安徽省皖西南联盟2021届高三上学期期末考试理科数学试题 Word版含答案解析

2020年高三期末考试
数学试题（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容:高考全部内容．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成false卦，则false（ ）
A．120 B．122 C．124 D．128
4．false的展开式中的第三项为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知向量false，false满足false，false，且false，则false（ ）
A．false B．2 C．false D．false
6．若双曲线false的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知一个扇形的圆心角为false，弧长为false，半径为2．若false，则false（ ）
A．false B．7 C．false D．false
8．在正方体false中，E，F分别是棱false，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，false四点共面；②平面false平面false；③false平面false；④false与平面ABCD所成角为false．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设x，y满足约束条件false，且false的最大值为1，则false的最小值为（ ）
A．64 B．81 C．100 D．121
10．已知点false在抛物线false上，若数列false是首项为false，公比为2的等比数列，点F是C的焦点，则false（ ）
A．521 B．1033 C．524 D．1035
11．设函数false，false，false的零点分别为a，b，c，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知奇函数false的定义域为false，且对任意false，false恒成立，则不等式组false的解集是（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．假设某地5月每天出现下雨天气的概率为false，且5月1日至5月6日这6天出现下雨天气的天数X的数学期望为1.2，则false__________．
14．若公差为2的等差数列false的前两项和为0，则该数列的前n项和false__________．
15．已知false是周期为4的奇函数，当false时，false，当false时，false．若直线false与false的图象在false内的交点个数为m，直线false与false的图象在false内的交点个数为n，且false，则a的取值范围是__________．
16．在正方体false中，false，E，F分别为棱AB，false的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为__________，四面体BCEF外接球的表面积为__________．（本题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题；共60分．
17．（12分）
a，b，c分别为false内角A，B，C的对边．已知false，且false．
（1）若false，求false的面积；
（2）若false，证明：false为直角三角形．
18．（12分）
某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n（单位：万元）的关系式为false，投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单位：万元）的散点图如图所示．

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．
附：回归直线false的斜率和截距的最小二乘估计分别为false，false．
19．（12分）
如图，在false中，false，false，false，false，false，沿DE将点A折至false处，使得false，点M为false的中点．

（1）证明：false平面CMD；
（2）求二面角false的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆false的离心率为false，且焦距为8．
（1）求C的方程；
（2）设直线l的倾斜角为false，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求false面积的最大值．
21．（12分）
已知函数false．
（1）设曲线false在点false处的切线为l，求l的斜率的最小值；
（2）若false对false恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为false（false为参数，false），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为false．
（1）求C的极坐标方程；
（2）设P是曲线C上一动点，与极轴交于点A，求false的取值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数false．
（1）当false时，求不等式false的解集；
（2）若false的最小值为4，且false，证明：false．
2020年高三期末考试
数学试题参考答案（理科）
1．D false
2．D 因为false，false，
所以false．
3．A 依题意可得false是首项为2，公比为2的等比数列，
则false．
4．B false的展开式中的第三项false．
5．B 因为false，所以false，则false，
所以false，故false．
6．C C的标准方程为false，依题意可得false，
解得false，则false．
7．A 因为false，所以false，
又false，所以false．
8．B 如图，因为AF与false异面，所以A，E，F，false四点不共面，故①错误．
易证false平面false，因为false平面ACE，所以平面false平面false，故②正确．
因为平面false平面false，且false平面false，所以false平面false，故③正确．
因为false与平面ABCD所成角为false，且false，故④错误．
9．D 作出约束条件表示的可行域（图略），
因为false，false，所以当直线false经过点false时，false取得最大值，
则false，
所以false，
当且仅当false时，等号成立，故false的最小值为121．
10．B 易知F的坐标为false，则false．
依题意可知false，则false，
所以false．
11．A 设函数false，false，false，false，
则a是false与false图象交点的横坐标，
b是false与false图象交点的横坐标，
c是false与false图象交点的横坐标．
在同一坐标系中，作出false，false，false，false的图象，如图所示．
由图可知false．
12．C 设false，则false，则false在false上单调递增．
因为false是定义域为false的奇函数，所以false，则false．
不等式组false等价于false，
即false，则false，
解得false．
13．0.2 依题意可得false，则false，解得false．
14．false
因为false，所以false，
则false．
15．false
依题意可作出false在false上的图象，如图所示．
因为false，所以由图可知false，
解得false．
16．false；false
因为平面CEF与平面false的交线为false，所以截面为四边形false，
而四边形false为等腰梯形，且false，false，
故其面积为false．
设线段CE的中点为G，四面体BCEF外接球的球心为O，
则false平面BCE．设球O的半径为R，
则false．
因为false，false所以false，从而false，
故球O的表面积为false．
17．（1）解：因为false，所以false，
因为false，所以false，
又false，则false．
因为false，所以false，
故false的面积false．
（2）证明：因为false，
所以false，解得false（负根舍去）
所以false，
则C为直角，故false为直角三角形．
18．解：（1）false，false，
false，
则false，
故y关于x的线性回归方程为false．
（2）若A项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为false万元；
若B项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为false万元．
因为false，所以可预测B项目的收益更好．
19．（1）证明：由false，false，且false，
可得false平面false，因此false．
由false，false，得false，
因此false，false，由勾股定理可得false．
又因为点M为false的中点，所以false．
而false，故false平面CMD．
（2）解：因为false，false，
所以false平面false，又false，所以false平面false．
如图，以C为原点建立空间直角坐标系false，
则false，false，false，
易知false是平面CMB的一个法向量．
设平面CME的法向量为false，
则false，即false，
令false，得false．
false，
易知二面角false为锐角，故二面角false的余弦值为false．

20．解：（1）依题意可知false，解得false，
故C的方程为false．
（2）依题意可设直线l的方程为false，
联立false，整理得false，
则false，解得false．
设false，false，
则false，false，
false，
原点到直线false的距离false，
则false的面积false，
当且仅当false，即false时，
false的面积有最大值，且最大值为false．
21．解：（1）false，
则false，
设false，则false，
当false时，false；当false时，false．
所以false，即l的斜率的最小值为false．
（2）由题知，false在false上恒成立，
令false，则false，
因为false，所以false．
设false，易知false在false上单调递增．
因为false，false，
所以存在false，使得false，即false．
当false时，false，false在false上单调递减；
当false时，false，false在false上单调递增．
所以false，从而false，
故a的取值范围为false．
22．解：（1）由false，得false，
即false，
因为曲线C经过坐标原点O，所以false，
又false，所以false．
故C的极坐标方程为false，
即false（或false）．
（2）因为l的极坐标方程为false，
即false，
所以l的直角坐标方程为false．
令false，得false，则A的直角坐标为false，
由（1）知，曲线C表示圆心为false，半径为4的圆且false，
故false的取值范围为false．
23．（1）解：当false时，由false，得false．
当false时，false，则false；
当false时，false，则false；
当false时，false，则false．
故不等式false的解集为false．
（2）证明：因为false，
且false，所以false的最小值为false．
因为函数false为增函数，且false，所以false．
从而false，因为false，false，
所以由柯西不等式得false，即false，
所以false（当且仅当false，false时等号成立）