1.3.1 线段的垂直平分线 课件（共25张PPT）

第3节 线段的垂直平分线
（第1课时）
第一章 三角形的证明
2020-2021北师大版八年级数学下册
1 能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并利用
定理解决几何问题.
2 用尺规作线段的垂直平分线.
学习目标
1 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
B
2 什么叫线段的垂直平分线？
3 线段的垂直平分线有什么性质？
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线).
垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
新课导入
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
A
B
C
线段的垂直平分线的性质
知识点一
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA＝PB
P
A
B
M
C
N
探究新知
证明：∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.
∵ AC＝BC，PC＝PC,
∴△PCA ≌△PCB ( SAS ).
∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端点的距离相等．
表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
例1
例题讲解
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
线段的垂直平分线的判定
知识点二
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
条 件
结 论
性质定理
逆命题
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
想一想
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
条件：点到线段两端点距离相等；
结论：点在线段垂直平分线上．
表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C.
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．
∴AC=BC. 即P点在AB的垂直平分线上．
定理的证明：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
垂直平分线上．
C
B
P
A
试一试
例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
A
B
C
O
例题讲解
证明一：∵ AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
证明二：延长AO交BC于点D.
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO=∠CAO.
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，BD＝CD.
∴直线AD，即AO垂直平分线段BC.
D
1 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　)
A．三条高的交点　　
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点　
D．三条边的垂直平分线的交点
课堂练习
2 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的度数为（ ）
A. 50° B. 40°
C. 40°或140° D. 40°或50°
3 如图，在四边形ABDC中，∠A＝110°，若点D在AB，AC的垂直平分线上，则∠BDC为(　　)
A．90°　
B．110°
C．120°　
D．140°
4 如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于(　　)
A．3
B．4
C．4.8
D．5
5 如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
6 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.
判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.
课堂小结
谢谢聆听