2020-2021学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）（Word版含解析）

2020-2021学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
在下列函数关系式中，y是x的二次函数的是．
A.
B.
xy
C.
x
y
D.
y
x
已知点在x轴上，则a等于
A.
B.
1
C.
0
D.
已知中，，，，则AB等于
A.
6
B.
C.
10
D.
12
下列关于抛物线的说法正确的是
A.
抛物线开口向上
B.
顶点坐标为
C.
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
D.
抛物线与x轴有两个交点
已知是单位向量，且，，那么下列说法错误的是
A.
B.
C.
D.
如图，，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
若，则________．
请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式______．
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图所示，则下列结论中：；；；；，则其中正确的结论有______
填序号．
二次函数的顶点坐标为______．
若点在二次函数的图象上，则n的值为___。
化简：______．
如图，已知，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且如果，，那么AE的长为______．
在中，，，D是AB边的中点，则________cm．
小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角为，测得点C的俯角为如图所示，量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为______米．
如图，是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且，若的边长为6，，则AD的长为______．
如图，是我国汉代数学家赵爽在注解周脾算经时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的25倍，那么______．
如图，在?ABCD中，点E，F分别在边AD、BC上，，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形，交BC于点G，则的周长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
计算：
如图，已知：中，点D、E分别在AB、AC上，，，，．
求的值；
设，，求用含、的式子表示．
已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点A的直线交x轴于点B．
求反比例函数解析式；
求的面积．
在中，，点D在BC边上．
如图1，若于点E，求证：．
如图2，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC和AD于点F，G，P，若，，，求线段AD的长度．
如图3，若于点E，，，则的值为________请直接写出结果
已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，，．
求证：∽；
如果，求证：．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
求抛物线的表达式；
求证：；
若点P是抛物线上的一点，且，求直线CP的表达式．
如图，点O在线段AB上，，，点C是射线OP上的一个动点．
如图，当，，求a的值；
如图，当时，求OC的长用含a的代数式表示；
在第题的条件下，过点A作，并使，求AQ：OQ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的概念，属于基础题．
根据二次函数的概念逐项判断即可．
【解答】
解：y是x的二次函数，对照选项可知只有C符合二次函数的一般形式且符合题意，
故选C．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
根据x轴上的点的纵坐标为0列式计算即可得解．
【解答】
解：点在x轴上，且x轴上点的纵坐标为0，
．
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】
解：，
，
在中，，
，
故选：C．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
【解答】
解：，
抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
、B、C都不正确，
，
抛物线与x轴有两个交点，
D正确，
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：，，
，，，
、B、D正确，
故选：C．
根据平面向量的性质即可一一判断．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边的比不要搞错．根据三角形的对应边成比例，找出对应边比则可．注意：对应角所对的边是对应边．
【解答】
解：，
，，，
∽，
：：OC，
其它三项均不正确．
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是比例的性质，属于基础题利用比例的性质即可解决．
【解答】
解：；
设则
．
故答案为??．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正比例函数的性质：正比例函数，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
直接根据正比例函数的性质求解．
【解答】
解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
可取1，
此时正比例函数解析式为．
故答案为．
9.【答案】
【解析】解：二次函数的图象与x轴有两个交点，
，
即，
结论错误；
函数的对称轴是，即，则，，故正确；
当时，函数对应的点在x轴下方，则，则正确；
当时，函数对应的点在x轴上方，则，则错误；
由函数的对称性可知，函数与y轴的交点在正半轴，即，
，，，
，则正确，
故答案为：．
根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断即可．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右．简称：左同右异常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
顶点坐标为，
故答案为：．
根据二次函数的顶点坐标公式进行计算即可．
此题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数一般式的顶点坐标公式
11.【答案】12
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所经过的点，均能满足该函数的解析式．将代入二次函数的关系式，然后解关于n的方程即可．
【解答】
解：在二次函数的图象上，
满足二次函数，
，即，
故答案是12．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案是：．
平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．
考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．
13.【答案】
【解析】解：
∽
设，，
，
故答案为：
根据相似三角形的性质可得，即可求AE的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．此题直接根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出CD．
【解答】
解：在中，，，D为AB的中点，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于H，根据正切的概念分别求出AB、AH，计算即可．
【解答】
解：作于H，
则米，
在中，米，
在中，米，
则米，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等边三角形的性质，三角形相似的判定及性质，解题的关键是找准对应的线段列比例式．
先求出∽，再求出∽，根据比例关系求出AD的长．
【解答】
解：是等边三角形，
，
，，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：设小正方形EFGH面积是，则大正方形ABCD的面积是，
小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是5a，
图中的四个直角三角形是全等的，
，
设，
在中，，
即，
，
，
解得：，舍去，
，，
，
故答案为：．
小正方形EFGH面积是，则大正方形ABCD的面积是，则小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是5a，设，利用勾股定理求出x，最后解答即可．
此题考查勾股定理问题，关键是根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边．
18.【答案】6
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
将四边形EFCD沿EF翻折，得到，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长，
故答案为：6．
根据平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论．
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20.【答案】解：，
∽，
，即．
．
【解析】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．
根据已知，，进而得出∽，由该相似三角形的性质解答；
由三角形法则解答即可．
21.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
反比例函数解析式：，
点A在直线上，
一次函数解析式，
直线交x轴于点B，
点，
．
【解析】将点A坐标代入解析式可求解；
将点A坐标代入解析式可求一次函数解析式，可求点B坐标，即可求的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是本题的关键．
22.【答案】解：，
．
又，，
，
；
过点D作交AC于M，交AB于N，过点B作交DM于H．
则，，
，
，
，
，
，
；
?
．
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
【解答】
解：见答案；
见答案；
?
提示：，．
23.【答案】证明：，
，
，
，
又，
∽，
，
，
又，
∽；
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
．
【解析】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
由，推出∽，可得，再证明，即可解决问题；
欲证明，利用相似三角形的性质证明即可．
24.【答案】解：设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
如图1所示：连接AC．
由题意可知；，，，
．
又，
∽．
．
如图2所示：
，，
．
∽，
．
．
．
设，则．
在中，由勾股定理得：，即解得：．
点D的坐标为．
设直线CP的解析式为．
将，代入得：，解得：
直线CP的解析式为．
如图3所示：
，，
．
∽，
．
．
．
的解析式为．
综上所述，直线CP的解析式为或．
【解析】设抛物线的解析式为为，将点C的坐标代可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
先证明，从而可证明∽，由相似三角形的性质可证得；
先证明，如图2所示可得到，然后由勾股定理可求得OD的长，从而得到点D的坐标，由点C和点D的坐标可求得PC的解析式，如图3所示当时，，从而可得到PC的解析式．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，
证得，然后依据勾股定理求得OD的长是解题的关键．
25.【答案】解：如图中，作于H．
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
整理得：，
解得或舍弃．
经检验是分式方程的解．
．
如图中，设作于H，则，
在中，，
，
整理得：，
解得或舍弃，
；
如图中，延长QC交CB的延长线于K．
，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
．
【解析】如图中，作于证明∽，可得，由此构建方程即可解决问题．
如图中，设作于H，则，在中，根据，构建方程即可解决问题．
如图中，延长QC交CB的延长线于利用相似三角形的性质证明，即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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