18.2.1矩形（2） 课件（共29张PPT）

(共27张PPT)
人教版
八年级数学上
18.2.1矩形（2）
学习目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．
（重点）
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
回顾旧知
思考1
矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
思考2
矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角（相等）
对角线互相平分且相等
合作探究---矩形的判定
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
思考3
除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题看看它们是否成立.
合作探究---矩形的判定
思考4
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，它的逆命题是什么？城成立吗？
1不成立，等腰梯形的对角线也相等.
1不成立，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
你能证明这一逆命题吗？
1、对角线相等的四边形是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
合作探究---矩形的判定
已知：如图,在□ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
AB
=
DC,
AB∥CD,
∵
BC
=
CB,AC
=
DB,
∴
△ABC≌△DCB
,
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
□
ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
合作探究---矩形的判定
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
在□
ABCD中，∵AC=BD，
∴
□
ABCD是矩形.
A
B
C
D
合作探究---矩形的判定
数学来源于生活，事实上工人师傅做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长队是否相等，常常还要测量它们的对角线是否相等，以确保图形是矩形，你知道其中的道理了吗？
测量对边长度相等是为了确保它是平行四边形；测量它的对角线相等是为了确保它是矩形。
典例精析
　
例1
如图，在
ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
AC，
OB=OD=
BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
合作探究---矩形的判定
思考5
上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
思考6
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
√
你能证明出来吗？
合作探究---矩形的判定
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
合作探究---矩形的判定
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
数学来源于生活，一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
合作探究---矩形的判定
典例精析
例2
如图，
□?ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形
EFGH为矩形．
证明：在□?ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴
∠BAE+
∠ABF=
∠DAB+
∠ABC=90°.
小试牛刀
1.如图
ABCD中,
∠1=
∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形ABCD是矩形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AO=CO,DO=BO.
又∵
∠1=
∠2，
∴CO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
小试牛刀
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=3，BC=4，AC=5．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，
满足52=32+42，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
综合演练
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
×
×
×
×
√
√
√
（7）一组对角互补的平行四边形是矩形.
综合演练
2.如图，在?ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定?ABCD是矩形的是
（　　）
A．AB=AD
B．AC=BC
C．AD=BC
D．AC=BD
D
综合演练
3.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、
∠MCA、
∠
ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（
）
A.梯形
B.矩形
C.平行四边形
D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
B
综合演练
4.如图，以□ABCD的对角线AC为斜边作Rt△AMC，且∠BMD＝90°。求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
O
D
M
∵四边形ABCD是平行四边形
解：连接OM
∴
BD＝AC
∴四边形ABCD是矩形。
Rt△BMD中，BD＝2·MO
∴
OA=OC，OB=OD
Rt△AMC中，AC＝2·MO
综合演练
5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴平行四边形NDMB为矩形．
综合演练
6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝
∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝
∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝
(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．
能力提升
7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，
即PD＝CQ，
所以24－x＝3x，
解得x＝6.
即经过6s，四边形PQCD是平行四边形；
能力提升
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
∴y＝26－3y，
解得y＝6.5，
即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
课堂小结
本节课你有哪些收获？
矩形的判定定理.
课后作业
教材55页练习：1、2、题．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php