教
案
教学基本信息
课题
正方形（第二课时）
学科
数学
学段：
第三学段
年级
八年级
教材
书名：数学八年级下册
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2013年9月
教学目标及教学重点、难点
本节课是在学生独立回顾正方形相关知识的基础上，建立正方形与特殊三角形之间的内在联系，从整体上认识正方形的特征.通过正方形的性质及相关问题的解决，发展学生的合情推理和抽象概括能力，提升学生应用数学的意识和能力.本节课将通过三道例题帮助学生完成学习任务.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
在上节课，我们学习了正方形的定义，又从边、角、对角线三个角度，类比矩形、菱形的性质，研究了正方形的性质.还学习了正方形的判定方法.
我们进一步感受了从一般到特殊的研究方法.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，还是更为特殊的平行四边形.
本节课，我们会进一步研究正方形.
回顾以往学习知识及经验.
新课
如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.图中共有多少个等腰直角三角形？
一共有8个等腰直角三角形.
△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA；△ABC≌△BCD≌△CDA≌△DAB.
对比正方形和一般的平行四边形，平行四边形只是被对角线分成了4对全等的三角形.正方形中不止隐含着刚才分析的全等三角形，还能够被对角线分出更为特殊的几何图形——等腰直角三角形，这样就有特殊的角度45°.
除正方形本身的四条边都相等，对角线相等并且互相垂直平分以外，这里还隐含着直角三角形斜边上的中线,与我们以前学过的很多知识产生了联系，为我们解决正方形相关的问题开拓了思路.
我们要利用好正方形与三角形的相互转化.
挖掘正方形的隐含条件，加深对正方形的认识.
例题
例
如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？
分析：
四边形ABCD是正方形
△BCE≌△ABF
CE与BF的关系
解：CE=BF，CE⊥BF.
证明：∵
四边形ABCD是正方形，
∴
∠ABC＝∠A＝90°，BC＝AB.
∵
BE＝AF，
∴
△BCE≌△ABF.
∴
CE＝BF，∠1＝∠2.
∵
∠1+∠3＝90°，
∴
∠2+∠3＝90°.
∴
∠BGC＝90°.
∴
CE⊥BF
.
反思：通过对正方形隐含条件的挖掘，得到了全等三角形，根据全等三角形的性质，得到对应边相等对应角相等.在本题中，如果在正方形的一组邻边上，有一组相等的线段BE＝AF，那么我们就可以发现
正方形的内部也有这样的两条线段CE与BF满足相等且垂直的关系.这两条线段关系的结论在很多问题中，还可以进一步去拓展和应用.
变式1
如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN
于点G.求证:CE＝MN.
分析：利用正方形的性质，得到全等三角形，从而证明两条线段相等.
反思：本题中，在正方形的内部，当CE与MN满足了垂直关系时，我们还能得到它们是相等的.在学习变式的过程中，又给了我们不同的添加辅助线的方法.
变式2
如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH于点C.求证:CE＝CH.
分析：利用正方形的性质，得到全等三角形，从而证明两条线段相等.
反思：本题中，在正方形的外部，当CE与CH满足了垂直关系时，我们也能得到它们是相等的.
例
如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，2).求B，C两点的坐标.
分析：题目中需要求的是B，C两点的坐标，具体的做法是：从这两个点向x轴和y轴分别作垂线，分别求出这两点到坐标轴的距离.
还要根据点所在的象限，确定符号.
解：
∵
四边形OBCD是正方形，
∴
CB⊥x轴，CD⊥y轴，OB＝OD.
∵
点D的坐标是(0，2)，
∴
OD＝2.
∴
OB＝OD＝2.
∴
点B的坐标是(2，0).
∵
点C在第一象限，
∴
点C的坐标是(2，2).
反思：将正方形放到了平面直角坐标系中.从正方形的四条边都相等、四个角都是直角等性质出发，结合坐标系中点的坐标的含义，运用正方形的性质，求出正方形顶点的坐标.同时，还要注意，我们在几何中求出的是线段的长度，在平面直角坐标系中，求点的坐标的时候，还要关注点所在的象限.
例
如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE与对角线AC交于点P，连接DP.求DP+EP的值.
分析：利用正方形的对称性，让其中第一条线段转化为BP，而BP与所求线段PE就共线了，它们的和是线段BE.再通过正方形的性质和等腰三角形的定义就可以得到DP与EP的和.
解：∵
AC是正方形ABCD的对角线，
∴
BP＝DP.
∴
DP+EP＝BP+EP＝BE.
∵
△ABE是等边三角形，
∴
BE＝AB.
∵
正方形ABCD的面积为16，
∴
AB＝4.
∴
DP+EP＝BE＝4.
反思：应用正方形的轴对称性，得到了线段间的数量关系，进一步挖掘了正方形的隐含条件.通过这道例题，我们也感受到了正方形的轴对称性的简洁和实用.
通过例题，体会将正方形转化为三角形的过程，应用正方形的性质解决问题.
通过例题，体会正方形在平面直角坐标系中的应用，渗透数形结合思想.
通过例题，感受正方形轴对称性的简洁性.
总结
本节课，我们进一步研究了正方形.由于它既是平行四边形，又是矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.当判定一个四边形是正方形时，我们还要从它是矩形或者菱形的角度，添加条件去判定它是正方形.
正方形是一种特殊的图形，它除了四条边都相等，四个角都相等以外，当我们连接对角线时，可以发现更为特殊的三角形——等腰直角三角形，它还隐含着特殊的角度45°，还可以与勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识相结合，为我们后续证明或者计算线段以及角有关的问题，提供了更多的角度.
对本节课所学知识梳理提升.
作业
如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF-BF＝EF.
2.
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且
EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.
巩固课堂学习内容.教
案
教学基本信息
课题
正方形（第一课时）
学科
数学
学段：
第三学段
年级
八年级
教材
书名：数学八年级下册
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2013年9月
教学目标及教学重点、难点
本节课探索正方形的定义，通过猜想并证明正方形的性质和判定，并进行简单应用.在学习过程中，感受从一般到特殊的研究方法，体会类比的数学思想，逐步提升合情推理能力和抽象概括能力.课堂将通过两道例题帮助学生完成学习任务.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
在前面的学习中，我们学行四边形、矩形和菱形，采用了从一般到特殊的研究方法.以平行四边形为例，你能说一说如何研究一个几何图形吗？
类比研究平行四边形的步骤，从定义、性质、判定研究正方形.
通过平行四边形边、角的特殊化，得到了特殊的平行四边形（矩形和菱形）.你能说说矩形、菱形与平行四边形有什么关系吗？
今天我们学习的正方形，同学们可以类比刚才的方法，尝试着给正方形下个定义.
回顾以往学习知识及经验.
新课
首先，请同学们准备一张矩形的纸片，折叠，然后展开.折叠的过程中，矩形相邻的两条边相等，这时得到的图形就是我们熟悉的正方形.
想一想：满足什么条件的矩形是正方形？我们可以发现，满足有一组邻边相等的矩形是正方形.
我们把可以活动的菱形框架的一个角变为直角.通过这个活动，得到的图形就是我们熟悉的正方形.
想一想：满足什么条件的菱形是正方形？很显然，满足有一个角是直角的菱形是正方形.
梳理正方形的定义,认识了正方形后，研究它的性质.
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.因此它具有矩形的性质，又有菱形的性质.分别从边、角、对角线三个角度来总结，从而得到正方形的性质.
正方形的四条边都相等.
正方形的四个角都是直角.
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.
由矩形、菱形与正方形之间的关系，我们知道，从矩形、菱形的基础上，各添加一个条件可以判定一个四边形是正方形.同时，引发学生的思考，如何从平行四边形的条件下，添加条件，判定一个平行四边形是正方形.最后梳理正方形的判定方法.
类比平行四边形、矩形和菱形的研究方法，得到正方形的定义、性质及判定，完成对性质和判定的探究.
例题
例
如图，
在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.
分析：此题的关键是利用正方形和等边三角形的性质，推导出∠BAE和∠EDC的角度.
证明：∵
△BEC是等边三角形，
∴
BE＝CE＝BC，∠EBC＝
∠ECB＝60°.
∵
四边形ABCD是正方形，
∴
AB＝BC＝CD，
∠ABC＝∠BCD＝∠DAB＝90°.
∴
AB＝BE＝CE＝CD，∠ABE＝∠DCE＝30°.
∴
△ABE，△DCE是等腰三角形.
∴
∠BAE＝∠BEA＝75°.
∴
∠EAD＝∠DAB－∠BAE＝15°.
同理
∠EDA＝15°.
∴
∠EAD＝∠EDA＝15°.
反思：正方形是一种特殊的四边形，它具有非常多的性质，通过例题，我们应用了它的四条边都相等，四个角都是直角的性质.今后还会研究它的隐含条件.因此在解决问题时，要善于挖掘正方形的性质.
例
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB且交AB于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
分析：要判定四边形CEDF是正方形，则要先判定四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．其他方法学生课下完成.
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴
DE＝DF，∠DFC＝90°，
∠DEC＝90°.
又
∠ACB＝90°，
∴
四边形CEDF是矩形．
∵
DE＝DF，
∴
矩形CEDF是正方形．
反思：通过例题，在判定一个四边形是正方形时，可以先挖掘已知条件来判定这个四边形是平行四边形、菱形或者矩形，再通过边、角、对角线等多个角度判定它是正方形.
通过例题巩固正方形的定义、性质和判定，应用性质和判定解决简单问题.
总结
本节课，我们研究了正方形.学习了它的定义，又从边、角、对角线三个角度，研究了正方形的性质，还学习了它的判定方法.
不仅如此，还进一步体会了从一般到特殊的研究方法，明确了正方形、矩形、菱形和平行四边形之间的关系.
对本节课所学知识梳理提升.
作业
1.
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为(
）.
（A）10°
（B）15°
（C）20°
（D）125°
2.
满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
(1)
对角线互相垂直且相等的平行四边形；
(2)
对角线互相垂直的矩形；
(3)
对角线相等的菱形；
(4)
对角线互相垂直平分相等的四边形.
3.
如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC＝30m，EB＝10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
巩固课堂学习内容.《正方形（第二课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课是在学生独立回顾正方形相关知识的基础上，建立正方形与特殊三角形之间的内在联系，从整体上认识正方形的特征.通过正方形的性质及相关问题的解决，发展学生的合情推理和抽象概括能力，提升学生的应用数学的意识和能力.本节课将通过三道例题帮助学生完成学习任务.
【课上任务】
1．正方形中有多少个等腰直角三角形？
2．正方形中隐含着什么特殊的线段？特殊的角度是多少度？
3．在平面直角坐标系中，如何求出正方形的顶点坐标？需要注意什么？
4．利用正方形的轴对称性，可以解决哪些问题？
5.
请跟随视频讲解，完成例题.
例
如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？
变式1
如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE＝MN.
变式2
如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH
于点C.求证:CE＝CH.
例
如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，2).求B，C两点的坐标.
例
如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE与对角线AC交于点P，连接DP.求DP+EP的值.
【学习疑问】
6．哪个环节没弄清楚？
7．你有什么困惑？
【课后作业】
8.
作业1
1.如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于
点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF-BF＝EF.
2.
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且
EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.
【课后作业参考答案】
1.
解题思路：通过正方形的性质，得到AB＝AD，∠BAD＝90°，再证明
△ABF≌△DAE，得到BF＝AE，即可证明AF-BF＝EF.
2.
解题思路：取AB的中点G，连接EG.证明△AGE≌△ECF，从而证明AE＝EF.《正方形（第一课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课探索正方形的定义，通过猜想并证明正方形的性质和判定，并进行简单应用.在学习过程中，感受从一般到特殊的研究方法，体会类比的数学思想，逐步提升合情推理能力和抽象概括能力.课堂将通过两道例题帮助学生完成学习任务.
【课上任务】
1．正方形的定义是什么？分别从矩形、菱形、平行四边形的角度写一写.
2．为什么正方形具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质？
3．写出你知道的正方形的性质.
4．正方形的哪些性质是它特有，而其他平行四边形不具有的？
5.
正方形的判定是如何由矩形添加条件得到的？又是如何由菱形添加条件得到的？
6.
怎样判定一个平行四边形是正方形？怎样判定一个四边形是正方形呢？在判定正方形的过程中，需要注意什么问题？
7.
在利用正方形的性质解决线段长度的有关问题时，通常会与哪些知识点相结合？
8．你能理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系吗？
9．请跟随视频讲解，完成例题和练习.
例1
如图，
在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.
例2
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的角的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
练习1如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那
么正方形ABCD的面积为
.
练习2
判断下列说法是否正确.
正方形一定是矩形.
( )
四条边都相等的四边形是正方形.
( )
有一个角是直角的平行四边形是正方形.
( )
两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.(
)
两条对角线相等的菱形是正方形.( )
练习3如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，
且AE＝BF＝CM＝DN.求证：四边形EFMN是正方形．
【学习疑问】
10．哪个环节没弄清楚？
11．你有什么困惑？
【课后作业】
12.
作业1
1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为
（
）.
（A）10°
（B）15°
（C）20°
（D）125°
2.
满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
(1)
对角线互相垂直且相等的平行四边形；
(2)
对角线互相垂直的矩形；
(3)
对角线相等的菱形；
(4)
对角线互相垂直平分相等的四边形.
3.
如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC＝30m，EB＝10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
【课后作业参考答案】
B
解析：∵
四边形ABCD是正方形，
∴
AB＝AD，∠BAD＝90°.
∵
等边三角形ADE，
∴
AD＝AE，∠DAE＝60°.
∴
AB＝AE，∠BAE＝150°,
∴
∠AEB＝∠ABE＝15°.
2.
4个都对，它们都符合正方形的判定条件.
3.
800m?，40m.
解析：连接AC，在Rt△EBC中运用勾股定理求出BC的长，用正方形面积公式求出面积；在Rt△ABC中，已知AB和BC的长，再利用勾股定理求出斜边AC即可.
