2011学年高二第一学期第三次质量检测
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．a3＞8是a＞2的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．已知两直线与平行，则等于 ( )
A． B． C． D．
3．圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠＋kπ，k∈Z）的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的
4．下列说法中错误的个数为 （ ）
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件。
A．2 B．3 C．4 D．5
5．过直线外两点作与直线平行的平面，可以作 （ ）
A．1个 B．0个、1个或无数个 C．0个或无数个 D． 1个或无数个
6．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4，4，7，若此三棱锥的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是 （ ）
A．144π B．56π C． 36π D． 81π
7．直线与曲线的公共点的个数是 （ ）A． 3 B．1 C．4 D． 2
8．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为 （ ）
A．1∶ B．1∶ C．1∶ D． 1∶9
9、如左上图是由单位立方体构成的积木垛的三视图，据此三视图可知，构成这堆积木垛的单位正方体共有 （ ）
A．6块 B．7块 C．8块 D．9块
10．已知P是椭圆上的点，Q、R分别是圆和圆 上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是 （ ）
A． B． C．10 D．9
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）
11．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么A是B的___ _______条件．
12．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，则该正六棱柱的外接球的表面积是
13．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________
14．若方程表示的图形是椭圆，则的取值范围为
15．如右图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面
从点A到点M的最短路程是 cm．
16．异面直线a和b成60°角，过空间一定点A作直线c与a、b都成60°角，这样的直线c共有 条。
17．如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个
作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点，F是椭圆的一个焦点，则______.
三、解答题（本大题共4小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
18．（本题满分14分）已知； 是 的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．(本题满分14分)如图：已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，求证：(1)平面 (2)平面PBC⊥平面PCD
20．(本题满分14分)如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD
（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（III）求二面角P—CD—B的正切值．
21．（本题满分15分）设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2，0)，L1（左准线）：与x轴交于点N（－3，0），过点N且倾斜角为θ的直线L交椭圆于A、B两点。
（1）若θ=300求直线L和椭圆的方程；
（2）若点F1(－2，0)在以线段AB为直径的圆上，求θ。
22. （本题满分15分）过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称。（1）求直线l的方程 （2）求椭圆C的方程。
正
俯
侧
E
D
C
B
A
P2011学年高二第一学期第三次质量检测数学试卷（理科）答案
选择题 （5×10=50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C B D A C B D
二、填空题 （4×7=28分）
11 充分 12. 5 πa2 13 =1 14
15 16 3 17 35
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．解一：由得，
由，得，
∴ 即，或，而 即，或；
由 是 的充分不必要条件，知 ，
设A=，B=，
则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，
解得，此即 为“ 是 的充分不必要条件”时实数的取值范围.
解二：利用逆否命题解题
19．证明：（1）连接AC交BD与O,连接EO, ∵E、O分别为PA、AC的中点
∴EO∥PC ∵PC平面EBD,EO平面EBD ∴PC∥平面EBD
（2）∵PD平面ABCD, BC平面ABCD，∴PDBC，
∵ABCD为正方形 ∴ BCCD，∵PD∩CD=D, BC平面PCD
又∵ BC平面PBC，∴平面PBC平面PCD．
20．（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB 又∵BC侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC
（II）解：取AB中点E，连结PE、CE
又∵△PAB是等边三角形 ∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥CD
又∵PE⊥面ABCD ∴PE⊥CD
∴CD⊥平面PEF ∴CD⊥PF
∴∠PFE为二面角P—CD—B的平面角 ∴tan∠PFE=
21．解：（1）由题意知，c＝2及 得 a＝6
∴ ∴椭圆方程为
直线L的方程为：y－0＝tan300（x＋3）即y＝（x＋3）
（2）由方程组得
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1＋x2＝
∵点F（－2，0）在以线段AB为直径的圆上
∴
∴
22.解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，
(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,
又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,
于是－=－1,kAB=－1,
设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.
解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,
则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.
直线l：y=x过AB的中点(),则,
解得k=0，或k=－1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.2011学年高二第一学期第三次质量检测
数学答卷（理科）
选择题 （5×10=50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题 （4×7=28分）
11． 12． 13． 14．______________
15．_____________ 16．______________ 17．_______________
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）已知； 是 的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．(本题满分14分)如图：已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，求证：(1)平面 (2)平面PBC⊥平面PCD
20．(本题满分14分)如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD
（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（III）求二面角P—CD—B的正切值．
21．（本题满分15分）设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2，0)，L1（左准线）：与x轴交于点N（－3，0），过点N且倾斜角为θ的直线L交椭圆于A、B两点。
（1）若θ=300求直线L和椭圆的方程；
（2）若点F1(－2，0)在以线段AB为直径的圆上，求θ。
22. （本题满分15分）过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称。（1）求直线l的方程 （2）求椭圆C的方程。
E
D
C
B
A
P
