人教版八年级数学 下册 第十六章 16.2 二次根的乘除 课件（3课时，共61张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学 下册 第十六章 16.2 二次根的乘除 课件（3课时，共61张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-05 20:57:33 | ||
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文档简介
(共61张PPT)
温故知新
1.什么是二次根式？
2.二次根式的性质有哪些？
3.什么是代数式？
运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.
第一宇宙速度v1可以表示为
.
导入新课
飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=
v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.
第二宇宙速度v2可以表示为
.
思考
若已知地球半径R≈6371km及重力加速度g≈10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？
导入新课
16.2 二次根式的乘除
人教版八年级数学
下册
目标导航
1．探索二次根式乘除法法则；
2．能根据二次根式乘除法法则进行二次根式的乘除法混合运算。
3.能用最简二次根式的概念进行二次根式的化简。
问题1 当a
是正数或0
时， 是实数吗？取a
值分
别为1，2，3，4，5试一试！
类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以
进行哪些运算？
加、减、乘、除四则运算
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运
算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．
请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多
少？
特殊化，从能开得尽方的
二次根式乘法运算开始思考！
？
(1)
___×___=____;
=_________;
计算下列各式:
(2)
___×___=____;
(3)
___×___=____;
=_________;
=_________.
2
3
6
4
5
20
5
6
30
观察两者有什么关系？
目标导学一：二次根式的乘法
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测：
你能证明这个猜测吗？
求证：
证明：根据积的乘方法则，有
∴
就是ab算术平方根.
又∵
表示ab算术平方根，
∴
.
合作探究
二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘
的算术平方根．
反之：
（a≥0，b≥0
）．
一般地有
（a≥0，b≥0
）．
二次根式乘法法则：
？
知识归纳
解：（1）
；
例1 计算：
（1）
；（2）
；（3）
．
（2）
；
（3）
．
变：若（3）的条件为a≤0，b≥0呢？
精典例题
计算:
归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即
.
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
解：
即学即练
二次根式的乘法法则的推广：
?多个二次根式相乘时此法则也适用，即
?当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单
项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
拓展延伸
例2
比较大小(一题多解):
解：(1)方法一：
∵
，
，
又∵20＜27，
∴
，即
.
方法二：
∵
，
，
又∵20＜27，
∴
，即
.
合作探究
解：(2)∵
，
，
又∵52＜54，
∴
，
∴
,即
比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小
被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
归纳
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
二次根式乘除运算的一般步骤：
1.运用法则,化归为根号内的实数运算;
2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;
3.化简二次根式.
知识归纳
解：
例3.计算：
精典例题
（a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。
方法归纳
计算：
解：原式
原式
即学即练
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
一般的：
这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
目标导学二：积的算术平方根的性质
解：（1）
；
例4
化简：
（1）
；（2）
．
（2）
(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
精典例题
（1）
；
（2）
．
化简：
解：（1）
（2）
当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.
归纳
变式练习
例5
计算：
（1）
；（2）
；
（3）
．
解：（1）
（2）
（3）
精典例题
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那
么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
．
目标导学三：二次根式的除法
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现
什么规律？
（2）
（1）
（3）
_______；
_______；
_______；
_______；
_______；
_______．
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现
什么规律？
（a≥0，b＞0）
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考
通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式
的结果吗？
特殊
一般
问题
在前面发现的规律
中，a,b的取值范围有没有限制呢？
不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.
a,b同号就可以啦
你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦
问题
在前面发现的规律
中，a、b的取值范围有没有限制呢？
a≥0，b＞0,当b=0时，等式两边的二次根式就没有意义啦！
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
知识归纳
解：
例6 能否将二次根式
化简？
精典例题
1.化简
的结果是（ ）
A.9
B.3
C.
D.
B
即学即练
解析
÷×××2.
计算：÷×的结果为(
)
A.
B.2
C.1
D.3
B
即学即练
3.计算:
先将每一项分母有理化.
即学即练
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
目标导学四：商的算术平方根的性质
例7.化简:
解:
还有其他解法吗?
补充解法：
精典例题
=
解法1：
解法2：
精典例题
化简：
解：
即学即练
问题1
你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即
问题2
前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉
这样的式子分母的根号吗？
是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？
目标导学五：最简二次根式
观察下列二次根式及其化简所得结果,比较被开方数发生了什么变化?
被开方数不含开得尽方的因数
被开方数不含分母
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（２）被开方数不含分母．
如：
√
√
（１）被开方数各因式的指数都为1．
例8．判断下列二次根式是不是最简二次根式
解(1)因为被开方数 含分母３，
所以 不是最简二次根式．
(2)因为被开方数分解：
所以 是最简二次根式．
注:被开方数比较复杂时，
应先进行因式分解再观察
化简二次根式的步骤:
1.把被开方数分解因式(或因数)
；
2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面
.
3.将被开方数中的分母化去
4.被开方数是带分数或小数时要化成假分数.
判断下列各式是否为最简二次根式？
（5）
（
）；
（2）
（
）；
（3）
（
）；
（4）
（
）；
（1）
（
）；
（6）
（
）；
（7）
（
）；
√
×
×
×
×
×
√
被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断．
满足如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
知识归纳
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
a2
=
把这个因式(或因数)开出来，将二次根
式化简
.
1.把被开方数分解因式(或因数)
；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
式(或因数)的算术平方根的积；
化简二次根式的步骤：
知识归纳
例8
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知
，求a的值.
解:∵
∴
目标导学六：二次根式乘除法的应用
例9
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
解：当W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒时，
即学即练
BY
YUSHEN
已知长方形的面积为S，相邻两边分别为a、b.
1)已知S=
,a=
,求b；
1)已知S=
,a=
，求S；
即学即练
二次根式乘法
法则
性质
拓展法则
课堂小结
1.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
检测目标
(
)
B．
C．
D．
A．
D
检测目标
BY
YUSHEN
【答案】C
【详解】
A.
=，故选项A错误；
B.
原式=，故选项B错误；
C.
，故选项C正确；
D.
，故选项D错误；故选C.
检测目标
B
解析：＝；＝3；＝2.
检测目标
计算：
（1）
；（2）
；（3）
．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
检测目标
计算：
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题
温故知新
1.什么是二次根式？
2.二次根式的性质有哪些？
3.什么是代数式？
运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.
第一宇宙速度v1可以表示为
.
导入新课
飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=
v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.
第二宇宙速度v2可以表示为
.
思考
若已知地球半径R≈6371km及重力加速度g≈10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？
导入新课
16.2 二次根式的乘除
人教版八年级数学
下册
目标导航
1．探索二次根式乘除法法则；
2．能根据二次根式乘除法法则进行二次根式的乘除法混合运算。
3.能用最简二次根式的概念进行二次根式的化简。
问题1 当a
是正数或0
时， 是实数吗？取a
值分
别为1，2，3，4，5试一试！
类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以
进行哪些运算？
加、减、乘、除四则运算
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运
算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．
请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多
少？
特殊化，从能开得尽方的
二次根式乘法运算开始思考！
？
(1)
___×___=____;
=_________;
计算下列各式:
(2)
___×___=____;
(3)
___×___=____;
=_________;
=_________.
2
3
6
4
5
20
5
6
30
观察两者有什么关系？
目标导学一：二次根式的乘法
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测：
你能证明这个猜测吗？
求证：
证明：根据积的乘方法则，有
∴
就是ab算术平方根.
又∵
表示ab算术平方根，
∴
.
合作探究
二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘
的算术平方根．
反之：
（a≥0，b≥0
）．
一般地有
（a≥0，b≥0
）．
二次根式乘法法则：
？
知识归纳
解：（1）
；
例1 计算：
（1）
；（2）
；（3）
．
（2）
；
（3）
．
变：若（3）的条件为a≤0，b≥0呢？
精典例题
计算:
归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即
.
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
解：
即学即练
二次根式的乘法法则的推广：
?多个二次根式相乘时此法则也适用，即
?当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单
项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
拓展延伸
例2
比较大小(一题多解):
解：(1)方法一：
∵
，
，
又∵20＜27，
∴
，即
.
方法二：
∵
，
，
又∵20＜27，
∴
，即
.
合作探究
解：(2)∵
，
，
又∵52＜54，
∴
，
∴
,即
比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小
被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
归纳
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
二次根式乘除运算的一般步骤：
1.运用法则,化归为根号内的实数运算;
2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;
3.化简二次根式.
知识归纳
解：
例3.计算：
精典例题
（a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。
方法归纳
计算：
解：原式
原式
即学即练
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
一般的：
这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
目标导学二：积的算术平方根的性质
解：（1）
；
例4
化简：
（1）
；（2）
．
（2）
(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
精典例题
（1）
；
（2）
．
化简：
解：（1）
（2）
当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.
归纳
变式练习
例5
计算：
（1）
；（2）
；
（3）
．
解：（1）
（2）
（3）
精典例题
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那
么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
．
目标导学三：二次根式的除法
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现
什么规律？
（2）
（1）
（3）
_______；
_______；
_______；
_______；
_______；
_______．
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现
什么规律？
（a≥0，b＞0）
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考
通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式
的结果吗？
特殊
一般
问题
在前面发现的规律
中，a,b的取值范围有没有限制呢？
不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.
a,b同号就可以啦
你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦
问题
在前面发现的规律
中，a、b的取值范围有没有限制呢？
a≥0，b＞0,当b=0时，等式两边的二次根式就没有意义啦！
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
知识归纳
解：
例6 能否将二次根式
化简？
精典例题
1.化简
的结果是（ ）
A.9
B.3
C.
D.
B
即学即练
解析
÷×××2.
计算：÷×的结果为(
)
A.
B.2
C.1
D.3
B
即学即练
3.计算:
先将每一项分母有理化.
即学即练
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
目标导学四：商的算术平方根的性质
例7.化简:
解:
还有其他解法吗?
补充解法：
精典例题
=
解法1：
解法2：
精典例题
化简：
解：
即学即练
问题1
你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即
问题2
前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉
这样的式子分母的根号吗？
是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？
目标导学五：最简二次根式
观察下列二次根式及其化简所得结果,比较被开方数发生了什么变化?
被开方数不含开得尽方的因数
被开方数不含分母
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（２）被开方数不含分母．
如：
√
√
（１）被开方数各因式的指数都为1．
例8．判断下列二次根式是不是最简二次根式
解(1)因为被开方数 含分母３，
所以 不是最简二次根式．
(2)因为被开方数分解：
所以 是最简二次根式．
注:被开方数比较复杂时，
应先进行因式分解再观察
化简二次根式的步骤:
1.把被开方数分解因式(或因数)
；
2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面
.
3.将被开方数中的分母化去
4.被开方数是带分数或小数时要化成假分数.
判断下列各式是否为最简二次根式？
（5）
（
）；
（2）
（
）；
（3）
（
）；
（4）
（
）；
（1）
（
）；
（6）
（
）；
（7）
（
）；
√
×
×
×
×
×
√
被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断．
满足如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
知识归纳
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
a2
=
把这个因式(或因数)开出来，将二次根
式化简
.
1.把被开方数分解因式(或因数)
；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
式(或因数)的算术平方根的积；
化简二次根式的步骤：
知识归纳
例8
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知
，求a的值.
解:∵
∴
目标导学六：二次根式乘除法的应用
例9
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
解：当W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒时，
即学即练
BY
YUSHEN
已知长方形的面积为S，相邻两边分别为a、b.
1)已知S=
,a=
,求b；
1)已知S=
,a=
，求S；
即学即练
二次根式乘法
法则
性质
拓展法则
课堂小结
1.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
检测目标
(
)
B．
C．
D．
A．
D
检测目标
BY
YUSHEN
【答案】C
【详解】
A.
=，故选项A错误；
B.
原式=，故选项B错误；
C.
，故选项C正确；
D.
，故选项D错误；故选C.
检测目标
B
解析：＝；＝3；＝2.
检测目标
计算：
（1）
；（2）
；（3）
．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
检测目标
计算：
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题