《利用函数模型解决问题》学习任务单
【学习目标】
“利用函数模型解决问题”在近几年中考中频繁出现，主要考察函数的研究方法，阅读能力，画图能力，数形结合能力，解决数学问题的能力。本专题讲座，结合课标，精选北京中考及各区县模拟题中的典型题目，复习函数的研究方法，梳理和总结解决这一类问题的思路，体会数学思想和方法。
例1
有这样一个问题：探究函数的图象与性质.
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量x的取值范围是___________；
(2)下表是y与x的几组对应值.
x
…
1
2
3
…
y
…
m
…
求m的值；
(3)如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结
合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.
例2
如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，
连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，
AD的长度
的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定
的长度是自变量，
的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为
cm．
【课上任务】
1．研究函数的一般步骤是什么？
2．解决例1需要用到研究函数一般步骤中的哪些方面？
3．例1中的易错点是什么？
4．解决例2需要用到研究函数一般步骤中的哪些方面？
5．例2中的易错点是什么？
6．画函数图象的步骤是什么？
7．画函数图象需要注意什么？
【学习疑问】（可选）
8．哪段文字没看明白？
9．哪个环节没弄清楚？
10．有什么困惑？
11．您想向老师提出什么问题？
12．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？
【课后作业】
13．思考：利用函数模型解决问题，还可以从哪些方面考查呢？教
案
教学基本信息
课题
利用函数模型解决问题
学科
数学
学段：
初中
年级
九年级
教材
书名：北京版数学教科书
出版社：北京出版社
出版日期：
2015年7月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.能利用研究函数的一般方法解决简单的实际问题.
2.通过利用研究函数的一般方法解决问题，进一步发展阅读能力，画图能力，数形结合能力，解决数学问题的能力.
3.在解决问题的过程中增加自信，提高兴趣.
教学重点：利用研究函数的一般方法解决简单问题
教学难点：数形结合解决问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
本节课我们将从知识概要，关键内容，典型例题三个部分对此类问题进行复习.首先来看第一部分——知识概要.
同学们知道利用函数模型解决问题都涉及了哪些知识吗？
知
识
概
要
从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数变成了变化的量，而变量间的对应关系引出了函数.
函数作为一种数学模型，它反映了客观世界的数量关系和变化规律.初中我们研究了一次、二次和反比例函数.
大家还记得是如何研究这三个函数的吗？
（1）从实际问题抽象出函数模型.
我们首先从实际问题中分析量与量之间的关系，判断自变量和因变量，确定函数关系.
（2）研究函数模型的性质.
然后经历列表、描点、连线画函数图象的过程，借助函数的多种表示方法，数形结合研究函数的性质.
（3）利用函数模型解决问题.
最后，利用函数模型的图象和性质解决问题.这是贯穿于函数的主线.
复习利用函数模型解决问题设计的知识点，把握知识间的内在联系，形成系统认识.
关
键
内
容
关键问题1：将函数学习经验迁移到新问题中
我们应该如何把已经积累的函数研究经验运用到新问题中？利用函数模型解决问题的一般步骤是什么呢？请同学们和我共同来回顾一下：
关键问题2：函数思想解决问题
函数思想是解决“数学型”问题中的一种思维策略.如果我们能用函数的观点、方法去考虑分析问题，根据问题的条件及所给数量关系，构造函数关系，使原问题在函数关系中实现转化，再借助函数的图象与性质，就能化难为易地解决问题.
针对本节课的重点和难点，找到本节课的两个关键问题，并找到解决措施.
典
型
例
题
近几年北京中考中对利用函数模型解决问题进行了考查，这些函数探究问题可以分为以下两种类型：
（1）探究给定的未知函数问题
（2）探究动态几何背景下的函数问题
下面，我们通过几道例题来看一下具体的解答过程.
例1（2015北京，26题）有这样一个问题：探究函数的图象与性质.
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量x的取值范围是___________；
(2)下表是y与x的几组对应值.
x…123…y…m…
求m的值；
(3)如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.
解：（1）
（2）将x=3，y=m代入到表达式中，有
（3）
（4）观察本题中的函数：它可以分为和两部分，因此研究函数的性质我们可以整体看，也可以局部看.
①经过的象限：
整体看：图象经过第一、二、三象限；图象不经过第四象限；
局部看：时，图象经过第二、三象限；时，图象只在第一象限
②与坐标轴的交点情况：
整体看：与x轴有一个交点；与y轴无交点；
局部看：时，与x轴有一个交点，与y轴无交点；时，与坐标轴无交点.
③最值
整体看：函数没有最大值和最小值；
局部看：时，函数没有最大值和最小值；时，图象没有最大值，但有最小值；
④变化趋势
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大.
⑤对称性
该函数图象不具有对称性.
我们只须写出上述结论中的任意一条即可完成第4问.
小结1
对研究函数一般步骤的应用：
一根据表达式特征确定自变量的取值范围；
二根据两个变量之间的对应关系补全表格；
三利用“描点法”画出函数图象；
四根据图象直观性探究该函数的性质.
经历了探究函数一般步骤的第2、3、4步.
易错点：
能够根据图表正确的画出函数图象是本题解题的关键.
画函数图象时需要注意：
（1）判断自变量的取值范围
（2）根据自变量的取值范围判断图象变化趋势，判断它
①是直线还是曲线？
②是否向两端无限延伸？
③与坐标轴有无交点？
④无限接近坐标轴？还是无限远离坐标轴？
（3）用直线或平滑曲线在取值范围内从左至右连结，就可以正确画出函数的图象.
例2
如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度
的几组值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC
/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD
/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD
/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定
的长度是自变量，
的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为
cm．
解：（1）确定AD的长度是自变量，PC的长度和PD的长度都是这个自变量的函数.
（2）
（3）方法1：
我们需要抓住函数中的变量和动态几何图形中线段长的联系，对于PC=2PD可以用函数思想“翻译”为：自变量AD取相同的值时，两个函数的因变量是2倍的关系，这样我们将这个几何问题转化为一个函数问题.
首先来看函数图象，什么时候PC=2PD呢？我们可以在x轴上取一点Q，点Q的横坐标在0和6之间.过点Q做x轴的垂线，分别交函数PC、PD的图象于点M、N，对于同一个x的值，要想PC=2PD，只需MN=NQ.通过作图和测量，很容易可以知道，x约为2.3或4.0时可以满足要求.
（2）方法2
通过表格很容易可以看出，当C点在位置4时，PC=2.70cm，PD=2.30cm，PC与2PD大致相等.
当C点在位置6时，PC=2.25cm，PD=1.13cm，PC和2PD还是大致相等，从而得出当PC=2PD时，AD的长度约为2.3或4.0
cm
．
小结2
对研究函数一般步骤的应用：
解决这个题目，我们首先根据几何图形中动点的不同位置，经历观察、画图、测量的过程，分析变量的变化趋势，得出变量间的对应关系，判断自变量和因变量，确定函数关系，建立函数模型.利用函数模型解决问题.经历了函数探究一般步骤的第1、第2、第3和第5步
易错点
：
（1）判断自变量和因变量是正确解题的一个关键.
为此我们需要把握函数概念的两个实质：两个变量互相联系，对于自变量确定的每一个确定的值，对应的函数值都唯一确定.
同学们可以思考一下，在我们的实际生活中，有没有一个变化过程中的多个变量，都可以作为自变量的情况呢？
（2）
能够应用函数思想，运用数形结合的方法，利用图象解决问题是这道题的另一个关键.
抓住函数中的变量和动态几何图形中线段长的联系，这样对于几何问题PC=2PD我们可以用函数思想
“翻译”为：自变量取相同的值时，两个函数的因变量是2倍的关系，这样我们将几何问题转化为函数问题来解决，然后数形结合，利用图象的直观性和表格的数据分析，得到线段之间的数量关系，进而解决问题.
探究给定的未知函数问题.
利用研究函数的一般方法解决问题.
总结本题的解题步骤和易错点.
探究动态几何背景下的函数问题
利用研究函数的一般方法解决问题.
总结本题的解题步骤和易错点.
总
结
反
思
本节课我们共同复习了研究函数的一般步骤：
第一步，在实际问题中，经历观察、画图、测量，发现变化过程中的对应关系.
第二步，分析量与量之间的关系，判断自变量和因变量，明确取值范围，确定函数关系，建立函数模型.
在此，我们需要把握函数概念的两个实质：两个变量互相联系，对于自变量确定的每一个确定的值，对应的函数值都唯一确定.函数是刻画同一变化过程中两个变量之间对应关系的模型.
第三步，多种方法表示函数，画图像时需要注意：先描点，确定图象的变化趋势，然后在取值范围内连线.
第四步，观察函数的多种表达形式，数形结合得出函数性质.
第五步，将函数思想作为一种思维策略，用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.
近几年北京中考对利用函数模型解决问题进行考查，从考查给定的未知函数问题到考查动态几何背景下的函数问题，从考查研究函数的基础知识和基本技能，到考查利用函数模型解决问题的全过程.
思考：利用函数模型解决问题，还可以从哪些方面考查呢？
总结回顾本节课
的主要内容，加深对知识的的理解.
