2020-2021学年 人教版 九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质 同步练习（Word版 含解析）

27.2　相似三角形
27.2.2　相似三角形的性质
基础知识精炼
模块一
基础知识精炼
模块一
【知识点1】相似三角形对应线段的比等于相似比
【知识点1】相似三角形对应线段的比等于相似比
1．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，AB＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（　　）
A．143 B．67 C．143或67 D．无法确定
3．已知△ABC∽△A'B'C'，顶点A、B、C分别与顶点A'、B'、C'对应，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的中线，如果BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，那么A'D'的长是　 　．
【知识点2】相似三角形周长的比等于相似比

角形相似
【知识点2】相似三角形周长的比等于相似比

角形相似
4．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为（　　）
A．1：1 B．3：2 C．6：2 D．9：4
5．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（　　）cm．
A．16 B．16或28 C．36 D．16或36
6．如图，函数y=-1x（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（　　）
A．12 B．6+38 C．6+210 D．6+211
7．已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边长分别为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为9，那么△DEF的周长是　 　．
【知识点3】相似三角形面积的比等于相似比的平方

角形相似
【知识点3】相似三角形面积的比等于相似比的平方

角形相似
8．两个相似三角形的面积比为1：16，则它们对应边的比是（　　）
A．1：16 B．1：8 C．1：4 D．4：1
9．已知△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A．925 B．35 C．53 D．259
10．已知△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′=34，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A．34 B．43 C．916 D．169
11．两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是　 　．
综合能力提升
模块二
综合能力提升
模块二
12．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）

A．C1C2=32 B．S1S2=32 C．OBCD=32 D．OAOD=32
13．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，如果△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，BC＝8cm，那么△ADE的周长等于（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm
14．如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，如果△DEM与△ABC相似（点D和A对应，点E和B对应），那么点M应是F、G、H、K四点中的（　　）
A．F B．G C．H D．K
15．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（　　）
A．150° B．147° C．135° D．120°
16．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②③④
17．已知△ABC∽△DEF，且S△ABCS△DEF=916，且△ABC与△DEF的周长和为175，则△ABC的周长为　 　．
18．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝　 　．
19．已知，如图，△ABC中，AC＝4、BC＝3、AB＝5．若△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15．求△A′B′C′的周长及∠C′的度数．
20．已知△ABC∽△DEF，DEAB=23，△ABC的周长是12cm，面积是30cm2．
（1）求△DEF的周长；
（2）求△DEF的面积．
21．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF=14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求FG的长．
22．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2=12BD?EC．
（1）求证：△EDF∽△EFC；
（2）如果S△EDFS△ADC=14，求证：AB＝BD．
参考答案与试题解析
1．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，AB＝4．
∴ABDE=12=4DE，
则DE的长是：8．
故选：D．
2．解：∵相似三角形的对应边之比为3：7，
∴它们的对应中线的比为3：7，
∵其中一个三角形的一条中线为2，而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，
∴另一个三角形对应的中线可能为143，也可能是67．
故选：C．
3．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，
∴BC：B′C′＝AD：A′D′，
∴2.4：A′D′＝3：2，
∴A'D'的长是1.6，
故答案为：1.6．
4．解：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为3：2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为3：2，
故选：B．
5．解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为24cm，
∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，
故选：D．
6．解：如图，过点D作DE⊥AO于E，
∵点D是BO的中点，
∴AD＝BD＝DO＝3，
∴BO＝6，
∵DE⊥AO，AB⊥AO，
∴AB∥DE，
∴DOBO=DEAB=EOAO=12，
∴AB＝2DE，AO＝2EO，
∵S△DEO=12DE×EO=12，
∴S△ABO=12AB×AO＝2，
∵AB2+AO2＝OB2＝36，
∴（AB+AO）2＝36+8，
∴AB+AO＝211，
∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+211，
故选：D．
7．解：设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：
x：y=8：5x-y=9，解得：x＝24，y＝15；
∴△ABC和△DEF的相似比为1：3，周长比也是1：3；
∵△ABC的周长＝5+7+8＝20，
∴△DEF的周长为60，
故答案为：60．
8．解：∵两个相似三角形的面积比为1：16，
∴它们的对应边的比＝1：4．
故选：C．
9．解：∵△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，
∴相似比为AB：DE＝3：5，
∴其面积之比为9：25．
故选：A．
10．解：∵△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′=34，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝（34）2=916，
故选：C．
11．解：∵两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的面积面积比为：1：4，
∵其中一个三角形的面积为4，
∴若小三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为16；
若大三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为1．
∴另一个三角形的面积为16或1．
故答案为：16或1．
12．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴C1C2=32，A正确；
∴S1S2=94，B错误；
∴OBOD=32，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
13．解：∵点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵AD：AB＝1：4
∴其周长比为1：4
∵BC＝8cm，三角形ABC为等边三角形
∴△ABC的周长为24cm
∴△ADE的周长为6cm．
故选：C．
14．解：根据题意，
△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6 DE＝2，
∴DE：AB＝DM：AC，
∴DM＝3，
∴M应是H，
故选：C．
15．解：∵△ABC∽△DCA，
∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DCA＝∠B＝33°，
∴∠DAC＝180°﹣117°﹣33°＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝147°，
故选：B．
16．解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PCD，则PA＝PC，PB＝PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；
③如图，若S1＝S2，
过点P作PH⊥BC于H，HP的延长线交AD于G，
则PG⊥AD．
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB，
436435581915∴S2+S4=12AD?PG+12BC?PH=12BC?（PH+PG）=12BC?GH=12BC?AB，
过点P作PM⊥AB于M，MP的延长线交CD于N，
同理S1+S3=12BC?AB，
∴S1+S3＝S2+S4，则S3＝S4，故③正确；
④若△PAB～△PDA，则∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三点共线，PA是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA＝2.4，故④正确．
故选：D．
17．解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABCS△DEF=916，
∴△ABC与△DEF的周长的比为3：4，
∵△ABC与△DEF的周长和为175，
∴△ABC的周长为175×33+4=75，
故答案为：75．
18．解：∵△OMN∽△BOC，
∴∠NMO＝∠BOC，
3488690205105∴∠AOC＝∠CMO，
∵∠BOC＝∠OMN，
又∵∠MCO＝∠OCA，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2＝CM?CA，
∴25＝CM?8，
∴CM=258．
故答案为：258．
19．解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，△ABC的周长为12，
∴∠C＝90°，
∵△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15，
∴相似比=515=13，∠C＝∠C'，
∴△ABC的周长为12×3＝36，∠C'的度数为90°．
20．解：（1）∵DEAB=23，
∴△DEF的周长=12×23=8（cm）；
（2）∵DEAB=23，
∴△DEF的面积=30×(23)2=1313（cm2）．
21．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴AEAB=12，
∵DF=14DC，
∴DFDE=12，
∴AEAB=DFDE，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴EDCG=DFCF，
又∵DF=14DC，正方形的边长为4，
∴DF＝1，ED＝2，
∴CF＝3，CG＝6，
∴GF=CF2+CG2=9+36=35．
22．证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，
∴BE＝ED=12DB；
∵EF2=12?BD?EC，
∴EF2＝ED?EC，即得 EFEC=EDEF，
又∵∠FED＝∠CEF，
∴△EDF∽△EFC．
（2）∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
又∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B，
∴∠ADB＝∠FDC，
∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC；
∵△EDF∽△EFC，
∴∠EFD＝∠C，
∴△EDF∽△ADC，
∴S△EDFS△ADC=（EDAD）2=14，
∴EDAD=12，即 ED=12AD；
又∵ED＝BE=12BD，
∴BD＝AD，
∴AB＝BD．