2020-2021学年人教版 九年级数学下册 27.2.3 相似三角形应用举例 同步练习（Word版 含解析）

27.2　相似三角形
27.2.3　相似三角形应用举例
基础知识精炼
模块一
基础知识精炼
模块一
【知识点1】利用相似三角形测量物体的高度
【知识点1】利用相似三角形测量物体的高度
1．某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为（　　）
A．39米 B．30米 C．24米 D．15米
2．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（　　）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
3．高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长24米，则该建筑物的高度为（　　）
A．10米 B．16米 C．26米 D．36米
4．如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为　 　m．
【知识点2】利用相似三角形测量平面内两点的距离

角形相似
【知识点2】利用相似三角形测量平面内两点的距离

角形相似
5．如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（　　）
A．60m B．50m C．40m D．30m
6．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（　　）步．
A．360 B．270 C．180 D．90
7．如图，A、B两地之间有一池塘，要测量A、B两地之间的距离．选择一点O，连接AO并延长到点C，使OC=12AO，连接BO并延长到点D，使OD=12BO．测得C、D间距离为30米，则A、B两地之间的距离为（　　）
A．30米 B．45米 C．60米 D．90米
8．如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝10m，EC＝5m，CD＝8m，则河的宽度AB长为　 　m．
【知识点3】相似三角形在实际生活中的其他应用

角形相似
【知识点3】相似三角形在实际生活中的其他应用

角形相似
9．如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔直径AB，若OC：AC＝1：3，量的CD＝10mm，则零件的厚度为（　　）
A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm
10．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（　　）
A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm
11．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（　　）
A．12尺 B．56尺5寸 C．57尺5寸 D．62尺5寸
12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（　　）
A．8cm B．10cm C．20cm D．60cm
13．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1.2m，长臂OB长19.2m．当长臂外端B升高8m时，短臂外端A下降
（　　）
A．1.1m B．1m C．0.5m D．0.4m
综合能力提升
模块二
综合能力提升
模块二
14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
459295565722515．有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12cm，BC边上的高为9cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为4cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为4cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（　　）
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
16．阳光通过窗口照到室内在地上留下ED＝2.7m宽的亮区（如图），已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，那么窗口底边离地面的高BC等于（　　）
A．1m B．2m C．4m D．6m
17．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（　　）
A．60mm B．16013mm C．20mm D．24013mm
18．如图，网高AB为0.8米，击球点到网的水平距离AC为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网水平距离OA为4米，则球拍击球的高度CD为　 　米．
19．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　 　cm．
20．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
21．如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度OE．
22．如图，小华和同伴春游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小桃树，他们想利用皮尺、测倾器和平面镜测量小桃树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且测得BC＝6米，CD＝24米，∠CDE＝135°．已知小华的身高AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度（结果保留根号）
23．△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）
参考答案与试题解析
1．解：根据题意，得到：△ABP∽△PDC．
即CDAB=PDBP，
故CD=PDBP×AB=522×1.5＝39米；
那么该大厦的高度是39米．
故选：A．
2．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m，
∴AC＝AB+BC＝10m，
∴310=1.5DC，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故选：D．
3．解：设建筑物的高是x米．则x24=46，
解得：x＝16．
故该建筑物的高为16米．
故选：B．
4．解：由图可知：
设旗杆的高度为x米，
竹竿高竹竿影长=旗杆高旗杆影长，
2.55=x5+20
解得x＝12.5．
故答案为12.5．
5．解：∵AB⊥BF，ED⊥BF，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABDE=BCCD，
即AB20=21，
解得：AB＝40，
故选：C．
6．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE=12x，
3211830174625∵AE∥CD，
∴∠BEA＝∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴ABEC=AECD，即4012x=12x810，
∴x＝360，
即正方形城池的边长为360步．
故选：A．
7．解：∵△ABO和△COD中，OCOA=ODOB=12，
且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴ABCD=2，
又∵CD＝30m，
∴AB＝60m．
故选：C．
8．解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，
∴ABCD=BECE，
即AB8=105，
解得AB＝16m．
故答案为：16．
9．解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，
∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，
∴OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，
∴AB＝20（mm），
∴2x+20＝25，
∴x＝2.5（mm），
故选：B．
10．解：设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥BC，EF∥AD，
∴EFAD=BEBA，EHBC=AEAB，
∵BE+AE＝AB，
∴x90=BEAB，2x120=AEAB，
∴x90+2x120=1，
解得：x＝36mm，
∴EF＝36mm，EH＝72mm，
故选：D．
11．解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
3769995-15875∴AB：AD＝BC：DE，
即5：AD＝0.4：5，
解得AD＝62.5，
BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．
故选：C．
12．解：∵DE∥AB
∴CD：AC＝DE：AB
∴40：60＝DE：12
∴DE＝8cm
故选：A．
13．解：设短臂外端A下降x米，
则8x=19.21.2，
∴x＝0.5．
故选：C．
14．解：根据题意，作△EFC；
3534410248920树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝8，FD＝2；
∵∠E+∠ECD＝∠E+∠CFD＝90°
∴∠ECD＝∠CFD
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
有 EDDC=DCFD；即DC2＝ED?FD，
代入数据可得DC2＝16，
DC＝4；
故选：B．
405066524511015．解：如图当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，
EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AGAD
∵BC＝12cm，AD＝9cm，小正方形邻边长分别为4cm和2cm
∴412=AG9
解得：AG＝3，
∴GD＝6cm，
∵小正方形的宽为2cm，
∴能分割三层小长方形，
∵BC＝12cm，
∴最底层能裁两个小长方形，
故共裁4个小长方形．
故选：B．
16．解：∵由题意得：AE∥BD，
∴CBAB=CDED，CD＝CE﹣ED＝8.7﹣2.7＝6，
∴CB=AB?CDED=1.8×62.7=4m，
∴BC＝4m．
故选：C．
17．解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
373761096520∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PM，
∴PMBC=AKAD，
∴3k120=80-2k80，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故选：A．
18．解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴OAOC=ABCD，
∴44+3=0.8CD，
解得：CD＝1.4（米）．
故答案为：1.4．
19．解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；
∵AM∥BN，
352361524130∴△ACM∽△BCN；
∴ACBC=AMBN，
∵AC与BC之比为6：1，
∴ACBC=AMBN=6，即AM＝6BN，
∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．
故答案为：60．
20．解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD，
即2540=ABAB+12，
∴AB＝20．
答：河的宽度AB为20米．
21．解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴FBAB=OEOA，即1.51=OEOA，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴GDCD=OEOC，即1.51.5=OEOA+4，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
339661550165∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：教学楼的高度OE为12m．
22．解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDF＝45°，
设EF为x米，DF＝x米，DE=2x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
295338545085∴ABEF=BCFC，
即1.5x=624+x，
解得：x＝8，
∴DE＝82，
答：DE的长度为82米．
23．解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴DEAC=BDBC，即x8=6-x6，
解得：x=247（cm），
即正方形BDEF边长为247cm；
当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，
则MN∥CH，
AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵12CH?AB=12AC?BC
∴CH=8×610=245（cm），
设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，CJ=245-x，
∵QM∥AB，
4366260105410∴△CMQ∽△CBA，
∴QMAB=CJCH，即x10=245-x245，
解得：x=12037（cm），
即正方形BDEF边长为12037（cm）；
∵247=12035＞12037，
∴图1利用率高．