教
案
教学基本信息
课题
例说一次函数与反比例函数综合题
学科
数学
学段：
初中
年级
初三年级
教材
书名：义务教育教科书《数学》
出版社：人教版、北京版
出版日期：
2014
年
9
月
教学目标及教学重点、难点
教学重点：利用数形结合、分类讨论等思想方法解决一次函数与反比例函数的综合问题
教学难点：灵活实现数形之间的转换
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们，纵观近几年北京数学中考题，一次函数与反比例函数的综合问题是中考的一个热点．
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考查同学们，所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分.
我们今天这一讲就主要复习一次函数与反比例函数的综合问题，分为知识概要、关键内容、和典型例题三部分.
通过中考热点引起学生的重视.
新课
一：知识概要
包括一次函数与反比例函数的概念、表达式、图象和性质以及与方程不等式的联系，这些内容在之前章节中已经复习过了，今天我们主要探究两个函数的综合问题.
综合问题所考查的关键内容有：
二：关键内容
根据条件求一次函数、反比例函数的表达式，或根据函数表达式求相应点的坐标.
根据一次函数、反比例函数表达式中字母系数的符号或数量关系确定函数图象的特征（以数解形）.
根据函数图象的特征，解决一次函数与反比例函数的综合问题（以形助数）.
让学生在整体上对本节课的内容有所了解，明确本节课的教学重点.
例题
例1.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
本题考查的知识要素为：
一次函数、反比例函数的概念、图象及性质.
相似三角形的判定和性质.
待定系数法.
数形结合、分类讨论、方程思想.
例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
本题考查的知识要素：
一次函数、反比例函数的概念、图象及性质.
待定系数法.
数形结合、分类讨论.
例3.在平面直角坐标系xOy中，函数y=(x>0)的图象G经过点A(4，1)，直线l:y
=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C
(1)求k的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W.
①当b=-1时，直接写出区域W内的整点个数;
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围.
本题考查的知识要素：
1.一次函数、反比例函数的概念、图象及性质
2.待定系数法
3数形结合、分类讨论
通过例1让学生体会数形结合、分类讨论在解决一次函数与反比例函数问题中的重要作用.
在解决问题例1的过程中我们发现，例1更多的是利用了一次函数的图象和性质，而例2一次函数与反比例函数综合性更强，让学生再次感受解决函数综合题所用的思想方法.
在一次函数与反比例函数的综合题中区域内整点个数问题也是我们经常会遇到的，通过例3让学生对这类问题有个深入理解.
总结
通过以上三个例题，希望能够让同学们对数形结合、分类讨论在一次函数和反比例函数综合题中所发挥的重要作用有个更深入的理解.
数形结合
----点的坐标与线段之间的转化.
分类讨论------运动过程完整，不重不漏.
在解决综合题时，要充分挖掘已解决问题对未知问题的启发和帮助.
通过总结让学生对本节课要掌握的思想方法再次巩固.
作业
在平面直角坐标系xOy中,A(-3,2),B(0,1),将线段AB沿x轴的正方向平移n(n>0)个单位,得到线段,且点,恰好都落在反比例函数y=(m≠0)的图象上.
(1)用含n的代数式表示点,的坐标;
(2)求n的值和反比例函数y=(m≠0)的表达式;
(3)点C为反比例函数y=(m≠0)图象上的一个动点,直线与x轴交于点D,若,请直接写出点C点坐标.《例说一次函数与反比例函数综合题》学习任务单
【学习目标】
利用数形结合、分类讨论等数学思想方法解决一次函数与反比例函数的综合问题.
【课上任务】
1.根据条件用待定系数法求一次函数、反比例函数的表达式，或根据函数表达式求相应点的坐标.
2.根据一次函数、反比例函数表达式中字母系数的符号或数量关系确定函数图象的特征（以数解形）.
3.根据函数图象的特征，解决一次函数与反比例函数的综合问题（以形助数）.
相似三角形的判定和性质综合运用,
方程思想解决问题.
【课后作业】
在平面直角坐标系xOy中,A(-3,2),B(0,1),将线段AB沿x轴的正方向平移n(n>0)个单位,得到线段,且点,恰好都落在反比例函数的图象上.
(1)用含n的代数式表示点,的坐标;
(2)求n的值和反比例函数的表达式;
(3)点C为反比例函数图象上的一个动点,直线与x轴交于点D,若,请直接写出点C点坐标.
【课后作业参考答案】
作业解析：
解（1）点A（-3，2）沿x轴正方向平移n(n>0)个单位长度得到,
点的坐标为（n-3，2).
同理可得，的坐标为（n,1).
将（n-3，2),（n,1)代入，得
解得
.
n的值为6，反比例函数的表达式为.
(3)点C的坐标为.
