行四边形和特殊平行四边形之间的关系．
3．进行平行四边形及特殊平行四边形判定的辨析．
4．梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质．
5．跟随视频完成例题．
例
如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于E，F，连接ED，BF．若∠CAD=40°，∠ADE=10°，求∠AFB的度数．
例
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P.
（1）①试判断四边形BPCO的形状，并说明理由.
②
BP与AC有什么关系？
（2）若连接OP得四边形ABPO，它是什么四边形？
变式一：若改为矩形ABCD，其他条件不变，得到的四边形BPCO是什么四边形呢？
变式二：如果得到的四边形BPCO是矩形，平行四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？
变式三：能否得到正方形BPCO？此时平行四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？
【学习疑问】
6．哪个环节没弄清楚？
7．有什么困惑？
【课后作业】
8．作业
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
2．如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点．四边形EFGH是什么四边形？为什么？
【课后作业参考答案】
1．证明思路：通过DE∥AC，CE∥BD，可得到四边形OCED是平行四边形，
矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，可知道AO=BO=CO=DO，
(
．
)
通过一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以得到平行
四边形OCED是菱形．
2．证明思路：利用正方形的性质及中点，可以判定
从而利用各边相等，各内角都是90°判定四边形EFGH是正方形．教
案
教学基本信息
课题
平行四边形复习（第一课时）
学科
数学
学段：
第三学段
年级
八年级
教材
书名：数学
八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
本节课通过总结本章内容和研究方法，理解平行四边形与特殊的平行四边形之间的关系，理解相关性质和判定，对几何图形形成整体认识，提升逻辑推理能力．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习引入
平行四边形这一章的内容涉及的概念、定理较多，容易造成知识的混淆与遗忘．回顾本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习的？请说说这些四边形之间的关系．
从定义和判定的角度梳理平行四边形与特殊平行四边形之间的关系．
新知梳理
从关注对角线的角度重新梳理平行四边形的相关性质以及与特殊平行四边形的关系．
这些图形都存在着一些相同的性质也有自身独特的性质，而研究一个几何图形主要研究它的定义、性质、判定方法.这是研究几何图形的一般思路，以平行四边形举例回顾梳理．
引导学生关注到四边形问题区别于三角形的新的角度．
研究和证明几何图形的性质、判定的过程中运用到了全等三角形的知识，结构化地理解了平行四边形的知识，也能够系统的梳理几何图形知识之间的联系．学生模仿平行四边形的总结方法，结构化的理解矩形、菱形、正方形的知识.理清知识之间的主要脉络，有逻辑性并且准确的画出知识结构图这是一种能力．
例题讲解
例
如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于E，F，连接ED，BF．若∠CAD=40°，∠ADE=10°，求∠AFB的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
AB//CD．
∴∠BAC=∠DCA．
又∵BE//DF，
∴∠BEF=∠DFE．
∴∠BEA=∠DFC．
∴ABE≌CDF（AAS）．
∴BE=DF
．
∵BE=DF，BE//DF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∴ED//BF．
∴∠1=∠2．
∵∠2=∠CAD+∠ADE=50°，
∴∠AFB=∠2=50°
．
例
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P.
（1）①试判断四边形BPCO的形状，并说明理由.
②
BP与AC有什么关系？
（2）若连接OP得四边形ABPO，它是什么四边形？
解答：
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由．BP与AC有什么数量关系？
可以猜想四边形是平行四边形，通过两组对边平行就可以证明，这样就有了=.再运用平行四边形的对角线的性质就得到了==．
所以，BP∥AC
（2）要用到第一问的结论四边形BPCO是平行四边形，我们可以考虑BP平行且等于AO.证明四边形ABPO是平行四边形．
证明：∵BP∥AC，
CP∥BD，
∴四边形BPCO是平行四边形．
∴BP=CO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，∴BP=AO．
∵BP
∥AO
∴四边形ABPO是平行四边形．
变式一：若改为矩形ABCD，其他条件不变，得到的四边形BPCO是什么四边形呢？
变式二：如果得到的四边形BPCO是矩形，那么对平行四边形ABCD有什么要求？
变式三：能否得到正方形BPCO呢？此时四边形ABCD是什么四边形？
解答
变式一
∵BP∥AC，
CP∥BD，
∴四边形BPCO是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．
∴BO=CO．
∴平行四边形BPCO是菱形．
变式二
证明：∵四边形BPCO是矩形，
∴∠BOC=90°．
∴BD⊥AC．
∴平行四边形ABCD是菱形．
变式三
证明：∵四边形BPCO是正方形，
∴∠BOC=90°，BO=CO，
∴BD⊥AC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO．
∴BD=AC．
∴
平行四边形ABCD是正方形.
通过例题对比基于三角形和基于平行四边形不同的图形结构进行思考，证明角度的不同，体会新的性质对于简化证明的作用．
通过不断改变平行四边形的形状，充分运用性质以及判定定理，加深对知识的理解，进一步明确图形之间的关系．
总结提升
1．理清知识之间的脉络，注意图形之间的内在联系．
2．明确从定义、性质、判定的角度对图形进行研究的思路．
3．关注解决问题的通性通法，提升数学思维能力．
通过总结对本节课的学习过程结论进行梳理，提升对原有知识的认识．
作业布置
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
2．如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.四边形EFGH是什么四边形？为什么？
通过作业，一方面进一步熟悉概念，提升能力，另一方面为下节课利用平行四边形解决问题做好准备．教
案
教学基本信息
课题
平行四边形复习（第二课时）
学科
数学
学段：
第三学段
年级
八年级
教材
书名：数学
八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
本节课对运用平行四边形知识探究其他图形的性质进行总结，涉及中位线，直角三角形斜边中线，中点四边形等内容，引导学生体会图形之间的关系，发展几何直观与逻辑推理能力.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习引入
作业回顾
如图，E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点.四边形EFGH是什么四边形？为什么？
通过对作业的回顾，引出本节课利用三角形中位线再看平行四边形的对角线，进而形成知识结构.
新知梳理
从关注对角线的角度重新梳理中点四边形的相关内容以及特殊平行四边形形成的中点四边形的关系.
学习本章内容的时候两次涉及了三角形的内容，利用平行四边形，研究三角形的相关性质，我们一起梳理一下.
从图形变化的角度再看平行四边形和特殊的平行四边形，关注构成四边形的三角形存在的特殊性质，关注轴对称性.
引导学生关注到中点四边形的形状与原四边形的对角线性质有关，回顾引出中位线的复习.
通过对中点四边形的回顾，再看对角线，加深对这一新要素的性质的理解.
抓住中点这个基本图形，体会图形之间的演变过程，从局部看到中点，从整体看到中线、中位线、甚至平行四边形这些整体图形.
从图形变化的角度再看平行四边形的构成，利用轴对称性统领图形性质.
例题讲解
例
如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
变式：若改变条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，写出中点四边形EFGH的形状．
解：四边形EFGH是个菱形．
连接AC，BD．
∵E，F，G，H分别是四边形ABCD
EF//GH//AC，EH//GF//BD，
EF=GH=AC，EH=GF=BD．
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵∠APB=∠CPD，
就有∠BPD=∠APC．
又∵PA=PB，PC=PD，
利用边角边得到≌．
∴BD=AC．
∴EF=FG=GH=HE．
∴四边形EFGH是菱形．
变式：四边形EFGH是正方形．
证明：设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP．
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°．
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°．
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
例
如图，AE，BD，CF为△ABC的三条中线，过点F作FM∥BD，过点D作DM∥AB，FM，DM相交于点M.连接CM.
求证：MC∥AE.
证明：连结AM、FD.
∵FM∥BD，DM∥AB，
∴四边形FBDM是平行四边形.
∴BF∥DM
.
∵AF＝BF
，
∴AF∥DM,AF=DM.
∴四边形AFDM是平行四边形.
∴AM∥FD,AM=FD.
又∵F、D、E分别为AB、AC、BC边中点,
∴FD∥EC,FD=EC.
∴AM∥EC，AM=EC.
∴四边形AECM为平行四边形.
∴MC∥AE.
例
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为_______.
∵在Rt△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，AC=6，AB=8，由勾股定理可以计算得到BC=10，
∴DE=AC=3，DE//AC，
可得AE=BC=BE=CE=5．
∴∠B=∠BAE．
又∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE．∴FD//AE．
∵F在AC延长线上，DE//AC，
∴DE//AF．
∴四边形AEDF是平行四边形．
例
如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．
解：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，
∵A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，
∵菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB=BC=4，AB·CE′=8，
∴CE′=2，由此求出CE的长=2．
通过例题的解答，对三角形的中位线定理和特殊平行四边形的对角线性质加深理解，通过体会证明角度的不同，体会新的性质对于简化证明的作用.
通过改变平行四边形的形状，充分运用性质以及判定定理，加深对知识的理解，进一步明确图形之间的关系.
综合运用中位线,和平行四边形的性质与判定,通过构造平行四边形解决证明线段平行的问题.
综合运用中位线和直角三角形斜边中线的性质解决求线段长的问题，利用平行四边形性质和判定解决几何综合问题.
从轴对称性再看特殊平行四边形的性质，利用运动变化的视角统领几何图形性质和关系，综合运用性质定理解决求线段长的问题.
总结提升
通过总结两节课的学习过程、结论进行梳理，提升对原有知识的认识.
作业布置
1．用纸板剪成两个全等三角形能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由．
2．如图，过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
通过作业，进一步熟悉概念，提升能力，能够优化逻辑思路，力争证明过程简洁，直接.《平行四边形复习（第二课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课对运用平行四边形知识探究其他图形的性质进行总结，涉及中位线，直角三角形斜边中线，中点四边形等内容，引导学生体会图形之间的关系，发展几何直观与逻辑推理能力．
【课上任务】
1．作业回顾
如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点．
四边形EFGH是什么四边形？为什么？
2．从关注对角线的角度重新梳理中点四边形的相关内容以及特殊平行四边形形成的中点四边形的关系．
3．梳理本章利用平行四边形研究三角形的相关性质和定理的学习过程．
4．从图形变化的角度再看平行四边形和特殊的平行四边形的关系，关注构成特殊平行四边形的三角形存在的特殊性质，关注轴对称性．
5．跟随视频完成例题．
例
如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
变式：若改变条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，写出中点四边形EFGH的形状．
(
B
E
C
M
A
F
D
)例
如图，AE，BD，CF为△ABC的三条中线，过点F作FM∥BD，过点D作DM∥AB，FM，DM相交于点M.连接CM.
求证：MC∥AE.
例
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为_______.
例
如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．
【学习疑问】
6．哪个环节没弄清楚？
7．有什么困惑？
【课后作业】
8．作业
1．用纸板剪成两个全等三角形能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由．
2．如图，过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
【课后作业参考答案】
1．答案：
平行四边形；
要拼成一个矩形，需要两个全等的直角三角形；
要拼成一个菱形，需要两个全等的等腰三角形；
要拼成一个正方形，需要两个全等的等腰直角三角形．
2．菱形．
证明思路：先证明△AEO≌△COG，△AOH≌△COF，可得OE=OG，OF=OH，所以四边形EFGH是平行四边形，再利用对角线垂直，判断平行四边形EFGH是菱形．
