教
案
教学基本信息
课题
新函数探究
学科
数学
学段：
第三学段
年级
初三
教材
人民教育出版社数学教材
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．能够在具体情境中确定自变量和函数．
2．在不知道函数表达式的情况下，能够通过取点、画图、测量求函数值．
3．会求自变量的取值范围，并能用描点法画出函数图象．
4．能够根据函数图象及表格、表达式探究函数性质．
5．积累基本概念、基本方法的运用经验，培养分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
函数的概念理解，描点法画函数图象，应用函数知识与方法解决问题
教学难点：
应用函数知识与方法解决问题．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
电视机前的同学们，大家好！我是北京市陈经纶中学分校的赵维娟老师．今天我将带领同学们一起复习新函数探究的有关问题．
近几年，函数正以全新的面孔出现在北京中考试题中．涉及的知识主要有确定自变量的取值范围、求函数值、画函数图象、根据图象研究函数性质以及函数与方程不等式之间的联系等．目的在于考查同学们对研究函数基本方法的掌握情况以及借助函数知识和方法解决问题的能力．在解决此类问题时，我们可以依据以往对一次函数、二次函数、反比例函数的研究方法及活动经验，在操作层面上独立认识和理解一种全新的函数．本节课我们将从知识概要、关键内容、典型例题三个角度进行复习．
帮助学生梳理考查的基本知识，明确解决此类问题已有的相关经验．
知识概要
在学习函数时，我们经历了从实际问题情境中抽象出函数概念，然后利用描点法画函数图象，通过观察图象规律、结合表格或表达式，获得相关函数的性质，最后利用函数模型解决实际问题的学习过程．
在整个学习过程中，我们要重点理解一个概念——函数概念；一种方法——描点法画函数图象以及一种思想——数形结合思想．
以框图形式帮助学生快速回忆研究函数的一般过程，以及整个过程中涉及的重要知识、方法与思想，为后续的学习做铺垫．
关键内容
关键一
函数概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
在理解函数的概念时，我们要把握好两个实质——一是函数描述的是两个变量的相互关系；另一个是单值对应．
关键二
描点法画函数图象
描点法画函数图象的过程——列表、描点、连线．
函数图象可以直观表示变量之间的单值对应关系，便于研究函数性质、解决问题．
关键三
数形结合
在利用函数模型解决问题时，数形结合是重要的研究问题的方法．图象法可以将数量关系直观化、形象化；而表达式和列表法可以深入局部和细节．因此，在分析问题及解决问题的过程中，要充分发挥“数”与“形”各自的优势，体现“数”与“形”的互补作用．
对新函数探究题涉及的重要知识方法与思想逐一解读．
通过对函数概念的剖析，加深对概念的理解．
复习列表法画函数图象的一般步骤，明确函数图象的作用．
比较函数三种表示法各自的优势，体现“数”与“形”的互补作用．
典型例题
例1
如图，在矩形ABCD中，
E是BA延长线上的定点，
M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转，交射线CD于点F，连接MD．
小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究.
下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表
在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定
的长度是自变量，
的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm时，DM的长度约为
cm．
【分析】：（1）若DF的长度为自变量，则不符合单值对应；BM和DM的长度均可以是自变量．
（2）描点法画函数图象，画函数图象时要关注自变量的取值范围；
（3）以BM的长是自变量为例
将表示DF长度的函数记为y1，表示DM长度的函数记为y2．直线y=2与函数y1图象的交点的横坐标是自变量BM的长，约为1.23和3.14．对应y2的值就是DM的长．
解：答案不唯一．
（1）BM，DF，DM
．
（2）如图所示．
（3）2.98，1.35．
例2
在研究反比例函数的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析．
首先，确定自变量x的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y随x的变化趋势：当时，随着x值的增大，的值减小，且逐渐接近于零，随着x值的减小，的值会越来越大，由此，可以大致画出在时的部分图象，如图1所示：
图1
图2
利用同样的方法，我们可以研究函数的图象与性质．通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示．
（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点；（画出网格区域内的部分即可）
（2）观察图象，写出该函数的一条性质：_____________________；
（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数的取值范围：__________________．
【分析】：（1）提炼画函数图象的步骤：关注自变量的取值范围及y随x的变化趋势；
（2）类比一次函数、二次函数、反比例函数图象性质从增减性、最值和图象特征三个不同的角度写性质；
（3）从“形”的角度理解方程有两个不相等的实数根的含义．通过分类讨论、确定临界情况，最终利用“数形结合”，求出字母取值范围．
解：（1）如图：
（2）当时，随着的增大而减小；（答案不唯一）
（3）.
【回顾总结】
例3
如图，在△ABC中，AB=8cm，点D是AC边的中点，点P是边AB上的一个动点，过点P作射线BC的垂线，垂足为点E，连接DE．设PA=x
cm，ED=y
cm．
小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：点E是BC边的中点时，PA的长度约为
．
【分析】：（1）通过找动点位置，准确画图，精准测量即可求解；
（2）描点法画函数图象；
（3）方法一：数形结合思想：求当y=4时，对应的自变量的值．
方法二：可通过找点、画图、测量的方法：取BC的中点E，过点E作PE⊥BC，交AB于点P，通过测量即可得到AP的长．
解：（1）2.7
（2）
（3）6.8
【回顾总结】
例4
如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当为等腰三角形时，的长度约为
．
【分析】：（1）通过找动点位置，准确画图，精准测量即可求解；
（2）描点法画函数图象；
（3）分类讨论，清楚求AP的长就是求自变量的值．
当AP=PC时，关注直线y=x与y1图象交点的横坐标；当AP=AC时，关注直线y=x与y2图象交点的横坐标；当AC=PC时，关注y1与y2图象交点的横坐标．同时，要注意检验．
解：（1）3.00
（2）
（3）3.00或4.81或5.86
【回顾总结】
例5．某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20℃下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60℃时加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保湿温度30℃时，再次自动加热水箱中的水至60℃，加热停止；当水箱中的水温下降到30℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．
小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y(单位：℃)表示水箱中水的温度，x(单位：min)表示接通电源后的时间．
（1）小宇记录了从初始温度20℃第一次加热至设定温度60℃，之后水温冷却至保湿温度30℃的过程中，y随x的变化情况如下表所示
①请写出一个符合加热阶段y与x关系的函数表达式
．
②根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x为
min．
（2）根据上述的表格，小宇画出了当0≤x≤20时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当20≤x≤40时的函数图象．
（3）已知适宜人体沐浴的水温约为35℃-40℃，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20℃，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温
（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是
．
【分析】：（1）①从表格中可以看出，0—8分钟是加热阶段．接通电源的时间每增加1min，水箱中水的温度增加5℃，所以y=5x+20(0≤x≤8)．
②水温从30℃加热到60℃，一共需要8-2=6分钟，此时距离接通电源的时间是20+6=26分钟．
（2）由于加热阶段函数图象是直线型．起点是(20，30)点，根据第1问，加热一次需要6分钟可达到60℃，故终点坐标是(26，60)．降温阶段的图象是曲线型．起点是(26，60)，由表格可知经过2分钟后，水温降到51℃，故曲线经过(28，51)点；再经过2分钟，水温降到45℃，故曲线经过(30，45)点；以此类推，最后一个点是(38，30)点．然后又开始进入加热阶段，图象又变回直线型．起点是(38，30)点，经过2分钟，水温达到40℃，所以终点坐标是(40，40)点．
（3）从第2分钟起，每18分钟，水温从30℃上升到60℃，再下降到30℃，循环一次．从8:00-9:30，经过了90分钟，故9:30的水温与第18分钟时水温一致，是33℃，所以不适合沐浴．
解：（1）①y=5x+20(0≤x≤8)
②26
（2）
（3）否；因为9:30的水温与第18分钟时水温一致，是33℃，所以不适合沐浴．
理解函数定义．
通过（1）明确在具体情境中确定自变量和函数的方法．
通过（2）明确描点法画函数图象的方法、步骤．
通过（3）应用函数的知识与方法解决问题，明确在利用图象解决问题时，要理清横轴、纵轴各自代表的含义，体会数形结合解决问题的优越性．
探究函数图象的性质．
通过（1）从大段的文字中提炼解题步骤及方法，培养学生的阅读及概括能力．
通过（2）类比一次函数、二次函数、反比例函数图象性质的学习，明确探究函数图象性质时可以从哪些方面去思考，培养学生的探究意识．
通过（3）依托函数与方程的联系，从“形”的角度理解什么是方程的根，体会“数”与“形”的转化．
通过框图的形式帮助学生梳理探究函数图象性质的全过程．
通过（1）明确求函数值的方法：有解析式时将自变量的值代入解析式直接计算；无解析式时往往需要经历取点、画图、测量的过程．
通过（2）进一步熟悉描点法画函数图象的过程及注意事项．
通过（3）的一题多解发散学生思维，提升解题能力．
通过框图形式梳理整个例题的解题过程，明确在不知道解析式的情况下如何求函数值，体会借助几何图形性质寻求与变量相关的等式，再利用数形结合解决问题的方法．
通过例4的学习，明确某些问题的解题方法其实是一脉相通的，体会提炼解题方法的重要性，培养学生举一反三的能力．
通过（3）体会文字语言、符号语言、图形语言之间的转换．借助函数知识直观求解几何问题．
通过框图帮助学生梳理解题的全过程．直观感受例3、例4两道题解题方法的相同点．突出掌握解题方法的重要性．
利用函数模型解决实际问题．
从实际问题抽象出函数的有关概念，又运用函数解决实际问题，这是贯穿于函数学习的主线．
通过本题的选取培养学生应用数学的意识．
通过（1）明确在解决问题时，要善于观察、挖掘、使用表格中的各种信息．
通过（2）梳理分段函数图象的画法．明确直线型和曲线型不同的取点要求．
通过（3）提升分析问题、解决问题的能力．
概念方法总结
同学们，你们发现了吗？新函数探究题往往会围绕着函数概念、描点法画函数图象、应用函数知识解决数学问题以及利用函数模型解决实际问题这四个方面来设置题目．
理解函数概念时，应牢牢抓住概念的两个实质．
利用描点法画函数图象时，要紧盯自变量的取值范围．
应用函数知识解决数学问题，有时会让同学们探究函数图象的性质（比如例2），我们可以从增减性、对称性、最值及图象特征等多个角度进行阐述．有时也会要求同学们借助几何图形的性质寻求变量之间的关系，进而解决新问题（比如例3、例4）．
在解决问题时，我们可以依托函数与方程、不等式之间的联系，将图表结合使用，利用数形结合思想进行求解．
这种方法同样适用于利用函数模型解决实际问题．
通过框图形式梳理，明确新函数探究的类型．再次重现本专题涉及的重点内容：一个重要概念——函数的概念，一种方法——描点法画函数图象，以及一种思想——数形结合思想．
作业
1．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为
cm．
2．如图，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上一动点，连接CA，CB，已知AB=4cm，设B，C两点间的距离为x
cm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数,，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）按下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到y1，y2与的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①连结BE，则BE的长约为
cm．
②当以A，B，C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为
cm．
通过两道作业题，复习本节课重要的知识与方法．
第1题旨在复习函数概念、描点法画函数图象及图表结合使用解决问题．
第2题旨在复习在不知道解析式的情况下求函数值的方法．（3）让学生经历有序思考的过程，体会分类的标准．并通过经历图表结合使用解决问题的过程，体会数形结合思想在函数相关问题时的重要性．《新函数探究》学习任务单
【学习目标】
1．能够在具体情境中确定自变量和函数．
2．在不知道函数表达式的情况下，能够通过取点、画图、测量求函数值．
3．会求自变量的取值范围，并能用描点法画出函数图象．
4．能够根据函数图象及图表、解析表达式探究函数性质．
5．积累基本概念、基本方法的运用经验，培养分析问题、解决问题的能力．
【课上任务】
例1
如图，在矩形ABCD中，
E是BA延长线上的定点，
M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转，交射线CD于点F，连接MD．
小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究.
下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
BM/cm
0.00
0.53
1.00
1.69
2.17
2.96
3.46
3.79
4.00
DF/cm
0.00
1.00
1.74
2.49
2.69
2.21
1.14
0.00
1.00
DM/cm
4.12
3.61
3.16
2.52
2.09
1.44
1.14
1.02
1.00
在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定
的长度是自变量，
的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm时，DM的长度约为
cm．
例2在研究反比例函数的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析.
首先，确定自变量x的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y随x的变化趋势：当时，随着x值的增大，的值减小，且逐渐接近于零，随着x值的减小，的值会越来越大，由此，可以大致画出在时的部分图象，如图1所示：
图1
图2
利用同样的方法，我们可以研究函数的图象与性质．通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.
（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点；（画出网格区域内的部分即可）
（2）观察图象，写出该函数的一条性质：_________________________________；
（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数的取值范围：___________________________.
【归纳】
例3如图，在△ABC中，AB=8cm，点D是AC边的中点，点P是边AB上的一个动点，过点P作射线BC的垂线，垂足为点E，连接DE．设PA=x
cm，ED=y
cm．
小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x
/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
/cm
3.0
2.4
1.9
1.8
2.1
3.4
4.2
5.0
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：点E是BC边的中点时，PA的长度约为
．
【归纳】
例4如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；
0
1
2
3
4
5
6
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当为等腰三角形时，的长度约为
．
【归纳】
例5某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20℃下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60℃时加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保湿温度30℃时，再次自动加热水箱中的水至60℃，加热停止；当水箱中的水温下降到30℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．
小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y(单位：℃)表示水箱中水的温度，x(单位：min)表示接通电源后的时间．
（1）小宇记录了从初始温度20℃第一次加热至设定温度60℃，之后水温冷却至保湿温度30℃的过程中，y随x的变化情况如下表所示
接通电源后的时间
x（单位：min）
0
2
4
8
10
12
14
16
18
20
…
水箱中水的温度
y（单位：℃）
20
30
40
60
51
45
40
36
33
30
…
①请写出一个符合加热阶段y与x关系的函数表达式
．
②根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x为
min．
（2）根据上述的表格，小宇画出了当0≤x≤20时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当20≤x≤40时的函数图象．
（3）已知适宜人体沐浴的水温约为35℃-40℃，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20℃，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温
（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是
．
【课堂小结】
【课后作业】
1．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为
cm．
2．如图，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上一动点，连接CA，CB，已知AB=4cm，设B，C两点间的距离为cm，点C到弦AB所在直线的距离为cm，A，C两点间的距离为cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数，，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
/cm
0
0.78
1.76
2.85
3.98
4.95
4.47
/cm
4
4.69
5.26
5.96
5.94
4.47
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，），（x，）并画出函数，的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①连结BE，则BE的长约为
cm．
②当以A，B，C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为
cm．
【课后作业参考答案】
作业1：
（1）AD，
PC，PD；
（2）
（3）2.29或者3.98
作业2：
解：（1）5.70．
（2）画出的图象．
（3）①6；
②6，4.47．
