1.3.2 线段的垂直平分线 课件（共25张PPT）

第3节 线段的垂直平分线
（第2课时）
第一章 三角形的证明
2020-2021北师大版八年级数学下册
1 掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理.
2 已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形.
学习目标
作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
P
三条边的垂直平分线交于一点P
线段的垂直平分线的性质定理和判断定理.
新课导入
三角形三边的垂直平分线
知识点一
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图,在△ABC中，边AB的垂
直平分线与边BC的垂直平分线
与边BC相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线
经过点P，且PA＝PB＝PC.
P
A
B
C
探究新知
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
例1 如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______．
38°
例题讲解
解：图，连接OA，
∵O为AB，AC的垂直平分线的交点，
∴ OA＝OB＝OC.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6.
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝∠BAC＝52°.
∴∠5＋∠6＝180°－(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)＝180°－2×52°＝76°.
∴∠6＝ ×76°＝38°，
即∠OCB＝38°.
线段垂直平分线的作图及应用
知识点二
议一议
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
A1
D
C
B
A
a
h
( )
D
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
可以画出无数个三角形
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
可以画出无数个三角形
（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
所以满足这一条件的三角形是唯一确定的.
你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
用尺规作已知线段的垂直平分线的方法：
已知：线段AB(如图)．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：①分别以点A和点B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D.
②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线(如图)．
试一试
例2 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图，线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h.
a
h
例题讲解
作法:
（1）作线段BC=a(如图)
（2）作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D
（3）在m上作线段DA，使DA=h
（4）连接AB,AC△ABC为所求的等腰三角形
h
a
B
C
A
D
m
例3 如图，河流AB的一旁有一村庄P，现要在河流上修建供水站向村庄P供水，要使供水路径最短，求作供水站M的位置．
例题讲解
解：如图，作法：①以P为圆心，以适当的长度为半径画弧，交直线AB于C，D两点．
②作线段CD的垂直平分线MN，交CD于M，M点就是所求作的点．
1 三角形三边的垂直平分线的交点(　　)
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
课堂练习
2 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是(　　)
A．10° B．20°
C．30° D．40°
3 已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　)
4 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，
交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H.
下列叙述正确的是(　　)
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD
5 如图，在△ABC 中，已知 AC = 27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 50，求 BC 的长.
A
B
E
D
C
1 三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这一点叫做三角形的外心．
2 几种三角形三条边的垂直平分线交点的位置情况：
(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；
(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；
(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．
课堂小结
谢谢聆听