(共33张PPT)
问题1
下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
a
a≥0
1
我们都是非负数哟
问题2
若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
1
16
4
1
a
a为任意数
我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.
思考
你发现了什么？
16.1 二次根式（2）
人教版八年级数学
下册
目标导航
1.归纳二次根式的性质。
2.能应用二次根式的性质进行计算。
问题 根据算术平方根的意义填空，并说出得到
结论的依据．
0
4
2
_____；
_____；
_____；
_____．
目标导学一：
（a≥0）的性质
为了验证上述问题的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
...
算术平方根
平方运算
0
2
4
...
a(a≥0)
02
=
0
...
观察两者有什么关系？
22
=
4
的性质：
一般地，
＝a
(a
≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式
有意义的前提条件.
性质归纳
例1
计算：
（1）
;
（2）
.
解：⑴
＝
____;
⑵
＝
(__)
(__)
＝____
★例1（2）用到了
＝____这个结论
20
1.5
2
精典例题
直接写出结果
⑴
=
（2）(
)
=
⑶
=
⑷
(
)
=
9
3
3
即学即练
利用
（
）（
），
把下列非负数
分别写成一个非负数的平方的形式：
例
3=（
）
练一练
0.7=（0.7
）
=（
）
拓展延伸
0
2
0.1
填空，你能说说这样做的依据吗？
_____；
_____；
_____；
_____．
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根
式表示：
目标导学一：
的性质
...
平方运算
算术平方根
2
0.1
0
...
a(a≥0)
2
...
观察两者有什么关系？
填一填：
＝a
(a≥0).
...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
思考：当a＜0时，
=
？
-a
归纳总结
a
(a≥0)
-a
(a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
的性质：
例2
化简：
解：
＝
=4
＝
＝5
精典例题
1.说出下列各式的值：
（1）
＝
（2）
＝
____;
（3）
＝
____;
（4）
＝
____;
____;
即学即练
2.化简：
（1)
=
（2)
=
（3）
（4）
⑸
=
即学即练
合作探究
2.从取值范围来看,
a≥0
a取任何实数
1:从运算顺序来看,
先开方,后平方
先平方,后开方
区别:
3.从运算结果来看:
=a
a
(a≥
0)
-a
(a＜0)
=
=∣a∣
例3
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b＞c
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
例4.实数p在数轴上的位置如图所示，化简
精典例题
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把
或
连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
数
表示数的字母
想一想
到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
目标导学三：代数式的定义
（1）一条河的水流速度是2.5
km/h，船在静水中的速度是
v
km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
例5
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是
km/h，逆水行驶的速度是
km/h．
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以
所以它的长为
列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
知识归纳
a
(a>0)
-a
(a＜0)
=∣a∣
=
二次根式的性质
0
(a=0)
课堂小结
代数式的定义
1.计算：
（1）
（2）
（3）
检测目标
5
7
18
(x﹤y)
检测目标
2.计算：
3.在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A.7
B.3＞2
C.
D．
B
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.
检测目标
4.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共29张PPT)
16.1 二次根式（1）
人教版八年级数学
下册
学习目标
1．归纳二次根式和代数式的概念。
2．知道二次根式有意义的条件和二次根式具有非负性。
3.
能利用二次根式解决相关的实际问题。
问题：
1.9的平方根是多少？9的算术平方根是多少？
2.（1）面积为3
的正方形的边长为_______，面积为S
的正方形的边长为_______．
目标导学一：二次根式的概念及有意义的条件
（2）一个长方形围栏，长是宽的2
倍，面积为130m2，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的
时间
t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满
足关系
h
=5t2，如果用含有h
的式子表示
t
，则
_____．
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
这些式子的共同特征是：
都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负
数）的算术平方根．
分别表示3，S，65，
的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是：
，
，
，
．
被开方数a≥0
根指数为2
二次根式
二次根式：
一般地，我们把形如
（a≥0）的式子叫做二次
根式，“
”称为二次根号．
a可以是数,也可以是式.
二次根式的两个特征：
（1）根指数为2
（2）被开方数大于等于零
形
质
如
都是二次根式
深入理解
例1.判断下列各式是否是二次根式？
①
；②
；
③
.
③因为-5小于0，所以
不是二次根式
②因为0.002大于0，所以
是二次根式
①因为a可能会小于0，所以
不是二次根式
精典例题
下列各式是二次根式吗?
?
?
?
?
?
即学即练
求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？
①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
归纳总结
例2.当x是多少时，
+
在实数范围内有意义？
解：依题意，得
由①得：x≥－
由②得：x≠－1
当x≥－
且x≠-1时，
+
在实数范围内有意义．
例3.已知
,
求
的值．
解
：由题意知：｛
2-x
0
x-2
0
解得x=2
当x=2，
y=3.
则
=
典型例题
1.已知
求a,
b的值
解：由题意可知：｛
2a+1=0
b-3=0
解得
a=
-
b=3
2.
已知
则
的值为
3
即学即练
（1）
；（2）
；（3）
．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得 a＜
；
（3）由
≥0，得 a为任何实数．
3.
a
取何值时，下列根式有意义？
即学即练
问题1
当x是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时，
表示a的算术平方根，因此
＞0；当a=0时，
表示0的算术平方根，因此
=0.这就是说，当a≥0时，
≥0.
问题2
二次根式
的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
目标导学二：二次根式的双重非负性
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式
，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
表示一个数或式的算术平方根，可知
≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
例4.已知 ，求x＋y的值
解：∵ ≥０， ≥０，
＝０， ＝０
∴
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
精典例题
１.已知 ，求x、y的值.
x=2，y=3
a≥4
２.已知
，求a的值.
a-4=9，则
a=13
即学即练
例5
已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
精典例题
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足
，求此三角形的周长．
若
，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
变式练习
已知|3x-y-1|和
互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
即学即练
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式
中,a≥0且
≥0
课堂小结
BY
YUSHEN
1.指出下列哪些是二次根式？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
检测目标
BY
YUSHEN
2.求下列二次根式中字母
a
的取值范围：
⑴
⑵
1）由a+2
0，得a
-2，当a
-2时，
在实数范围内有意义。
2）由a-4
0，得a
4
，当a
4时，
在实数范围内有意义。
检测目标
3.下列式子中，是二次根式的是
（
）
A．—
B.
C．
D．x
A
检测目标
BY
YUSHEN
4．在函数中，自变量的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
【答案】C【详解】解：由题意可得：
解得：且
故选：C
检测目标
5.下列式子中，不是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
D
检测目标
6.若
，求a
-b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题
