第二章
变化率与导数
[A组 基础巩固]
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx>0
B．Δx<0
C．Δx≠0
D．Δx＝0
解析：由平均变化率的定义可知，Δx＝x2－x1.由于x2，x1的大小不确定，故Δx的取值情况不确定．又∵Δx在分母位置，∴Δx≠0.
答案：C
2．已知函数f(x)，区间[x0，x1]，当自变量由x0变到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量的比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
解析：根据平均变化率的定义可知，函数在区间[x0，x1]上的平均变化率为.
答案：A
3．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积增加量Δy约为( )
A.R3ΔR
B．4πR2ΔR
C．4πR2
D．4πRΔR
解析：Δy＝(R＋ΔR)3－R3
＝[3R2ΔR＋3R(ΔR)2＋(ΔR)3]
≈·3R2ΔR＝4πR2·ΔR.
答案：B
4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )
A．2
B．1
C.
D.
解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt无限趋近于0时，＋Δt无限趋近于，因此t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为，故选C.
答案：C
5．函数f(x)＝(x＋1)2在x＝2处的瞬时变化率为______．
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(3＋Δx)2－32
＝(Δx)2＋6Δx，
∴＝Δx＋6，Δx趋于0时，趋于6.
答案：6
6．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为________．
解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝Δx－6.
答案：Δx－6
7．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为__________．
解析：因为＝＝＝－，
当Δt→0时，→－，所以质点在t＝2时的速度为－.
答案：－
8．若一物体运动方程如下：s＝则此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为________、________.
解析：∵t＝1时，0≤t<3，∴s＝3t2＋1.
＝＝＝6＋3Δt.
当Δt趋近于0时，趋近于6，故物体在t＝1时的瞬时速度为6.
∵t＝3时，t≥3，∴s＝2＋3(t－3)2，
＝＝＝3Δt.
当Δt趋近于0时，趋近于0，故物体在t＝3时的瞬时速度为0.
答案：6 0
9．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a.
解析：∵s＝at2＋1，
∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1.
于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1－(4a＋1)＝4a·Δt＋a·(Δt)2.
∴＝＝4a＋a·Δt.
当Δt→0时，→4a.
依据题意有4a＝12，∴a＝3.
10．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2
h和第6
h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解析：根据导数的定义，当x＝2时，＝＝＝Δx－3，
当Δx趋近于0时，趋近于－3，所以原油在第2
h的瞬时变化率为－3.
同理可得，原油在第6
h的瞬时变化率为5.
即在第2
h与第6
h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2
h附近，原油温度大约以3
℃/h的速率下降；在第6
h附近，原油温度大约以5
℃/h的速率上升．
[B组 能力提升]
1．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2
s末的瞬时速度为( )
A．－4.8
m/s
B．－0.88
m/s
C．0.88
m/s
D．4.8
m/s
解析：＝
＝－4.8－2Δt.当Δt→0时，→－4.8.
答案：A
2．曲线y＝上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)，当Δx＝时，直线PQ的斜率为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵Δx＝，x＝1，
∴Δy＝f(1＋)－f(1)＝－1＝－.
∴＝＝－.
答案：B
3．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.
解析：因为Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，所以＝＝－t.
又因为＝2，所以t＝－2.
答案：－2
4．如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为________分米/分钟．(注：π≈3.1)
解析：由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t，
因为9.3t＝π2·h，
所以h3＝27t，所以h＝3.
因为＝
＝，
＝，
所以当Δt趋于0时，趋于9，即h(t)在t＝处的瞬时变化率为9.
答案：9
5．某物体的运动方程如下：
s＝s(t)＝
(1)求此物体在t0＝1到t1＝1＋Δt(0<Δt<2)这段时间内的平均速率；
(2)求此物体在t0＝1时刻的瞬时速度．
解析：(1)当0<Δt<2,1(2)当Δt→0时，近似地趋于t0＝1时刻的瞬时速度，即在t0＝1时刻的瞬时速度为6.
6．已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.
求：(1)气球表面积S由10
cm2膨胀到20
cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；
(2)气球表面积S由30
cm2膨胀到40
cm2时的平均膨胀率．
解析：由S(r)＝4πr2，r>0，把r表示成表面积S的函数：r(S)＝.
(1)当S由10
cm2膨胀到20
cm2时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，气球半径的增量Δr＝r(20)－r(10)＝(－)≈0.37(cm)．
所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037.
(2)当S由30
cm2膨胀到40
cm2时，气球表面积的增量ΔS＝(－)≈0.239(cm2)．
所以气球的平均膨胀率为≈＝0.023
9.
PAGE第二章
变化率与导数
[A组 基础巩固]
1．曲线y＝f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－5，则此切线方程为( )
A．y＝4x
B．y＝4x－4
C．y＝4x＋8
D．y＝4x或y＝4x－4
解析：设切点为P(x0，y0)，根据题意，得f′(x0)＝4，从而可求出P点坐标，再由点斜式求出切线方程．
答案：D
2．下列说法中正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
解析：导数的几何意义是：函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数等于曲线y＝f(x)在该点处的切线的斜率．因而导数不存在，也即切线的斜率不存在．
答案：C
3．设函数f(x)在x＝x0处可导，且li
＝1，则f′(x0)等于( )
A．1
B．0
C．3
D.
解析：
＝
·3＝3f′(x0)＝1，
所以f′(x0)＝，故选D.
答案：D
4．已知曲线C：y＝x3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C相切的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定
解析：由y＝x3得＝＝＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，则y′＝
[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，由3x2＝3，得x＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C相切的直线，故选B.
答案：B
5．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由图像易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA＜kB＜0.由导数的几何意义，得f′(xA)＜f′(xB)．
答案：B
6．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P的坐标为________．
解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝
＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
7．抛物线y＝x2在点(－2,1)处的切线方程为________，倾斜角为________．
解析：f′(－2)＝
＝
＝
(－1＋Δx)＝－1.
则切线方程为x＋y＋1＝0，倾斜角为135°.
答案：x＋y＋1＝0 135°
8．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.
解析：由题图可知，直线l的方程为：9x＋8y－36＝0.
当x＝2时，y＝，即f(2)＝.
又切线斜率为－，即f′(2)＝－，
∴f(2)＋f′(2)＝.
答案：
9．求函数f(x)＝x＋在x＝1处的导数．
解析：Δy＝(1＋Δx)＋－(1＋2)
＝Δx＋－2
＝Δx＋
＝Δx－，
＝1－，
令Δx→0，则→－1，即f′(1)＝－1.
10．求曲线y＝x2在点(－2,4)处的切线方程．
解析：＝＝－4＋Δx，
当Δx趋于0时，趋于－4，所以切线斜率为－4.
又因为切点为(－2,4)，
所以切线方程为y－4＝－4(x＋2)，即4x＋y＋4＝0.
[B组 能力提升]
1．设曲线f(x)＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝( )
A．2
B．－
C.
D．－1
解析：因为在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，所以f′(2)＝－，所以a＝－.
答案：B
2．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是( )
答案：D
3．曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
解析：因为f′(a)＝＝3a2，所以曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为(a,0)．所以由切线、x轴、直线x＝a围成的三角形的面积为·|a－a|·|a3|＝，解得a＝±1.
答案：±1
4．若曲线y＝2x2＋1在点M处的切线的斜率为0，则点M的坐标为________．
解析：设M(x0，y0)，Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0Δx＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.
由已知得k＝
＝4x0＝0，则x0＝0，则y0＝1.
答案：(0,1)
5．已知点M(0，－1)，过点M的直线l与曲线f(x)＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．求直线l的方程．
解析：Δy＝(2＋Δx)3－4(2＋Δx)＋4－(×23－4×2＋4)＝(Δx)3＋2(Δx)2，
＝(Δx)2＋2Δx.
Δx趋于0时，趋于0，所以f′(2)＝0.
所以直线l的斜率为0，其方程为y＝－1.
6．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
解析：(1)f′(1)
＝
＝3，
即l1的斜率为3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，
即y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
可解得f′(x0)＝2x0＋1，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
∵l1⊥l2，
∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－.
∴直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
又∵直线l1、l2与x轴交点分别为(1,0)、(－，0)，
∴所求三角形面积为S＝×|－|×(1＋)＝.
PAGE第二章
变化率与导数
[A组 基础巩固]
1．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
解析：由题意知，直线l的斜率为4，且y′＝4x3，令4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.故选A.
答案：A
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1
B．－2
C．2
D．0
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
答案：B
3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值是( )
A．－4
B．4
C．±4
D．不确定
解析：f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
答案：B
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1
B.
C．－
D．－1
解析：因为y′＝2ax，
所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.
又由题设条件知切线的斜率为2，
即2a＝2，即a＝1，故选A.
答案：A
5．(2016·高考全国甲卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln
x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
解析：求得(ln
x＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝.
设曲线y＝ln
x＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，
则k＝＝，所以x2＋1＝x1.
又y1＝ln
x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln
x1，
所以k＝＝2，
所以x1＝＝，y1＝ln
＋2＝2－ln
2，
所以b＝y1－kx1＝2－ln
2－1＝1－ln
2.
答案：1－ln
2
6．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．
解析：由导数的公式知
，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.
因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，
即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.
答案：1或－
7．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
解析：由y＝ln
x，得y′＝，令＝，得x＝2，故切点为(2，ln
2)，代入直线方程，得ln
2＝×2＋b，
所以b＝ln
2－1.
答案：ln
2－1
8．给出下列命题，其中正确的命题是________(填序号)．
①任何常数函数的导数都是零；
②直线y＝x上任意一点处的切线方程是这条直线本身；
③双曲线y＝上任意一点处的切线斜率都是负值；
④直线y＝2x和抛物线y＝x2在x∈(0，＋∞)上函数值增长的速度一样快．
答案：①②③
9．在曲线y＝f(x)＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.
解析：设切点坐标为P(x0，y0)，
f′(x0)＝－2x＝tan
135°＝－1，
即－2x＝－1，∴x0＝2.
代入曲线方程得y0＝2－，
∴点P的坐标为(2，2－)．
10．求过曲线y＝cos
x上一点P(，)，且与曲线在P点处的切线垂直的直线方程．
解析：因为点P在曲线上，y′＝(cos
x)′＝－sin
x，所以曲线在点P(，)处的切线的斜率为k1＝y′|x＝＝－sin＝－，因为所求直线和该切线垂直，所以所求直线的斜率为k2＝－＝，所以所求直线方程为y－＝(x－)，即x－y＋－π＝0.
[B组 能力提升]
1．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为( )
A．[－1，－]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[，1]
解析：设切点P的横坐标为x0，曲线C在点P处切线的斜率k＝y′＝2x0＋2，
若α为点P处切线的倾斜角，则tan
α＝2x0＋2，
∵α∈[0，]，
∴0≤2x0＋2≤1，∴x0∈[－1，－]．
答案：A
2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2
B．2e2
C．e2
D.
解析：y′＝ex，则切线斜率为e2，设此切线方程为y＝e2x＋b，把(2，e2)代入，得e2＝2e2＋b，b＝－e2，则切线方程为y＝e2x－e2，与x轴的交点为(1,0)，与y轴的交点是(0，－e2)，则与坐标轴所围三角形的面积为×1×e2＝.
答案：D
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x＞0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.
答案：1
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
解析：因为y′＝(n＋1)xn，y′|x＝1＝n＋1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，则xn＝，故an＝lg＝lg
n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg
1－lg
2)＋(lg
2－lg
3)＋…＋(lg
98－lg
99)＋(lg
99－lg
100)＝－2.
答案：－2
5.如图，质点P在半径为1
m的圆上沿逆时针做匀角速运动，角速度为1
rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度．
解析：在时刻t时，
∵角速度为1
rad/s，
∴∠POA＝1·t＝t
rad.
∴∠MPO＝∠POA＝t
rad.
∴OM＝OP·sin∠MPO＝1·sin
t.
∴点M的运动方程为y＝sin
t.
∴v＝y′＝(sin
t)′＝cos
t，
即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为cos
t
m/s.
6．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：
p(t)＝p0(1＋5%)t，
其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)
解析：∵p0＝1，
∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.
根据基本初等函数的导数公式表，有
p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln
1.05.
∴p′(10)＝1.0510·ln
1.05≈0.08(元/年)．
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
PAGE第二章
变化率与导数
[A组 基础巩固]
1．设y＝，－πA．±π
B．±π
C．±π
D．±π
解析：∵y＝，
∴y′＝
＝＝.
∵y′＝2，∴＝2.
∴cos
x＝－.
又－π答案：D
2．在下列四个命题中(每个函数都是可导函数)，真命题为( )
①若y＝f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)，则y′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；
②若y＝f1(x)·f2(x)，则y′＝f1′(x)f2(x)＋f1(x)·f2′(x)＋f1′(x)f2′(x)；
③若y＝k1f1(x)±k2f2(x)(k1，k2是实常数)，则y′＝k1f1′(x)±k2f2′(x)；
④若y＝，则y′＝＋＋.
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
解析：对②，由求导法则易知：y′＝[f1(x)f2(x)]′
＝f1′(x)f2(x)＋f1(x)f2′(x)．
对④，y′＝[]′＝.
答案：C
3．若函数f(x)＝exsin
x，则此函数图像在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为( )
A.
B．0
C．钝角
D．锐角
解析：f′(x)＝exsin
x＋excos
x＝ex(sin
x＋cos
x)＝exsin(x＋)，f′(3)＝e3sin(3＋)<0，则此函数图像在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为钝角．
答案：C
4．若过函数f(x)＝ln
x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0＞0，所以a＝2－＜2.
答案：B
5．函数y＝的导数是( )
A.
B.
C.
D.
解析：y′＝′＝
＝＝.
答案：A
6．函数y＝x的导数为________．
解析：y＝x＝x3＋1＋，y′＝3x2－.
答案：3x2－
7．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．
解析：∵f′(x)＝4x3－1，由题意得4x3－1＝3，
∴x＝1.故切点为P(1,0)．
答案：(1,0)
8．已知曲线y＝－3ln
x的一条切线的斜率为，则切点的坐标为________．
解析：∵y′＝－，
∴即
解得x＝3，故切点坐标为(3，－3ln
3)．
答案：(3，－3ln
3)
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝.
解析：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.
(2)y′＝＝.
10．已知曲线C1：y1＝x2与C2：y2＝－(x－2)2，若直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．
解析：法一：设直线l与曲线C1、C2分别相切于
A(a，a2)，B(b，－(b－2)2)．
因为两曲线对应函数的导函数分别为
y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)，
当x＝a时，y1′＝2a，
当x＝b时，y2′＝－2(b－2)，
易知2a＝－2(b－2)，
由题意，可得＝2a＝－2(b－2)，
即
解得或
所以A点坐标为(2,4)或(0,0)，切线的斜率k＝4或0，从而得到切线l的方程为4x－y－4＝0或y＝0.
法二：设l与C1、C2相切时切点的横坐标分别为a、b，直线l的斜率为k，
根据题意，得y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)．
则k＝2a＝－2(b－2)，
可得a＝，b＝，
所以切点的坐标分别为(，)，(，－)，
则k＝＝，
解得k＝0或4.
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或y＝0.
[B组 能力提升]
1．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( )
A．212
B．29
C．28
D．26
解析：因为f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
答案：A
2．设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q、P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1，其中＝－P，Q′是Q的导数，则商品价格P的取值范围是( )
A．(0,10)
B．(10,20)
C．(20,30)
D．(20，＋∞)
解析：＝－P＝－·P
＝，
由＞1得－1＞0，
即＞0，
解得10＜P＜20.故选B.
答案：B
3．已知f(x)＝x2＋2f′(－)x，则f′(－)＝________.
解析：因为f(x)＝x2＋2f′(－)x，所以f′(x)＝2x＋2f′(－)，所以f′(－)＝2×(－)＋2f′(－)，所以f′(－)＝.
答案：
4．设f(x)＝aex＋bln
x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________.
解析：因为f′(x)＝aex＋，所以
解得所以a＋b＝1.
答案：1
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．
解析：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)，
∴a＋b＋c＝1.…………………………………………①
∵y′＝2ax＋b，
∴当x＝2时，y′＝4a＋b，
∴4a＋b＝1.…………………………………………②
又抛物线过Q(2，－1)，
∴4a＋2b＋c＝－1，…………………………………③
联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.
6．曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,1)处的切线为l1：y＝x＋1，在点(3,4)处的切线为l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．
解析：由已知得两点均在曲线C上，
∴
∵y′＝3ax2＋2bx＋c，∴f′(0)＝c，f′(3)＝27a＋6b＋c，
∴
解得d＝1，c＝1，a＝－，b＝1.
∴曲线C的方程为y＝－x3＋x2＋x＋1.
PAGE第二章
变化率与导数
[A组 基础巩固]
1．函数y＝2sin
3x的导数是( )
A．2cos
3x
B．－2cos
3x
C．6sin
3x
D．6cos
3x
解析：y′＝(2sin
3x)′＝6cos
3x.
答案：D
2．y＝(3x2＋2x)5的导数是( )
A．5(3x2＋2x)4(6x＋2)
B．(6x＋2)5
C．10(3x＋2)4
D．5(3x＋2)4(6x＋2)
解析：y′＝5(3x2＋2x)4·(3x2＋2x)′
＝5(3x2＋2x)4(6x＋2)．
答案：A
3．y＝log3cos2x的导数是( )
A．y′＝－2log3e·tan
x
`
B．y′＝2log3e·cot
x
C．y′＝－2log3cos
x
D．y′＝
解析：y′＝log3e·(cos2x)′＝log3e·2cos
x·(cos
x)′＝log3e·2cos
x·(－sin
x)＝－2log3e·tan
x，故选A.
答案：A
4．函数y＝x2cos
2x的导数为( )
A．y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B．y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C．y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D．y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
解析：y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′＝2xcos
2x＋x2(－sin
2x)·(2x)′＝2xcos
2x－2x2sin
2x.
答案：B
5．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40
min的降雨强度为( )
A．20
mm
B．400
mm
C.
mm/min
D.
mm/min
解析：f′(t)＝·10＝，
∴f′(40)＝＝.
答案：D
6．若f(x)＝，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝(ex－e－x)，∴f′(0)＝0.
答案：0
7．若y＝x2(1＋)，则y′＝________.
解析：y′＝2x(1＋)＋x2(1＋)′＝＋2x.
答案：＋2x
8．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.
解析：f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，
所以f′(2)＝.
答案：
9．求下列函数的导数：
(1)y＝cos(－3x)；(2)y＝(2＋5x)10；
(3)y＝ln(1＋x2)．
解析：(1)y′＝[cos(－3x)]′＝－sin(－3x)·(－3)
＝3sin(－3x)．
(2)y′＝[(2＋5x)10]′＝－(2＋5x)10＋·10(2＋5x)9·5＝－＋
＝.
(3)y′＝[ln(1＋x2)]′＝··(1＋x2)′
＝·2x＝.
10．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点(－，ln
2)处切线的倾斜角．
解析：令y＝ln
u，u＝2x＋3，
则y′x＝(ln
u)′·(2x＋3)′＝·2＝.
当x＝－时，y′＝＝1，即在点(－，ln
2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为.
[B组 能力提升]
1．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．ex－y－2e＋1＝0
D．ex＋y＋2e－1＝0
解析：y′＝2e2x－4，
则当x＝2时，y′＝2e0＝2，∴斜率为2.
又当x＝2时，y＝e2×2－4＝1，
∴切点为(2,1)．
∴切线方程为2x－y－3＝0.
答案：A
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，)
B．[，)
C．(，]
D．[，π)
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为y′＝()′＝－＝－，
故tan
α＝y′|x＝x0＝－.
因为ex0＋≥2，所以ex0＋＋2≥4，
故tan
α＝－∈[－1,0)，又α∈[0，π)，
所以α∈[，π)．
答案：D
3．函数y＝sin2x的图像在点A处的切线的斜率是________．
解析：因为y＝sin2x，
所以y′＝2sin
x(sin
x)′＝2sin
x·cos
x＝sin
2x，
所以k＝sin＝sin＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．
解析：f′(x)＝＋＝＋.
当a＝2时，f′(0)＝＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－＝(x－0)，
即7x－4y－2＝0.
答案：7x－4y－2＝0
5．求证：定义在R上的偶函数在x＝0处的导数为零．
证明：设f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)．
两边对x求导，得f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，
即－f′(－x)＝f′(x)．
令x＝0，有－f′(0)＝f′(0)，所以f′(0)＝0.
6．设一质点的运动规律为S(t)＝e1－3tcos(2πt＋)，试求t＝时质点运动的速度v.
解析：由S(t)＝e1－3tcos(2πt＋)得
S′(t)＝－3e1－3tcos(2πt＋)＋e1－3t[－sin(2πt＋)]·2π
＝－3e1－3tcos(2πt＋)－2π·e1－3tsin(2πt＋)，
∴S′()＝－3e0cos
π－2πe0sin
π＝3.
即当t＝时，质点运动的速度v＝3.
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