《圆中求线段长》学习任务单
【学习目标】
1．能结合基本图形灵活运用解直角三角形的知识和相似三角形的性质,解决较复杂的圆中求线段长的问题；
2．通过解决圆中求线段长的问题，发展学生观察、分析、推理能力，体会数形结合、转化思想、方程思想在解决问题中的应用；
3．在解决问题的过程中，积累解题经验，提升学生的解题能力．
【课上任务】
例1
如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．若sin∠EAB
=，OD=3，求AE的长．
解题方法：
例2
已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点.延长DE、CB交于点P，若PB=BO
，DE=2，求PE的长．
解题方法：
例3如图，AB是⊙O的一弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE．
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
解题方法：
例4如图，AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.
过点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.
（1）求证：AC
是DAB的平分线；
（2）若，求AE的长.
【解法总结】
【课后作业】
例4第（2）问的多种解法，完成至少两种方法的解答；
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且
．若AB=5，
，求BF的长．
请同学们通过今天的学习，结合已有的解题经验，总结圆中求线段长问题的解题方法．教
案
教学基本信息
课题
圆中求线段长
学科
数学
学段：第三学段
年级
初三
教材
书名：数学（九年级上、下）
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019
年6月、2019
年11月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．能结合基本图形灵活运用解直角三角形的知识和相似三角形的性质,解决较复杂的圆中求线段长的问题；
2．通过解决圆中求线段长的问题，发展学生观察、分析、推理能力，体会数形结合、转化思想、方程思想在解决问题中的应用；
3．在解决问题的过程中，积累解题经验，提升学生的解题能力．
教学重点：
能根据已知和所求选择适当的方法在圆的背景中求线段长
教学难点：
将已知条件中的边、角与所求线段有效的转化到三角形中，选择适当的方法求解
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们好，我是黄冈中学北京朝阳学校的数学教师吕莉，今天我们进行《圆中求线段长》专题复习。我们将从“知识概要”、“典型例题”和“归纳小结”进行复习。
引入课题．
新课
“求线段的长度”对同学们来说并不陌生。求线段长时，已知和所求都是我们要重点关注的，最重要的就是要找到他们之间的联系。我们可以将已知、未知集中在一个可解的直角三角形中，可解的直角三角形指：已知两边或已知一边一锐角，也可以将已知、未知集中在两个相似的三角形中，利用相似三角形的性质建立等量关系进而求解，这就需要同学们善于发现图中的基本相似图形，熟悉相似三角形的判定方法。在“圆”这一新的情境中“求线段的长度”，需要同学们将在三角形、四边形中“求线段长度”所积累的经验，进行联系、迁移、提升。综合运用圆的知识、解直角三角形和相似三角形的知识求线段的长度。
复习相关知识、方法，为后面的例题讲解做好准备.
例题
例1
如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．若sin∠EAB
=，OD=3，求AE的长．
要想解决好圆中求线段长的问题，关键要利用圆的性质把圆的问题转化成直线型图形的问题来解决，例1利用圆的性质找到角与角之间的关系，发现了等腰三角形，构造了直角三角形，转移角将分散的条件集中到可解的直角△COD中，建立已知与未知之间的联系，这样将求线段长的问题就转化为在一个三角形中解直角三角形的问题。那么，在圆的背景中如何利用两个三角形相似的关系求线段长呢，我们来看例2.
例2
已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点.延长DE、CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长．
解决问题的关键仍是：把圆中求线段长的问题转化成直线型图形的问题来解决，例2中我们观察图形结构挖掘出相似三角形，利用相似三角形的性质，借助两个三角形之间的关系，建立起已知与未知之间的联系，运用方程思想解决了问题。下面我们继续运用解直角三角形和相似三角形的有关知识求圆中线段长，
例3
如图，AB是⊙O的一弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE．
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
通过例3，我们又一次体会到圆中求线段长问题的关键依然是：把圆中求线段长的问题转化成直线型图形的问题来解决，既可以将已知未知转化在一个三角形中，利用可解的直角三角形求解，也可以利用两个三角形相似，对应边成比例，建立等量关系，列出方程，进而求解。积累了这些解题经验和解题策略，下面我们来看例4，
例4如图，AB是的直径，直线HC与相切于点C.
过点A作HC的垂线，垂足为D，线段
AD与相交于点E.
（1）求证：AC
是DAB的平分线；
（2）若，求AE的长.
回顾例4的解题过程，我们发现解决求圆中线段长问题的关键依然是：把圆的问题转化成直线型的问题来解决，既可以利用线段和差、线段中点等，找到线段之间的关系，还可以构造直角三角形，最终转化为直线型问题求解。解题过程中，注意方程思想的灵活运用。多种解法解题的关键就是关注图形结构特征，能够从复杂图形中分离出基本图形，或添加辅助线构造基本图形。我们关注到垂径定理、直径所对的圆周角、切线的性质、切线长定理的基本图形中可以直接得到直角三角形，进而可以用解直角三角形的方法或者利用相似三角形的性质求线段长。
例1体现圆中求线段长的基本方法：利用解直角三角形的方法求线段长，引导学生从已知与未知的联系入手，发现解题策略.进行方法的提炼：利用圆的性质把圆的问题转化成直线型图形的问题来解决.
例2体现圆中求线段长的基本方法：利用相似三角形的性质求线段长.
引导学生从图形结构的观察、分析入手，寻找解题方法.
例1、例2为求解综合性问题打好基础.
例3的设计培养学生的识图能力，能够从复杂图形中分离基本图形；将圆中求线段长问题转化为直线型图形的问题.本题既可以在一个图形中，利用可解的直角三角形求解，也可以在两个三角形中利用相似三角形的性质求解.
多种解题方法的讲解开拓学生的思维，提高学生的逻辑推理能力.
通过挖掘题中的隐含条件，构造基本图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力及创新意识.
总结
圆中求线段长关键是利用圆的有关定理找到角与角、线段与线段之间的关系，将圆的问题转化为直线型图形的问题来解决。在直线型图形中熟练求线段长是基础。解决圆中求线段长的问题，需要同学们对图形结构有深入的认识，重视联系和转化，建立已知与未知的联系。
结合已知观察图形、结合条件探索未知、常常需要添加辅助线建议已知与未知的联系，将已知条件中的边、角与所求线段有效的转化到三角形中，从而解决问题，通过复习相信同学们一定对圆中求线段长的问题有了更深的理解。
课堂小结是对一节课的总结与提升.通过课堂小结帮助学生梳理解题思路，总结方法规律.
作业
1.例4第（2）问的多种解法，完成至少两种方法的解答；
2.
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．若AB=5，
，求BF的长．
3.请同学们通过今天的学习，结合已有的解题经验，总结圆中求线段长问题的解题方法.
作业是对课堂内容的巩固，借助作业学生体会本节课的学习内容，逐步形成自己分析问题解决问题的方法，提高解题能力.
