1.2.1 直角三角形 课件（共23张PPT）

第2节 直角三角形
（第1课时）
第一章 三角形的证明
2020-2021北师大版八年级数学下册
1 能够证明直角三角形的性质定理和判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；
2 体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
学习目标
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？
性质：直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余.
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.
新课导入
直角三角形中角的关系
知识点一
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
想一想
探究新知
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理　有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°
求证：△ABC是直角三角形。
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°
∵∠A＋∠B＝90°
∴ ∠C＝180°－（∠A＋∠B）
＝180°－90°
＝90°
∴△ABC中是直角三角形
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形
如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
例1
例题讲解
解：由题意可知，
∠BAC＝180°－∠B－∠C
＝180°－30°－70°＝80°.
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
直角三角形中边角关系
知识点二
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
A
C
B
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.
已知：如图 ，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形
A
B
C
证明：如图作 Rt△A'B'C'，
A'
B'
C'
使∠A'=90°，A'B'=AB，A’C' =AC，
则 A'B'2+A'C'2=B'C'2（勾股定理）
∵AB2+AC2 =BC2，
∴BC2=B'C'2.
∴BC=B'C'.
∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
∴∠A=∠A'= 90°.
因此，△ABC 是直角三角形.
A
B
C
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
试一试
例2
A
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)
例题讲解
解：过点C作CD⊥AB于点D，
则S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ ，即点C到AB的距离为　　.
逆命题和逆定理
知识点三
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
再观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
1 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
2 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
例3 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0.
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0，b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.
例题讲解
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°.
∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD= AB.
1
2
1
2
1 下列说法正确的是(　　)
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
课堂练习
2 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(　　)
A．3
B．6
C．3
D.
3 如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是(　　)
A．13
B．26
C．47
D．94
4 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点，且∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长.
1 定理 直角三角形的两个锐角互余.
2 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
3 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
4 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
课堂小结