教
案
教学基本信息
课题
例说线段的最值问题
学科
数学
学段：
初中
年级
九年级
教材
书名：
数学
出版社：北京出版社
出版日期：2013年06月
教学目标及教学重点、难点
通过例题讲解由图形中的动点、折叠、旋转等产生的线段最大值、最小值问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们好，本节课我们来研究由图形中的动点、折叠、旋转等产生的线段最大值、最小值问题.
引出课题
新课
一、线段最值问题的知识概要
线段的最值问题涉及到我们学过的哪些数学知识点呢？
复习涉及到的数学知识点
例题
二、线段最值问题的两类几何模型
第一类几何模型中有两种情况，我们先来看第一种情况：
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧.
求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.
作法：连接AB交直线l于点P，点P即为所求，PA+PB的最小值即为线段AB的长度.
第一类几何模型中的第二种情况如下：
已知：如图，定点A、B分布在定直线l同侧.
求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.
这种情况与第一种情况有什么区别呢？我们应该如何作图呢？
作法：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求.
第二类几何模型中的第一种情况如下：
已知：如图，P为⊙O内异于圆心的定点.
求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.
作法：作⊙O的直径AB经过点P，则连接点P和圆上任意一点的线段中，PA最短，PB最长.
第二类几何模型中的第二种情况如下：
已知：如图，P为⊙O外一定点.
求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.
作法：连接PO并延长，交⊙O于点A，B.
则连接点P和圆上任意一点的线段中，PA最短，PB最长.
典型例题１：如图，直线y
与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为多少？此时PC+PD的最小值为多少？
典型例题2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60
°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是多少？
典型例题3.
如图，在Rt△ABC中，∠A=90
°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为多少？
典型例题4.
如图，直线y与抛物线yx（a≠0）相交于A(，)，B(4，
m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
学习线段最值问题的两类几何模型为下面的例题做好铺垫工作.
例1从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合的重要性.
例题2可以用构造“关联三角形”和“辅助圆”两种方法解决.
例3中当P点为主动点，E，F为从动点（随P点动）时，我们应该将与从动点有关的线段优先转化为与主动点相关的线段，这是解决这一系列问题的共同思路.
例4的题型特征为平面直角坐标系中线段最值问题，可将待求线段的长表示为关于自变量的函数.其中，自变量的取值范围会决定因变量取值范围.
总结
本节课通过以上四道例题的讲解，我们可以总结出求线段最值的问题主要有几何法和解析法两种．几何法的关键在于通过题干分析出满足哪种数学知识的特征，从而确定解答方法进而求解.在此过程中，常常用到转化、数形结合的数学思想.线段最值问题的常用方法可能还不止这些，同学们也许还有其他更好的方法，建议大家课下多多总结.
通过总结让学生对本节课要掌握的思想方法再次巩固.
作业
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为多少？
自我检测《例说线段的最值问题》学习任务单
【学习目标】
通过例题讲解由图形中的动点、折叠、旋转等产生的线段最大值、最小值问题.
【课上任务】
第一类几何模型（第一种情况）：
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧.
求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.
第一类几何模型（第二种情况）：
已知：如图，定点A、B分布在定直线l同侧.
求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.
第二类几何模型（第一种情况）：
已知：如图，P为⊙O内异于圆心的定点.
求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.
第二类几何模型（第二种情况）：
已知：如图，P为⊙O外一定点.
求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.
典型例题１：如图，直线y
与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为多少？此时PC+PD的最小值为多少？
典型例题2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60
°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是多少？
典型例题3.
如图，在Rt△ABC中，∠A=90
°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为多少？
典型例题4.
如图，直线y与抛物线yx（a≠0）相交于A(，)，B(4，
m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【课后作业】
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为多少？
