(共22张PPT)
1.1
空间向量及其运算
第一章
空间向量与立体几何
1.1.1
空间向量及其线性运算
学习目标：
1.
了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；
2.
会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3.
了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.
教学重点：
空间向量的线性运算和运算律.
教学难点：
共线向量定理及共面向量定理.
探究一
空间向量的概念及表示
空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模
.
空间向量用字母
a，b，c，…表示.
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.
如图1.1-1，向量a
的起点是A，终点是B
，则向量a
也可以记作，其模记为或
.
图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O
的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，，，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.
长度为0
的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A
与终点B
重合时，.
模为1
的向量叫做单位向量.
与向量a
长度相等而方向相反的向量，叫做a
的相反向量，记为-a.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
方向相同且模相等的向量叫做相等向量
.
因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合.
因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
如图1.1-3，已知空间向量a，b
，以任意点O
为起点，作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面α
内.
问题1
平面向量与空间向量有什么区别与联系？
（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.
（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.
探究二
空间向量的线性运算
问题2如图1.1-4
和图
1.1-5，计算.
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，
；
当时，.
问题3
由此是否能得出空间向量线性运算的运算律？
空间向量线性运算的运算律：
（1）交换律：
；
（2）结合律：
；
（3）分配律：
，
.
问题4
如图1.1-6，在平行六面体中，分别标出
，表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
在平行四边形ABCD
中，
；在平行四边形中，
；在平行四边形中，
；在平行四边形中，
.故.一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O
为起点，a，b，c
为邻边作平行六面体，则a，b，c
的和等于以O
为起点的平行六面体对角线所表示的向量.利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
探究三
共线向量及共面向量
问题5
对任意两个空间向量a
与b，如果
，a与b有什么位置关系？反过来，a
与b
有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a，b
，的充要条件是存在实数λ
，使.（共线向量定理）
如图1.1-7，O
是直线l
上一点，在直线l上取非零向量a
，则对于直线l
上任意一点P
，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ
，使得.
与向量
a
平行的非零向量称为直线
l
的方向向量.
这样，直线
l
上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图1.1-8，如果表示向量a
的有向线段所在的直线OA
与直线l
平行或重合，那么称向量a
平行于直线l
.
如果直线OA
平行于平面α
或在平面α
内，那么称向量a
平行于平面α
.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
问题6
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的
.
那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
带着问题6来进行探究.
问题7
对平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p
可以写成，其中
(x，y)
是唯一确定的有序实数对
.
对两个不共线的空间向量a，b，如果，那么向量p
与向量a，b
有什么位置关系？反过来，向量p
与向量a，b
有什么位置关系时，？
可以发现，如果两个向量a，b
不共线，那么向量p
与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.（共面向量定理）
例1
如图1.1-9，已知平行四边形ABCD
，过平面AC
外一点O
作射线OA，OB，OC，OD
，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
.
求证：E，F，G，H
四点共面.
1.下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量.
其中正确命题的个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
练一练
A
解析：a与b共线，a，b
所在直线也可能重合，故①错误；根据向量的意义知，空间任意两向量
a，b
都共面，故②错误；三个向量
a，b，c
中任意两个一定共线，但它们三个却不一定共面，故③错误；因为空间任意两向量平移之后均可共面，所以空间任意两向量均共面，故④错误.综上可知四个命题中正确的个数为
0，故选A.
练一练
A
练一练
A
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
空间向量的概念；
空间向量的线性运算；
空间共线向量与共面向量.(共14张PPT)
1.1
空间向量及其运算
第一章
空间向量与立体几何
1.1.2
空间向量的数量积运算
学习目标：
1.
了解空间向量的夹角、模的概念及其表示；
2.
掌握空间向量的数量积及其运算律；
3.
能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等问题.
教学重点：
数量积的计算及其应用.
教学难点：
将立体几何问题转化为向量的计算问题.
如下图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作.
如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.
即.
零向量与任意向量的数量积为
0.
由向量的数量积定义，可以得到：
也记作.
如图（1），在空间，向量a
向向量b
投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α
内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b
共线的向量c
，，向量c
称为向量a
在向量b
上的投影向量.类似地，可以将向量a
向直线l
投影（如图（2））.
如图（3），向量a
向平面β
投影，就是分别由向量a
的起点A
和终点B
作平面β
的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量a
在平面β
上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a
所在直线与平面β
所成的角.
空间向量的数量积的运算律：
；
（交换律）；
（分配律）.
练一练
B
练一练
B
练一练
D
练一练
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
空间向量数量积的概念；
空间向量数量积的运算律.
