(共16张PPT)
1.4
空间向量的应用
第一章
空间向量与立体几何
1.4.1
用空间向量研究直线、平面的位置关系
（第二课时）
学习目标：
1.
能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系；
2.
能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.
教学重点：
用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.
教学难点：
建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
复习
直线的方向向量和平面的法向量.
问题
由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？
如图，设分别是直线的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.
所以
，使得.
类似地，如图，设u
是直线l
的方向向量，n
是平面α
的法向量，，则
.
如图，设分别是平面的法向量，则
，使得.
练一练
D
练一练
B
练一练
D
练一练
平行
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
R,使
A
2
‖a台⊥n台.n=0
a
aBm1‖m2分3∈R,使得
β
nI
云(共15张PPT)
1.4
空间向量的应用
第一章
空间向量与立体几何
1.4.1
用空间向量研究直线、平面的位置关系
（第三课时）
学习目标：
1.
能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；
2.
能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.
教学重点：
用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.
教学难点：
建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
思考
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.
1.
用向量刻画线线垂直
如图，设直线的方向向量分别为，则
2.
用向量刻画线面垂直
如图，设直线
l
的方向向量为
u，平面
α
的法向量为
n，则
，使得.
3.
用向量刻画面面垂直
如图，设平面的法向量分别为，则
.
练一练
A
练一练
C
练一练
3
练一练
①②③
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(共17张PPT)
1.4
空间向量的应用
第一章
空间向量与立体几何
1.4.1
用空间向量研究直线、平面的位置关系
（第一课时）
学习目标：
1.
能用向量语言描述点、直线和平面；
2.
理解直线的方向向量和平面的法向量.
教学重点：
理解直线的方向向量和平面的法向量.
教学难点：
建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
问题1
如何用向量表示空间中的一个点？
如图，在空间中，取一定点O
作为基点，那么空间中任意一点P
就可以用向量来表示.我们把向量称为点P
的位置向量.
问题2
空间中给定一个点
A
和一个方向就能唯一确定一条直线
l
，如何用向量表示直线
l
？
用向量表示直线
l
，就是要利用点
A
和直线
l
的方向向量表示直线上的任意一点.
如图，a
是直线l
的方向向量，在直线l
上取，设P
是直线l
上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P
在直线l
上的充要条件是存在实数t
，使得，即.
如图，取定空间中的任意一点O
，可以得到点P
在直线l
上的充要条件是存在实数t
，使，①
将代入①式，得.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
证明上述结论：设l
是空间中的任意一条直线，点M
为其上一点，点P
为其上任意一点，b
为其方向向量，
，
，
∴直线上任意一点P
能用直线上一点M
及直线的方向向量b
表示，且一个实数t
对应直线上唯一一个点P
，
∴空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
对直线的方向向量的理解：
（1）在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：
①不能为零向量；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.
（2）一条直线的方向向量有无数个.
（3）直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定，也就是说，给定空间直线上一点
A
和直线的方向向量
a
，就可以确定唯一一条过点
A
的直线.
问题3
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
平面α
可以由α
内两条相交直线确定.
如下图，设两条直线相交于点O
，它们的方向向量分别为a
和b
，P
为平面α
内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对
(x，y)，使得.
这样，点O
与向量a，b
不仅可以确定平面α
，还可以具体表示出α
内的任意一点.
如下图，取定空间任意一点O
，可以得到，空间一点P
位于平面ABC
内的充要条件是存在实数x，y，使.
上式称为空间平面
ABC
的向量表示式.
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
给定空间一点
A
和一条直线
l
，则过点
A
且垂直于直线
l
的平面是唯一确定的.
由此可以利用点
A
和直线
l
的方向向量来确定平面.
如下图，直线.
取直线l的方向向量a，我们称向量a
为平面α
的法向量.
给定一个点A
和一个向量a，那么过点A，且以向量a
为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
练一练
A
练一练
C
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
1.
直线的方向向量及其求法；
2.
平面的法向量及其求法.(共33张PPT)
1.4
空间向量的应用
第一章
空间向量与立体几何
1.4.2
用空间向量研究距离、夹角问题
学习目标：
1.
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题；
2.
能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
教学重点：
理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤.
教学难点：
辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角.
复习
上节课我们学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系，包含哪几部分？
（1）空间中点、直线和平面的向量表示；
（2）空间中直线、平面的平行；
（3）空间中直线、平面的垂直.
探究一
用空间向量解决距离问题
问题1
立体几何中的距离问题包括哪些？
包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离向题等.
1.
点到直线的距离
问题2
已知直线
l
的单位方向向量为
u，A
是直线
l
上的定点，P是直线
l
外一点.如何利用这些条件求点
P
到直线
l
的距离？
如图，向量在直线l
上的投影向量为，则
是直角三角形.
因为A，P都是定点，所以
与u
的夹角都是确定的.
于是可求.
再利
用勾股定理，可以求出点P
到直线l
的距离PQ.
设，则向量在直线l
上的投影向量.
在中，由勾股定理，得
.
问题3
类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
在其中一条直线上取点
P，将求两条平行直线之间的距离转化为求点
P
到另一条直线的距离.
2.
点到平面的距离
如图，已知平面α
的法向量为n，A
是平面α
内的定点，P
是平面α
外一点.
过点P
作平面α
的垂线l
，交平面α
于点Q
，则n
是直线l
的方向向量，且点P
到平面α
的距离就是在直线l
上的投影向量的长度.
因此
.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
探究二
用空间向量解决夹角问题
1.
异面直线所成的角及直线与平面所成的角
例2
如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N
分别为
BC，AD
的中点，求直线
AM
和
CN
夹角的余弦值.
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.
也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则
类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
如图，直线AB
与平面α
相交于点B，设直线AB
与平面α
所成的角为，直线AB
的方向向量为u，平面α
的法向量为n，则
2.
两平面的夹角
如图，平面
α
与平面
β
相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于
90°的二面角称为平面
α
与平面
β
的夹角.
类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β
的法向量分别是和
，则平面α
与平面β
的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α
与平面β
的夹角为，则
探究三
用空间向量解决实际问题及综合应用
例4
下图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.
已知礼物的质量为1
kg，每根绳子的拉力大小相同.
求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度
g
取
9.8
m/s?，精确到0.01
N）.
探究四
解决立体几何问题的方法
解决立体几何中的问题，可用三种方法：
（1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；
（2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；
（3）坐标法：利用数及其运算来解决问题.
练一练
D
练一练
C
练一练
练一练
C
练一练
练一练
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.
