安徽省皖西南联盟2021届高三上学期期末考试文科数学试题 Word版含答案解析

2020年高三期末考试
数学试题（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容:高考全部内容．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设集合false，false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．函数false的最小正周期与最小值分别为
A．false B．false C．false D．false
4．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形false中，向量false与false的夹角为

A．false B．false C．false D．false
5．若函数false的极大值点与极小值点分别为a，b，则
A．false B．false
C．false D．false
6．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者
A．32名 B．33名 C．34名 D．35名
7．若双曲线false的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知一个扇形的圆心角为false，弧长为false，半径为2．若false，则false（ ）
A．false B．7 C．false D．false
9．在正方体false中，E，F分别是棱false，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，false四点共面；②平面false平面false；③false平面false；④false与平面ABCD所成角为false．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．设x，y满足约束条件false，且false的最大值为1，则false的最小值为（ ）
A．64 B．81 C．100 D．121
11．设函数false，false，false的零点分别为a，b，c，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知点false是抛物线false上一动点，则false的最小值为
A．4 B．5 C．false D．6
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．若从集合false中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为__________．
14．在false中，若false，false，false，则false__________．
15．已知false是周期为4的奇函数，当false时，false，当false时，false．若直线false与false的图象在false内的交点个数为m，直线false与false的图象在false内的交点个数为n，且false，则a的取值范围是__________．
16．在正方体false中，false，E，F分别为棱AB，false的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为__________，四面体BCEF外接球的表面积为__________．（本题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题；共60分．
17．（12分）
已知数列false的前n项和false．
（1）证明：false是等比数列．
（2）求数列false的前n项和．
18．（12分）
某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n（单位：万元）的关系式为false，投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单位：万元）的散点图如图所示．

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．
附：回归直线false的斜率和截距的最小二乘估计分别为false，false．
19．（12分）
如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）false中，底面是边长为2的菱形，且false，false，点E，F分别为false，false的中点，点G在false上．
（1）证明：false平面ACE．
（2）求三棱锥B-ACE的体积．
20．（12分）
已知椭圆false的离心率为false，且焦距为8．
（1）求C的方程；
（2）设直线l的倾斜角为false，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求false面积的最大值．
21．（12分）
已知函数false．
（1）求曲线false在点false处的切线方程．
（2）证明：false对false恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为false（false为参数，false），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为false．
（1）求C的极坐标方程；
（2）设P是曲线C上一动点，与极轴交于点A，求false的取值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数false．
（1）当false时，求不等式false的解集；
（2）若false的最小值为4，且false，证明：false．
2020年高三期末考试
数学试题参考答案（理科）
1．D false
2．D 因为false，false，
所以false．
3．C false，则false，false．
4．B 因为正八边形的内角和为false，
所以false与false的夹角为false．
5．C false，当false，false；
当false或false时，false．
故false的极大值点与极小值点分别为false，false，
则false，false，所以false．
6．D 由题意可知，第二天需要完成的订单数为false，
因为false．所以至少需要志愿者35名．
7．C C的标准方程为false，依题意可得false，
解得false，则false．
8．A 因为false，所以false，
又false，所以false．
9．B 如图，因为AF与false异面，所以A，E，F，false四点不共面，故①错误．
易证false平面false，因为false平面ACE，所以平面false平面false，故②正确．
因为平面false平面false，且false平面false，所以false平面false，故③正确．
因为false与平面ABCD所成角为false，且false，故④错误．
10．D 作出约束条件表示的可行域（图略），
因为false，false，所以当直线false经过点false时，false取得最大值，
则false，
所以false，
当且仅当false时，等号成立，故false的最小值为121．
11．A 设函数false，false，false，false，
则a是false与false图象交点的横坐标，
b是false与false图象交点的横坐标，
c是false与false图象交点的横坐标．
在同一坐标系中，作出false，false，false，false的图象，如图所示．
由图可知false．
12．D 由false，得false．
则false的焦点为false．准线为false．
false几何意义是
点false到false与点false的距离之和，
根据抛物线的定义点false到false的距离等于点false到l的距离，
所以false的最小值为false．
13．false 题中的集合里共有7个元素，其中4个是奇数，故所求概率为false．
14．false
因为false，所以false
由正弦定理得false，则false．
15．false
依题意可作出false在false上的图象，如图所示．
因为false，所以由图可知false，
解得false．
16．false；false
因为平面CEF与平面false的交线为false，所以截面为四边形false，
而四边形false为等腰梯形，且false，false，
故其面积为false．
设线段CE的中点为G，四面体BCEF外接球的球心为O，
则false平面BCE．设球O的半径为R，
则false．
因为false，false所以false，从而false，
故球O的表面积为false．
17．（1）证明：当false时．，false，
又false，
所以false的通项公式为false．
因为false，所以false是首项为9，公比为3的等比数列．
（2）解：因为false，所以false，
所以数列false的前n项false．
18．解：（1）false，false，
false，
则false，
故y关于x的线性回归方程为false．
（2）若A项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为false万元；
若B项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为false万元．
因为false，所以可预测B项目的收益更好．
19．（1）证明：连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，
连接BF，OE，false，则false．
∵false平面ACE，false平面ACE，
∴false平面ACE．
∵false，false，
∴四边形false为平行四边形，
∴false．
又∵false平面ACE，false平面ACE，
∴false平面ACE．
∵false，∴平面false平面ACE，
∵false平面false，∴false平面ACE．
（2）解：在false中，false，false，
则AC边上的高为1，false，
∴false．
又点E到平面ABC的距离为DE，且false，
false，
∵false，∴false．
20．解：（1）依题意可知false，解得false，
故C的方程为false．
（2）依题意可设直线l的方程为false，
联立false，整理得false，
则false，解得false．
设false，false，
则false，false，
false，
原点到直线false的距离false，
则false的面积false，
当且仅当false，即false时，
false的面积有最大值，且最大值为false．
21．（1）解：false，则false，
故曲线false在点false处的切线方程为false．
（2）证明：当false时，false，
则false在false上单调递增；
当false时，false，则false在false上单调递减．
因为false，
所以false在false上的最小值为false．
设函数false．则false．
当false时，false，则false在false上单调递减；
当false时，false，则false在false上单调递增．
故false．
从而false，但由于false与false的取等条件不同，
所以false．
因为false，
所以false对false恒成立．
22．解：（1）由false，得false，
即false，
因为曲线C经过坐标原点O，所以false，
又false，所以false．
故C的极坐标方程为false，
即false（或false）．
（2）因为l的极坐标方程为false，
即false，
所以l的直角坐标方程为false．
令false，得false，则A的直角坐标为false，
由（1）知，曲线C表示圆心为false，半径为4的圆且false，
故false的取值范围为false．
23．（1）解：当false时，由false，得false．
当false时，false，则false；
当false时，false，则false；
当false时，false，则false．
故不等式false的解集为false．
（2）证明：因为false，
且false，所以false的最小值为false．
因为函数false为增函数，且false，所以false．
从而false，因为false，false，
所以由柯西不等式得false，即false，
所以false（当且仅当false，false时等号成立）