二次函数的表达式及应用
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文档简介
第二章 二次函数
第二讲 二次函数的表达式及应用
一知识梳理
知识点1.二次函数三形式：
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的表达式为一般式：
当已知抛物线的顶点坐标和另一点时，通常设函数的表达式为顶点式：
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数的表达式为交点式：
知识点2二次函数与一元二次方程
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
① 0时，抛物线与轴有 个交点；
② 0时，抛物线与轴有 个交点；
③ 0时，抛物线与轴没有交点.
知识点3一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时，两函数图象有 个交点;
②方程组只有一组解时，两函数图象只有 个交点；
③方程组 时，两函数图象没有交点.
知识点4二次函数的极值（最大利润，最大面积）
二次函数可变形为，
当x= 时，y有最大（小）值
二典型例题剖析
题型一求二次函数的表达式
例1如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的
三个顶点B（4,0）C（8,0）D（8,8）.抛物线过点A、
C两点。求：请直接写出点A的坐标，
并求出抛物线的表达式
题型二二次函数与一元二次方程应用
例2已知抛物线
若抛物线与轴只有一个交点，求m的值；
若抛物线与直线只有一个交点，求m的值；
【变式训练1】已知抛物线
试说明抛物线与轴总有两个不同交点；
求这两个交点的距离；
当a为何值时，两交点的距离最小。
题型三一次函数与二次函数应用
例3已知抛物线与直线的一个交点是P（3,2），
另一个交点在y轴上，如图，要使y1/>y2,则x的范围
题型四二次函数的极值（最大利润，最大面积）
例4数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题：
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
（2）写出平均每天销售利润w（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
（3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
（4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？
三 直击中考
选择题
1，抛物线y＝x2＋2x－2的图象最高点的坐标是（ ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）
2，若y=(2-m)是二次函数，且开口向上，则m的值为( )
A. B.- C. D.0
3，二次函数的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4，如果二次函数（a＞0）的顶点在x轴上方，那么（ ）
A，b2－4ac≥0 B，b2－4ac＜0 C，b2－4ac＞0 D，b2－4ac＝0
5，已知二次函数y=－x2－3x－，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且－3A.y1>y2>y3 B.y1y3>y1 D.y2填空题
6，抛物线y=x2+8x－4与直线x＝4的交点坐标是__________.
7，若二次函数y=ax2的图象经过点（－1，2），则二次函数y=ax2的解析式是＿＿
8，已知抛物线经过点和，则的值是 .
两点，与y轴交于点C (0，3)，则二次函数的解析式是 ．
9，若函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k＝＿＿，b＝＿＿.
10，两数和为10，则它们的乘积最大是_______，此时两数分别为________.
解答题
11，已知：如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，
AC=8，点D在斜边AB上， 分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足
分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y.
(1)用含y的代数式表示AE.
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.
(3)设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值.
12，(2010重庆课改)已知：，是方程的两个实数根，且，
抛物线的图象经过点A()，B()．
求这个抛物线的解析式；
设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标
和的面积；（注：抛物线的顶点坐标为）；
是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
答案：12解：（1）解方程，得，．
由，有，．
所以点，的坐标分别为，．
将，的坐标分别代入，
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为．
（2）由，令，得．
解这个方程，得，．
所以点的坐标为．
由顶点坐标公式计算，得点．
过作轴的垂线交轴于，
则，
，
．
所以．
（3）设点的坐标为，
因为线段过，两点，所以所在的直线方程为．
那么，与直线的交点坐标为，
与抛物线的交点坐标为．
由题意，得①，即．
解这个方程，得或（舍去）．
②，即．
解这个方程，得或（舍去）．
点的坐标为或．
参考答案：
一、1，D；2，B；3，D；4，B； 5，A；
二、6，(－4，－20)； 7，y=2x2； 8，；
9，k＝，b＝12； 10； 16，25 5、5.
三、
11，(1)由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即.
∴y=8-2x(0y
D
O
C
B
A
x
y
P(3,2)
O
图1
D
C
B
F
E
A
图3
D
H
B
E
A
O
P
M
C
第二讲 二次函数的表达式及应用
一知识梳理
知识点1.二次函数三形式：
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的表达式为一般式：
当已知抛物线的顶点坐标和另一点时，通常设函数的表达式为顶点式：
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数的表达式为交点式：
知识点2二次函数与一元二次方程
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
① 0时，抛物线与轴有 个交点；
② 0时，抛物线与轴有 个交点；
③ 0时，抛物线与轴没有交点.
知识点3一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时，两函数图象有 个交点;
②方程组只有一组解时，两函数图象只有 个交点；
③方程组 时，两函数图象没有交点.
知识点4二次函数的极值（最大利润，最大面积）
二次函数可变形为，
当x= 时，y有最大（小）值
二典型例题剖析
题型一求二次函数的表达式
例1如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的
三个顶点B（4,0）C（8,0）D（8,8）.抛物线过点A、
C两点。求：请直接写出点A的坐标，
并求出抛物线的表达式
题型二二次函数与一元二次方程应用
例2已知抛物线
若抛物线与轴只有一个交点，求m的值；
若抛物线与直线只有一个交点，求m的值；
【变式训练1】已知抛物线
试说明抛物线与轴总有两个不同交点；
求这两个交点的距离；
当a为何值时，两交点的距离最小。
题型三一次函数与二次函数应用
例3已知抛物线与直线的一个交点是P（3,2），
另一个交点在y轴上，如图，要使y1/>y2,则x的范围
题型四二次函数的极值（最大利润，最大面积）
例4数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题：
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
（2）写出平均每天销售利润w（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
（3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
（4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？
三 直击中考
选择题
1，抛物线y＝x2＋2x－2的图象最高点的坐标是（ ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）
2，若y=(2-m)是二次函数，且开口向上，则m的值为( )
A. B.- C. D.0
3，二次函数的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4，如果二次函数（a＞0）的顶点在x轴上方，那么（ ）
A，b2－4ac≥0 B，b2－4ac＜0 C，b2－4ac＞0 D，b2－4ac＝0
5，已知二次函数y=－x2－3x－，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且－3
6，抛物线y=x2+8x－4与直线x＝4的交点坐标是__________.
7，若二次函数y=ax2的图象经过点（－1，2），则二次函数y=ax2的解析式是＿＿
8，已知抛物线经过点和，则的值是 .
两点，与y轴交于点C (0，3)，则二次函数的解析式是 ．
9，若函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k＝＿＿，b＝＿＿.
10，两数和为10，则它们的乘积最大是_______，此时两数分别为________.
解答题
11，已知：如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，
AC=8，点D在斜边AB上， 分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足
分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y.
(1)用含y的代数式表示AE.
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.
(3)设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值.
12，(2010重庆课改)已知：，是方程的两个实数根，且，
抛物线的图象经过点A()，B()．
求这个抛物线的解析式；
设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标
和的面积；（注：抛物线的顶点坐标为）；
是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
答案：12解：（1）解方程，得，．
由，有，．
所以点，的坐标分别为，．
将，的坐标分别代入，
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为．
（2）由，令，得．
解这个方程，得，．
所以点的坐标为．
由顶点坐标公式计算，得点．
过作轴的垂线交轴于，
则，
，
．
所以．
（3）设点的坐标为，
因为线段过，两点，所以所在的直线方程为．
那么，与直线的交点坐标为，
与抛物线的交点坐标为．
由题意，得①，即．
解这个方程，得或（舍去）．
②，即．
解这个方程，得或（舍去）．
点的坐标为或．
参考答案：
一、1，D；2，B；3，D；4，B； 5，A；
二、6，(－4，－20)； 7，y=2x2； 8，；
9，k＝，b＝12； 10； 16，25 5、5.
三、
11，(1)由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即.
∴y=8-2x(0
D
O
C
B
A
x
y
P(3,2)
O
图1
D
C
B
F
E
A
图3
D
H
B
E
A
O
P
M
C