1.2.1 直角三角形（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.1
直角三角形
第1课时
直角三角形1
【知识清单】
一、直角三角形的性质
1、定理：直角三角形两个锐角互余；
2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
二、直角三角形的判定
1、定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；
2、定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
三、互逆命题、互逆定理
1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
【经典例题】
例题1、若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是(　　)
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
不能确定
【考点】三角形内角和定理，直角三角形的判定．
【分析】根据已知列出相关的等式，在由三角形的内角和定理推出这个三角形有一个角是直角．
【解答】设此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3(其中∠3最大)，
根据题意得：∠1=∠3-∠2，
∴∠1+∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，
∴2∠3=180°，
∴∠3=90°．
故选B．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定定理，解答的关键是沟通三个内角的关系．
例题2、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取AE=AC，BD=BC．
求∠DCE的度数．
【考点】?等腰三角形的性质、直角三角形性质.
【分析】因为在△ABC中，∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°，根据等腰三角形性质和三角形的性质求出∠3=∠DCE+∠2，∠3=∠A+∠1，∠4=∠DCE+∠1，∠4=∠B+∠2，求出即可．
【解答】∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵AC=AE，BD=BC，
∴∠3=∠DCE+∠2，∠3=∠A+∠1，
∠4=∠DCE+∠1，∠4=∠B+∠2，
∴∠DCE+∠2=∠A+∠1，∠DCE+∠1=∠B+∠2，
∴2∠DCE+∠1+∠2=∠A+∠B+∠1+∠2，
∴2∠DCE=∠A+∠B，
∴∠DCE
==45°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，直角三角形中两个锐角互余，关键是求出∠DCE与(∠A+∠B)的等量关系．
【夯实基础】
1、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能不构成直角三角形的是(
)
A．2、、
B．、、
C．1、、
D．5、12、13
2、下列定理中，没有逆定理的是(
)
A、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
B、直角三角形中，两锐角互余
C、全等三角形的对应角相等
C、两直线平行内错角
3、若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(c-b)·(c2+b2-a2)=0，则△ABC是(
)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=(　　)
A．24°
B．16°
C．14°
D．4°
5、如果一个三角形的外角与它相邻的内角相等，则这个三角形为
.
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿DE折叠，使点B恰好与点A重合，若AC=4cm，BC=8cm，则△ACD的面积
.
7、如图，∠1=∠C，AD⊥BC，垂足为D，有下列结论：
(1)图中有三个直角三角形；(2)∠B+∠C=90°；
(3)∠B=∠2；
(4)AD2=BD·CD；
(5)AB·AC=AD·BC.
其中正确的是
.(填正确的序号)
8、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．(1)写出逆命题并写成“如果…，那么….的形式”；(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再
进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
9、如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯截面图，已知BC=6米，AB=9米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．
(1)若要在楼梯上(包括平台DE)铺满地毯，
求地毯的面积；
(2)沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米
100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每
平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯
共需要花费多少元钱？(结果精确到1元)
【提优特训】
10、如果一个三角形的三条高的交点是这个三角形的其中一个顶点，那么这个三角形是(　
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
11、如图，点P是等边三角形△ABC内部一点，AP=2，BP=，CP=4，则△ABC的面
积为(
)
A．81
B．
C．27
D．
12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，∠BAC=60°，点P是BC边上的动点(不与B、C重合)，则AP的长不可能是(
)
A.
5.7
B.
6.5
C.
9.8
D.
10
13、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是腰BC上的中线，过点C作AD的垂线，垂足为H，延长CH到E，使CE=AD，交AB于F，连接EB、FD，有如下结论：①∠EBC=90°；
②∠1=∠2；③EF=DF；④FH=CH；⑤四边形EBDH的面积等于三角形AHC的面积.其中正确的结论个数为(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
14、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
D、E是斜边BC上的动点(不与B、C重合)，在运动过程中始终保持∠DAE=45°，线段BD=a，DE=b，EC=c，则BD、DE、EC的等量关系为
.
15、如图，△ABC，∠ACB=90°，E是AC的点连接DE、BE，若CE=CB，DE=AB．
则∠DAC的度数为
.
16、下列命题：(1)等腰三角形两底角相等；(2)如图a=b，则a2=b2；(3)直角三角形的两个锐角互余；(4)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；(5)对顶角相等.其中逆命题是真命题的是
.(填序号)
17、如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，交AD于点F，交AC于点E，求证：AE=AF.
18、阅读下列材料，并解决问题：
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，两条直角边AB=a，AC=b，斜边BC=c，
斜边上的高AD=h，
下列结论一定成立的是(
)
A.
ab=h2
B.
ab=ch
C.
a+b=h+c
D.
ah=cb
解答：∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=.
又∵AD是斜边BC上的高，
∴△ABC的面积=.
∴，
∴.
故选B.
根据上面的结论解决下列问题：
(1)已知一直角三角形的两条直角边的长分别为9，40，斜边上的高为，求斜边的长；
(2)已知一等腰直角三角形的斜边为c，直角边为a，斜边上的高为h，若h=7，求直角边a的
长度.
【中考链接】
19、(2020?重庆B)如图，在△ABC中，AC，ABC45，BAC15，将ACB沿直线AC翻折至ABC所在的平面内，得ACD．过点A作AE，使DAEDAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为(
)
A．
B．3
C．?
D．4
20、(2020?广西玉林)如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛北偏东35方向，B岛在A岛北偏东80方向，C岛在B岛北偏西55方向，则A、B、C三岛组成一个(
)
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
?D．等边三角形
参考答案
1、B
2、C
3、D
4、C
5、直角三角形
6、6cm2
7、(1)(2)(3)(4)(5)
10、B
11、B
12、D
13、C
14、a2+b2=c2
15、45°
16、(1)
(3)(4)
19、C
20、C
8、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．(1)写出逆命题并写成“如果…，那么….的形式”；(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再
进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
(1)逆命题：在一个三角形中，如果两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
(2)真命题．
如图已知△ABC中，
CE、BD分别是AB、AC上的高，若BD=CE，
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AD，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∵BD=CE，
∴Rt△ADB≌Rt△AEC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
9、如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯截面图，已知BC=6米，AB=9米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．
(1)若要在楼梯上(包括平台DE)铺满地毯，
求地毯的面积；
(2)沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米
100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每
平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯
共需要花费多少元钱？(结果精确到1元)
解：(1)S=3(AB+BC)=3×(6+9)=45m2；
(2)设AN=x，则BM=
9-2-x=7-x，EN=BF=a，则AE=2a，
在Rt△AEN中，AE2-EN2=AN2，即(2a)2-a2=x2，
解得a=，
在Rt△DCF中，∠CDF=45°，
∴∠DCF=45°，
∴BM=DF=CF，
∵BC=BF+CF=6，
∴+7-x=6，
解得x≈2.366，
∴AN=2.366m，BM=4.634m，CF=4.634m，EN=1.366m，
所需费用为：100×3×(AN+EN)+120×3×(ED+DF+CF)
=100×3×(2.366+1.366)+120×3×(2+4.634+4.634)
=5176.08≈5177(元)．
答：(1)面积为45m2；(2)共需要约5177元．
17、如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，交AD于点F，交AC于点E，求证：AE=AF.
证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠AEF=90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
∴∠2+∠BFD=90°，
∴∠1+∠AEF=∠2+∠BFD，
∴∠AEF=∠BFD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠AFE=∠AEF
，
∴AE=AF.
18、阅读下列材料，并解决问题：
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，两条直角边AB=a，AC=b，斜边BC=c，
斜边上的高AD=h，
下列结论一定成立的是(
)
A.
ab=h2
B.
ab=ch
C.
a+b=h+c
D.
ah=cb
解答：∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=.
又∵AD是斜边BC上的高，
∴△ABC的面积=.
∴，
∴.
故选B.
根据上面的结论解决下列问题：
(1)已知一直角三角形的两条直角边的长分别为9，40，斜边上的高为，求斜边的长；
(2)已知一等腰直角三角形的斜边为c，直角边为a，斜边上的高为h，若h=7，求直角边a的
长度.
解：(1)设两条直角边分别为a、b，且a=9，b=40，斜边上的为h，h=，斜边为c，
据上面的结论可得，
即
解得，c=41.
所以斜边的长为41.
(2)∵三角形是等腰直角三角形，h=7，
∴c=2h=14.
∴据上面的结论可得a2=7×14，
∴，
∴直角边a的长度.
第20题图
第9题图
第19题图
第15题图
第4题图
第5题图
第7题图
第12题图
第11题图
第18题图
第13题图
第14题图
例题2图
第17题图
第18题图
第17题图
第9题图
第8题图
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精品试卷·第
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