第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的倾斜角为( )
A．135°
B．120°
C．60°
D．45°
解析：∵k＝＝＝－1，∴倾斜角为135°.
答案：A
2．过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，那么m的值为( )
A．1
B．4
C．1或3
D．1或4
解析：k＝＝＝1，∴4－m＝m＋2，∴m＝1.
答案：A
3．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π)
B．[，)∪(，π)
C．[0，]
D．[0，]∪(，π)
解析：利用数形结合思想解决．
∵m2≥0，∴当m2＝0时，α＝；当m2＝1时，α＝0；当m2＞1时，α为钝角．
答案：D
4．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
解析：由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内(包括边界)时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.
答案：D
5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．
解析：∵直线AB与y轴的夹角为60°，
∴直线AB的倾斜角为90°－60°＝30°或90°＋60°＝150°，
∴斜率为或－.
答案：30°或150° 或－
6．若三点(2，－3)，(4,3)及(5，)在同一条直线上，则k的值等于________．
解析：∵三点在同一条直线上，
∴＝，∴k＝12.
答案：12
7．已知直线l经过点A(5,10)，B(m,12)，且直线l的倾斜角是锐角，则m的取值范围是________．
解析：由于直线的倾斜角是锐角，所以kl＝kAB＝>0，即>0，因此m>5.
答案：m>5
8．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．
解析：设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2·，解得x＝－5.
答案：(－5,0)
9.如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
解析：αAD＝αBC＝60°，αAB＝αDC＝0°，
αAC＝30°，αBD＝120°，kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，
kAC＝，kBD＝－.
10．已知两点A(2,1)，B(m,4)．
(1)求直线AB的斜率；
(2)已知m∈[2－，2＋3]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解析：(1)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；
当m≠2时，直线AB的斜率kAB＝.
(2)当m＝2时，α＝90°；
当m≠2时，由m∈[2－，2]∪(2,2＋3]?kAB＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)?α∈[30°，90°)∪(90°，120°]．
综上，直线AB的倾斜角α的取值范围是[30°，120°]．
[B组 能力提升]
1．已知点M(5,3)，N(－3,2)，若直线PM，PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为( )
A．(－1,5)
B．(－，)
C．(，－)
D．(1，－5)
解析：设P(x，y)，则有，解得.
答案：D
2．已知A(0，－k)，B(2,3)，C(2k，－1)三点共线，则实数k等于________．
解析：由已知得kAB＝，kBC＝＝，而kAB＝kBC，所以＝，解得k＝－1.
答案：－1
3．已知点A(3,4)，在y轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为________．
解析：设B(0，a)，kAB＝＝2，
∴a＝－2.
答案：(0，－2)
4．经过点A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．
(其中m≥1)
解析：当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m>1时，直线的斜率为k＝＝，因为m>1，所以k>0，故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.
综上可知，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°.
答案：(0°，90°]
5．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图像上任意三个不同的点，求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
证明：∵A，B，C是三个不同的点，
∴x1，x2，x3互不相等．
∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kAC，即＝，
∴＝，
整理，得x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，
即(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0.
∵x2≠x3，
∴x1＋x2＋x3＝0.
6．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值．
解析：＝，其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．
点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．
则kOA＝2，kOB＝.
所以得的最大值为2，最小值为.
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解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知直线方程y－3＝(x－4)，则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是( )
A．(4,3)，60°
B．(－3，－4)，30°
C．(4,3)，30°
D．(－4，－3)，60°
解析：由直线的点斜式方程知k＝，定点为(4,3)，所以倾斜角为60°.
答案：A
2．若直线y＝－x＋在x轴上的截距为1，则实数m＝( )
A．1
B．2
C．－
D．2或－
解析：由题意得m2－m≠0，即m≠1且m≠0.
令y＝0，得(2m2＋m－3)x＝4m－1.
∴x＝，由＝1得m＝2或m＝－.
经检验，都符合题意．
答案：D
3．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中的图形可能是( )
解析：分a>0，b>0；a>0，b<0；a<0，b>0；a<0，b<0四种情况讨论即可．
答案：D
4．若直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且经过点(2,4)，则直线l的方程为( )
A．2x－y＝0
B．x＝4
C．x＝2
D．2x－y－3＝0
解析：直线y＝x－3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2,4)，故l的方程为x＝2.
答案：C
5．已知直线l的方程为3x－5y＝4，则直线l在y轴上的截距为________．
解析：令x＝0代入直线方程，得y＝－，所以直线l在y轴上的截距为－.
答案：－
6．已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________．
解析：由题意，知直线l在y轴上的截距为6，其斜率为－2，故直线l的方程为y＝－2x＋6.
答案：y＝－2x＋6
7．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．
解析：如图，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，若直线不过第三象限，则k≤0.
答案：(－∞，0]
8．经过点P(2，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于5的直线的方程为____________．
解析：依题意，直线的斜率必存在，设为k，则其方程为y＋4＝k(x－2)．令x＝0得y＝－2k－4；令y＝0得x＝＋2，所以－2k－4＋＋2＝5，解得k＝－4或k＝.
因此直线方程为y＋4＝－4(x－2)或y＋4＝(x－2)．
答案：y＋4＝－4(x－2)或y＋4＝(x－2)
9．求斜率是直线x－y＋1＝0的斜率的3倍，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,4)；
(2)在x轴上的截距是－5.
解析：∵由x－y＋1＝0，得y＝x＋1，
∴直线x－y＋1＝0的斜率为1.
由题意可得，所求直线的斜率k＝3.
(1)所求直线的方程是y－4＝3(x－3)，
即3x－y－5＝0.
(2)由题知直线经过点(－5,0)，所求直线的方程是y－0＝3(x＋5)，即3x－y＋15＝0.
10．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．
解析：设直线l的方程为y＝x＋b，
则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知，可得·|b|·|6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
[B组 能力提升]
1．已知等边三角形ABC的两个顶点A(0,0)，B(4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是( )
A．y＝－x
B．y＝－(x－4)
C．y＝(x－4)
D．y＝(x＋4)
解析：由题意，知直线BC的倾斜角为60°，故直线BC的斜率为，由点斜式得所求直线的方程为y＝(x－4)．
答案：C
2．集合A＝{x|x是直线的斜截式方程}，集合B＝{x|x是一次函数的解析式}，则集合A、B之间的关系是( )
A．A＝B
B．A?B
C．B?A
D．以上都不对
解析：一次函数y＝kx＋b(k≠0)；直线的斜截式方程y＝kx＋b中k可以为0，所以B?A.
答案：C
3．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．
解析：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)．
答案：(3,2)
4．直线l的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．
解析：由已知得直线方程y＋1＝tan
45°(x－4)，即y＝x－5.当x＝0时，y＝－5；当y＝0时，x＝5.
∴被坐标轴所截得的线段长|AB|＝＝5.
答案：5
5．已知△ABC在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，且∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，求边AB，AC和BC所在直线的点斜式方程．
解析：由A(1,1)，B(5,1)可知边AB所在直线的斜率为0，
故边AB所在直线的点斜式方程为y－1＝0.
由AB∥x轴，且△ABC在第一象限，知边AC所在直线的斜率kAC＝tan
60°＝，
边BC所在直线的斜率kBC＝tan(180°－45°)＝－1，
所以边AC所在直线的点斜式方程为y－1＝(x－1)，
边BC所在直线的点斜式方程为y－1＝－(x－5)．
6．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克)的关系用直线AB的方程表示(如图所示)．试求：
(1)直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少行李？
解析：(1)由题图知，A(60,6)，B(80,10)，设直线AB的方程为y＝kx＋b，
将A、B两点代入，得，
解得.所以y＝x－6.
(2)依题意，令y＝0，得x＝30.
即旅客最多可免费携带30千克行李．
第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：由两点式方程＝，知直线l过点(－5,0)，(3，－3)，所以l的斜率为＝－.
答案：A
2．已知M(3，)，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为( )
A．4x＋2y＝5
B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5
D．x－2y＝5
解析：AB的中点为(2，)．由两点式可得所求直线方程为4x－2y＝5.
答案：B
3．直线5x－2y－10＝0的截距式方程是( )
A.－＝1
B．y＝x－2
C.＋＝1
D.＋＝－1
解析：由5x－2y－10＝0，得5x－2y＝10，所以＋＝1.
答案：C
4．若直线经过点A(1,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，那么直线的方程为( )
A．2x＋y－9＝0
B．y＝4x
C．y＝4x和2x＋y－9＝0
D．y＝4x和x＋2y－9＝0
解析：当直线经过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为y＝kx，又直线经过点A(1,4)，所以4＝k，即方程为y＝4x；当直线不经过坐标原点时，设其方程为＋＝1，又直线经过点A(1,4)，所以＋＝1，解得a＝，此时直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0.故所求直线方程为y＝4x或x＋2y－9＝0.
答案：D
5．过点(2,5)和点(2，－5)的直线方程为________．
解析：因为两点的横坐标都是2，所以过这两点的直线方程为x＝2.
答案：x＝2
6．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为________，化为截距式为________．
解析：由x＋2y＋6＝0，得y＝－x－3，此为斜截式．
由x＋2y＋6＝0，得x＋2y＝－6，
所以＋＝1，此为截距式．
答案：y＝－x－3 ＋＝1
7．过点P(3,4)，且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有________条．
解析：当直线经过原点时，满足条件，此时直线的方程为y＝x，在两坐标轴上的截距均为0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，把点P(3,4)代入，可得＋＝1，满足条件的a，b有(6,8)，(4，16)，(5,10)，(9,6)，(15,5)，(7,7)．综上可得，满足条件的直线共有7条．
答案：7
8．已知点P(m，n)在直线3x＋y＋2＝0上，直线y＝mx＋n恒过一定点，则该定点的坐标为________．
解析：由点P(m，n)在直线3x＋y＋2＝0上得3m＋n＋2＝0.所以n＝－3m－2.
代入直线方程得y＝mx－3m－2，即y＋2＝m(x－3)．
故直线恒过点(3，－2)．
答案：(3，－2)
9．已知直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点且线段AB的中点为P(4,1)．求直线l的方程．
解析：由题意可设A(x,0)，B(0，y)．
由中点坐标公式可得，解得，
所以A(8,0)，B(0,2)．
由直线方程的截距式得l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
10．已知线段BC的中点为D(3，)．若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．
解析：由已知得直线BC的斜率存在且不为0.
设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.
则直线BC的截距式方程为＋＝1.
由题意得a＋b＝9，①
又点D(3，)在直线BC上，∴＋＝1，∴6b＋3a＝2ab，②
由①②联立得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝或a＝6.
∴或
故直线BC的方程为＋＝1或＋＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.
[B组 能力提升]
1．若直线4x－3y－12＝0被两坐标轴截得的线段长为，则实数c的值为( )
A.
B.
C．6
D．5
解析：令x＝0，得y＝－4；令y＝0，得x＝3.依题意得＝，所以c＝.
答案：B
2．已知直线ax＋by＋c＝0(a、b不全为0)，且经过第一象限和第四象限，则实数a、b、c满足的条件是( )
A．ab>0且bc<0
B．b＝0且ac<0
C．ab>0且bc<0或b＝0且ac<0或ab<0且bc>0
D．ab>0且bc<0或b＝0且ac≤0或ab<0且bc>0
解析：由题知，满足题意的直线可以是与x轴垂直且横截距为正数的直线，也可以是过一、二、四(或一、三、四)象限的直线，图像如图所示．
于是可得a、b、c满足的关系是b＝0且ac<0或ab>0且bc<0或ab<0且bc>0.
答案：C
3．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________．
解析：设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即＋＝1或＋y＝1.
答案：＋＝1或＋y＝1
4．直线y＝x＋k与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的取值范围是________．
解析：由已知得k≠0，
令x＝0，y＝k，令y＝0，x＝－2k，
则与两坐标轴围成的面积|k|·|－2k|≤1，即k2≤1，
所以－1≤k≤1.
综上，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
答案：[－1,0)∪(0,1]
5．已知直线l过点(－2,1)．
(1)若直线l不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围；
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最小值，并求此时直线l的一般式方程．
解析：(1)当直线的斜率k＝0时，直线为y＝1，符合题意；
当k≠0时，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
要使直线不经过第四象限，
则有，解得k＞0.
综上所述，直线l的斜率k的取值范围为[0，＋∞)．
(2)设直线l的方程为y－1＝m(x＋2)，由题意可知m≠0，
再由l的方程，得A(－，0)，B(0,1＋2m)．
依题意得，得m＞0.
又S＝·|OA|·|OB|＝·|－|·|1＋2m|＝·
＝(4m＋＋4)，
易证明函数y＝4m＋在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，
所以当m＝时，S取得最小值，且Smin＝4，
此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
6.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢8层楼公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1
m2)．
解析：建立如图所示的坐标系，则线段AB的方程为
＋＝1(0≤x≤30)．
设P的坐标为(x，y)，则y＝20－.
所以公寓占地面积为
S＝(100－x)(80－y)＝(100－x)(80－20＋)
＝－x2＋x＋6
000(0≤x≤30)．
当x＝5，y＝时，S最大，最大值为
Smax＝－×52＋×5＋6
000≈6
017(m2)．
即当长为95
m
，宽为
m
时，公寓占地面积最大，
最大面积约为6
017
m2.
PAGE第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是( )
A．x＋y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．ax－ay－a＝0
D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0
解析：直线x－y＋1＝0显然与x－y－1＝0平行，当a＝1时，直线ax－ay－a＝0与直线x－y－1＝0重合，不合题意．
答案：B
2．与直线3x＋4y－7＝0垂直，并且在x轴上的截距为－2的直线方程是( )
A．4x－3y＋8＝0
B．4x＋3y＋8＝0
C．4x－3y－8＝0
D．4x＋3y－8＝0
解析：由题意可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，令y＝0，得x＝－，因此－＝－2，解得m＝8，故所求直线方程为4x－3y＋8＝0.
答案：A
3．已知点A(1,2)，B(3,1)，线段AB的中点D，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．4x＋2y－5＝0
B．4x－2y－5＝0
C．x＋2y－5＝0
D．x－2y－5＝0
答案：B
4．已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.
解析：若l1⊥l2，则k1·k2＝－1，即－＝－1，
∴b＝2；若l1∥l2，则k1＝k2，∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0，∴b＝－.
答案：2 －
5．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．
解析：依题意设点Q的坐标为(a，b)，则有
解得
答案：(2,3)
6．已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是________．
解析：因为l1∥l2，所以2×1－(λ＋1)λ＝0，
即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.
当λ＝1时，l1与l2重合，不符合题意．
所以λ＝－2.
答案：－2
7．已知直线l1过点A(－2,3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是________．
解析：由已知得kAB＝＝.
kMN＝＝4－m.
因为AB⊥MN，
所以×(4－m)＝－1，
即m2－7m＋6＝0，
解得m＝1或m＝6，
经验验m＝1或m＝6适合题意．
答案：1或6
8．(1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；
(2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程．
解析：(1)设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
∵l经过点A(1，－4)，
∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10，
∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线方程为：
＝，即x－y＋1＝0，
设所求直线的方程为x－y＋m＝0(m≠1)．
∵所求直线经过点P(3,2)，∴3－2＋m＝0，解得m＝－1，
∴所求直线方程为x－y－1＝0.
9．已知斜边在x轴上的Rt△ABC的直角顶点A(0,1)，其中一条直角边所在直线的方程为2ax＋by＋a＝0(b≠0)，求另一条直角边所在直线的方程．
解析：由题意知点A(0,1)满足方程2ax＋by＋a＝0(b≠0)，
∴b＝－a，∴该直线的斜率k＝－＝2.
∵两直角边所在的直线互相垂直，
∴另一直角边所在的直线的斜率为－，又过点A(0,1)，
∴y－1＝－(x－0)，
即所求直线的方程为x＋2y－2＝0.
[B组 能力提升]
1．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A、B、C、D为顶点的四边形是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
解析：∵kAB＝＝－，kBC＝＝0，kCD＝＝－，
kDA＝＝0.∴kAB＝kCD，kBC＝kDA，
∴AB∥CD，BC∥DA.
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵kAC＝＝，kBD＝＝－，kAC·kBD＝－≠－1，∴AC不垂直于BD，所以C选项错，故选B.
答案：B
2．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)＝0
D．|b－a3|＋＝0
解析：显然角O不能为直角(否则得a＝0，不能组成三角形)．
若角A为直角，则根据点A，B的纵坐标相等，得b－a3＝0.
若角B为直角，则利用kOBkAB＝－1，得b－a3－＝0.
综上可得(b－a3)(b－a3－)＝0.
答案：C
3．直线l与直线x＋2y＋3＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为－3，则直线l的方程为________．
解析：设所求直线为x＋2y＋c＝0，
则纵、横截距分别是－，－c，
∴－－c＝－3，∴c＝2，
故所求直线的方程为x＋2y＋2＝0.
答案：x＋2y＋2＝0
4．已知0解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时k＝.
答案：
5．已知过原点O的一条直线与函数y＝log8x的图像交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图像交于C，D两点．
(1)求证：点C，D和原点O在同一直线上；
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标．
解析：(1)设A，B的横坐标分别为x1，x2.
由题意，知x1＞1，x2＞1，点A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)．
因为A，B在过点O的直线上，所以＝.
又点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)，
且log2x1＝3log8x1，log2x2＝3log8x2，
则kOC＝＝，kOD＝＝，
由此得kOC＝kOD，即点O，C，D在同一直线上．
(2)由(1)，知B(x2，log8x2)，C(x1，log2x1)．
由BC平行于x轴，得log2x1＝log8x2.
又log2x1＝3log8x1，
所以log8x2＝3log8x1，
所以x2＝x，将其代入＝，得xlog8x1＝3x1log8x1，
由x1＞1，知log8x1≠0，故x＝3x1，所以x1＝，
于是A(，log8)．
6．过点A(0，)与点B(7,0)的直线l1，过点C(2,1)与点D(3，k＋1)的直线l2，与两坐标轴正半轴围成的四边形内接于一个圆，求实数k的值．
解析：∵kl1＝kAB＝＝－，
kl2＝kCD＝＝k，l1，l2与两坐标轴正半轴围成的四边形内接于一个圆，
∴l1⊥l2，即k×(－)＝－1，∴k＝3.
PAGE第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线的方程是( )
A．19x－9y＝0
B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0
D．19x－3y＝0
解析：由，得.
故所求直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.
答案：C
2．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：首先联立，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1.
答案：B
3．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程为( )
A．2x＋y－8＝0
B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0
D．2x－y＋5＝0
解析：由解得
∵直线垂直于x－2y＝0，
∴k＝－2，
∴所求直线的方程为y－6＝－2(x－1)，
即2x＋y－8＝0.
答案：A
4．若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(，＋∞)
C．(－∞，－)
D．(－，2)
解析：解方程组，得.又交点在第四象限，所以，
解得－＜m＜2.
答案：D
5．经过直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线的方程为____________．
解析：由得
故交点坐标为(3,2)．
设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
把(3,2)代入，得4×3－3×2＋m＝0，
所以m＝－6，故所求直线方程为4x－3y－6＝0.
答案：4x－3y－6＝0
6．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．
解析：直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．
答案：(－1，－2)
7．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
解析：首先解得方程组的解为
代入直线y＝3x＋b得b＝2.
答案：2
8．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
解析：法一 联立，得，
所以两直线的交点坐标为(14,10)．
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，
所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，
即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
法二 设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得＝±1，解得λ＝－1或λ＝－，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
答案：x－y－4＝0或x＋y－24＝0
9．判断下列给出的两条直线的位置关系：
(1)l1：x－y－1＝0，l2：2x＋y＋4＝0；
(2)l1：3x－y＋2＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：y＝－x＋2，l2：x＋2y－4＝0.
解析：(1)联立得方程组
解得该方程组有唯一解，故l1与l2相交；
(2)联立得方程组该方程组无解，故l1与l2平行；
(3)联立得方程组该方程组有无穷多解，故l1与l2重合．
10．已知直线l1：x－2y＋4＝0，l2：x＋y－2＝0，设其交点为P.
(1)求交点P的坐标；
(2)设直线l3：3x－4y＋5＝0，分别求过点P且与直线l3平行和垂直的直线方程．
解析：(1)由
得即交点P(0,2)．
(2)设与直线l3平行的直线方程为3x－4y＋m＝0.
∵过点P(0,2)，∴3×0－4×2＋m＝0，∴m＝8，
∴过点P且与直线l3平行的直线方程为：3x－4y＋8＝0.
同理可求得过点P且与直线l3垂直的直线方程为：4x＋3y－6＝0.
[B组 能力提升]
1．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．[30°，60°)
B．(30°，90°)
C．(60°，90°)
D．[30°，90°]
解析：由数形结合知，当k>kAB，即k>时，交点在第一象限，此时倾斜角范围为(30°，90°)．
答案：B
2．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1)
B.
C.
D.
解析：因为线段BC：y＝－x＋1(0≤x≤1)，解方程组得y＝.易知直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标为，由题意知··＝，化简得a＝，因为a＞0，所以＞0，即b＜且b≠0.取极端情况：a＝0，此时直线y＝b平行于x轴，由相似三角形的面积比等于对应高比的平方，可得b＝1－，因为a＞0，所以b＞1－.综上，b的取值范围是.
答案：B
3．直线x＋2y－3＝0关于直线x＝1对称的直线的方程是________．
解析：由，得交点(1,1)．因为直线x＋2y－3＝0的斜率为－，则直线x＋2y－3＝0关于直线x＝1对称的直线的斜率为，所以所求直线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
答案：x－2y＋1＝0
4．平面上有三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．(将你认为所有正确的序号都填上)
①0 ② ③1 ④2 ⑤3
解析：因为这三条直线将平面划分为六部分，所以三条直线交于一点或其中两条平行线和第三条相交，验证知k＝0,1,2满足题意．故①③④正确．
答案：①③④
5．求证：不论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
证明：证法一 取m＝1时，直线方程为y＝－4；
取m＝时，直线方程为x＝9，
两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边有(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.
故不论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点P(9，－4)．
证法二 原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.
若对任意m都成立，则有解得
所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．
6．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．
解析：如图，过D，E，F分别作EF，FD，DE的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC的三个顶点A，B，C.由已知，得直线DE的斜率kDE＝＝，
所以kAB＝.
因为直线AB过点F，所以直线AB的方程为
y－2＝(x＋1)，即4x－5y＋14＝0. ①
由于直线AC经过点E(3,1)，且平行于DF，
同理可得直线AC的方程为
5x－y－14＝0.
②
联立①，②，解得点A的坐标是(4,6)．
同样，可以求得点B，C的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．
因此，△ABC的三个顶点是A(4,6)，B(－6，－2)，C(2，－4).
PAGE第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．点(3,1)到直线y＝2x的距离为( )
A．5
B.
C.
D.
解析：由已知得所求距离d＝＝.
答案：B
2．若x轴上的点P到原点的距离等于到点M(3，－1)的距离，则点P的坐标为
( )
A．(3,0)
B．(－1,0)
C.
D.
解析：设P(x,0)，则|PO|＝|PM|，即＝，
整理得x2＝x2－6x＋9＋1，解得x＝，故P.
答案：C
3．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则的最小值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为实数x，y满足5x＋12y＝60，所以表示原点与直线5x＋12y＝60上的点的距离，所以的最小值为原点到直线5x＋12y＝60的距离d.容易计算d＝＝，即所求的最小值为.
答案：A
4．若P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A.
B.
C．3
D．6
解析：|PQ|的最小值即两条平行线间的距离．直线6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，
所以两条平行线间的距离为＝3.
答案：C
5．直线3x－4y－6＝0与3x－4y＋7＝0之间的距离d为________．
解析：d＝＝.
答案：
6．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
解析：的最小值即为原点O到直线3x＋4y＝15的距离d＝＝3.
答案：3
7．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为________．
解析：设B点的坐标为(x，y)，|AB|2＝x2＋(y－1)2，又y＝－x，
则|AB|2＝x2＋(x＋1)2＝2x2＋2x＋1＝22＋.
当x＝－时，即在处|AB|取最小值．
即点B的坐标为.
答案：
8．若在△ABC中，A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于________．
解析：设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.
|AB|＝＝2.
AB边上的高h就是点C到AB的距离．
AB边所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0.
点C(－1,0)到x＋y－4＝0的距离h＝＝.
因此，S△ABC＝×2×＝5.
答案：5
9．求函数y＝
＋
的最小值．
解析：由于y＝＋
.
那么，第一个根式就构造为点P(x,0)到点A(－2，－1)的距离，第二个根式就构造为点P(x,0)到点B(3,2)的距离，求y的最小值就转化为在x轴上求一点P(x,0)到A、B两点的距离之和最小，如图所示，由于A、B两点在x轴两侧，所以这个最小值就是A、B两点的距离，即ymin＝
＝.
10．已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点，且A(2,3)，B(－4,5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
解析：解方程组，
得，即交点为(－1,2)．
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意得＝，
解得k＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意．
综上，可知所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
[B组 能力提升]
1．若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是( )
A．[－11，－1]
B．[－11,0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1]
D．[－1，＋∞)
解析：y＝－2x－k－2化为2x＋y＋k＋2＝0，
∴0<≤，0<|k＋6|≤5.
∴－5≤k＋6≤5，且k＋6≠0.
∴－11≤k≤－1，且k≠－6.
答案：C
2．直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则l的方程为( )
A．3x－y－5＝0
B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0
D．3x＋y－13＝0
解析：当l⊥AB时符合要求，∵kAB＝＝，
∴l的斜率为－3.
∴l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
答案：D
3．设平面直角坐标系上的4个点A(1,2)，B(3,1)，C(2,3)，D(4,0)到直线y＝kx的距离的平方和为S，当k变化时，S的最小值为________．
解析：设点A，B，C，D到直线y＝kx的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d1＝，d2＝，d3＝，d4＝，
∴S＝d＋d＋d＋d
＝
＝，整理得(30－S)k2－22k＋(14－S)＝0，关于k的一元二次方程有解，则(－22)2－4(30－S)(14－S)≥0，即S2－44S＋299≤0，
∴22－≤S≤22＋，
∴S的最小值为22－.
答案：22－
4．在△ABC中，A(3,3)，B(2，－2)，C(－7,1)，则∠A的平分线AD所在直线的方程为________．
解析：设M(x，y)为∠A的平分线AD上任意一点，由已知可求得AC边所在直线的方程为x－5y＋12＝0，AB边所在直线的方程为5x－y－12＝0.
由角平分线的性质，得＝，
所以x－5y＋12＝5x－y－12，或x－5y＋12＝y－5x＋12，
即y＝－x＋6或y＝x.
结合图形可知kAC所以y＝－x＋6不合题意，舍去．
故∠A的平分线AD所成直线的方程为y＝x.
答案：y＝x
5．若D为△ABC的边BC上的一点，且BD＝2DC，求证：|AB|2＋2|AC|2＝3|AD|2＋6|CD|2.
证明：如图，以D为原点，以BC边所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设|BC|＝3a(a>0)，则|BD|＝2a，|DC|＝a.于是B(－2a,0)，D(0,0)，C(a,0)，设A(x，y)．则|AB|2＋2|AC|2＝(x＋2a)2＋y2＋2[(x－a)2＋y2]＝3x2＋3y2＋6a2；3|AD|2＋6|CD|2＝3(x2＋y2)＋6a2，
因此|AB|2＋2|AC|2＝3|AD|2＋6|CD|2.
6．已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A
两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
解析：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a,8－2a)．
又P(0,1)是AB的中点，∴A(－a,2a－6)．
∵点A在直线l2上，
∴－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即B(4,0)．
故直线l的方程是x＋4y－4＝0.
(2)由(1)，知A(－4,2)．
又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6.
点A到直线l1的距离d＝＝，
|AD|＝＝4，
∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28.
PAGE第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是( )
A.π
B．2π
C．2π
D．2π
解析：由方程知圆的半径r＝，于是周长C＝2π·＝2π.
答案：B
2．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于( )
A．13
B．7
C．－13
D．以上答案都不对
解析：当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0.解得a＝7.
答案：B
3．圆心在直线5x－3y＝8上，且与坐标轴都相切的圆的标准方程是( )
A．(x－4)2＋(y－4)2＝16
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1
解析：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
∵圆与坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|，
∵圆心(a，b)在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8，
由或得或
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1，故选D.
答案：D
4．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心，由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
5．已知点P(4a＋1,2a)在圆(x＋1)2＋y2＝1上，则a＝________.
解析：由已知得(4a＋2)2＋(2a)2＝1，即20a2＋16a＋3＝0，
解得a＝－或a＝－.
答案：－或－
6．圆心在C(－1,2)，且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是__________________．
解析：因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝＝，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
答案：(x＋1)2＋(y－2)2＝5
7．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝1关于原点对称的圆的方程是________．
解析：圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝1的圆心为A(－2，－3)，半径等于1，圆心A关于原点(0,0)对称的圆的圆心B(2,3)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－3)2＝1
8．已知△ABC的顶点A(－1,0)，B(1,0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．
解析：∵|AB|＝2，若△ABC面积最小，只要顶点C到AB距离最小即可，由平面几何知识可知，C到AB距离的最小值为圆心到AB之间距离减去圆半径，即2－1＝1，
∴S△ABC最小值＝×2×1＝1.
答案：1
9．直线3x－y－2＝0过已知圆的圆心，点A(3,1)，B(－1,3)均在这个圆上，求此圆的方程．
解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得解得
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
10．已知圆P过点A(1,0)，B(4,0)．
(1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程；
(2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程．
解析：(1)设圆P的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得a＝，b＝－，r＝.
故圆P的标准方程为(x－)2＋(y＋)2＝.
(2)由圆的对称性，可知圆P的横坐标为＝，
故圆心P(，2)，
故圆P的半径r＝|AP|＝＝，
故圆P的标准方程为(x－)2＋(y－2)2＝.
[B组 能力提升]
1．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆
B．两个圆
C．半个圆
D．两个半圆
解析：由题意，知，
则
或，所以原方程表示两个半圆．
答案：D
2．已知圆O：x2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.∪
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析：在Rt△AOC中，由|OC|＝1，|AO|＝2，可求出∠CAO＝30°.在Rt△BAD中，由|AD|＝4，∠BAD＝30°，可求得BD＝，再由图直观判断(图略)，故选C.
答案：C
3．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到坐标原点的最大距离是________．
解析：圆心C(－3,1)，结合图形可知，当P、C、O三点共线时，点P到原点O的距离最大．
|OP|＝|OC|＋|PC|＝＋5.
答案：＋5
4．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是________．
解析：法一 因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，所以半径为＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
法二 设直径的两个端点的坐标分别为A(0，a)，B(b,0)，则由中点坐标公式，得，解得，所以圆的半径r＝×＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13
5．△ABC的三个顶点分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圆的方程．
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有
解此方程组，得
所以所求外接圆的方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
6．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
解析：(1)由题意，结合图①可知圆心C(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)如图②所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|＝＝2，又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2.结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.
PAGE第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－b)，则a＜0，b＞0.直线x＋ay＋b＝0化为y＝－x－，则斜率k＝－＞0，在y轴上的截距－＞0，所以直线一定不经过第四象限．
答案：D
2．若关于x，y的方程x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示的曲线是圆，则m＋n的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：依题意应有所以于是m＋n<.
答案：A
3．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)
，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
答案：B
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任意一点的坐标为(x1，y1)，其与点P连线的中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
5．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心到直线x－y－2＝0的距离为________．
解析：已知圆的圆心坐标为(1,1)，由点到直线的距离公式得圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.
答案：
6．已知点A(2,0)，动点Q在圆x2＋y2＝4上，则线段AQ的中点P的轨迹方程是________．
解析：设点Q的坐标为(x0，y0)，点P的坐标为(x，y)，由已知得x＝，y＝，于是x0＝2x－2，y0＝2y，由点Q在圆x2＋y2＝4上，得x＋y＝4，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理得(x－1)2＋y2＝1.
答案：(x－1)2＋y2＝1
7．若实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，则x2＋y2的最大值等于________．
解析：依题意，点P(x，y)在圆x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，而x2＋y2表示点P与原点O距离的平方．由于已知圆的圆心为C(3，－4)，半径r＝1，
又|OC|＝5，所以点P与原点O距离的最大值为1＋5＝6，从而x2＋y2的最大值是36.
答案：36
8．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．
解析：将x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化为2＋(y＋1)2＝5＋，故圆心坐标是.由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，故－＋1＋1＝0，解得k＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.
答案：9π
9．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．
解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则圆心C(－，－)在直线2x－y－7＝0上，
所以2×(－)－(－)－7＝0，
即D－＋7＝0. ①
又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，
∴
由①②③解得D＝－4，E＝6，F＝8，
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
∴d＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2
＝2(x＋y)＋2
＝2|PO|2＋2.
问题转化为求点P到原点O的距离的最值．
∵O在圆C外，∴|PO|max＝|CO|＋1＝5＋1＝6，|PO|min＝|CO|－1＝4，
∴dmax＝2×62＋2＝74，dmin＝2×42＋2＝34.
[B组 能力提升]
1．若a∈{－2,0,1,3}，则方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0能表示圆的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由(3a)2＋a2－4(a2＋a－1)＞0，得a＜1，满足条件的a只有－2与0，所以方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0能表示圆的个数为2.
答案：C
2．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大圆的面积是( )
A.
B.
C.
D．π
解析：r2＝＝.
所以当m＝－1时，r＝，则Smax＝.
3．设圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0，若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为________．
解析：由题可设直线AB的斜率为k，由圆的知识可知：CP⊥AB.
所以kCP·k＝－1.又kCP＝＝1?k＝－1.
所以直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.
答案：x＋y－4＝0
4．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．
解析：设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式，得，
所以，因为点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，
化简，得(x－)2＋(y－)2＝，此即为点Q的轨迹方程．
答案：(x－)2＋(y－)2＝
5．已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，求x2＋y2的最大值．
解析：方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0可以化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示圆心为A(－2,1)，半径为3的圆，如图所示．
x2＋y2＝
()2
表示圆上的点到坐标原点O的距离的平方，显然，连接OA并延长交圆较远一端于点B，
则|OB|2为最大值，即x2＋y2的最大值为|OB|2＝(|OA|＋3)2＝(＋3)2＝14＋6.
6．已知圆O：x2＋y2＝4上的一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，则点P的坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
整理，得(x－1)2＋y2＝1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
PAGE第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0,1)，半径为.
由圆心(0,1)到直线2x－y＋3＝0的距离：
d＝＝<.
∴直线和圆相交．
答案：A
2．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为，故有＝，∴|x0|＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D.
答案：D
3．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．
答案：C
4．若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A．(，2]
B．(，4)
C．[－2，－)∪(，2]
D．(，＋∞)
解析：直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C：＝x－1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1,0))．当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，直线记为l1；当l与半圆相切时，由＝1，得k＝，切线记为l2.分析可知当＜k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点，故选A.
答案：A
5．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为________．
解析：解方程组得x＝y＝1.
答案：{(1,1)}
6．已知圆C：x2＋y2＝12和直线l：4x＋3y＝25，则圆C的圆心到直线l的距离为________．
解析：圆心C(0,0)到直线l：4x＋3y＝25的距离为＝5.
答案：5
7．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
解析：将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝1，所以该圆半径为1，圆心为(1,2)．
因为直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，
所以该直线的斜率k＝＝2，
所以该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
8．直线过点P(0,2)，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为________．
解析：如图所示，点P(0,2)是圆与y轴的一个交点，过点P作弦，使弦长为2，亦即圆心到弦所在的直线的距离为.
易知弦所在直线的斜率存在，设为k，则方程为：y＝kx＋2.
由点到直线的距离公式，可得：d＝＝，
所以1＋k2＝.所以k2＝.所以k＝±.
答案：±
9．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)，
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾角为120°，求弦AB的长．
解析：(1)直线l可改写为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，
又k＝tan
120°＝－，所以m＝－，
此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离
d＝＝，又圆C的半径r＝，
所以|AB|＝2＝2＝.
10．已知圆C的圆心在第一象限，且在直线3x－y＝0上，该圆与x轴相切，且截直线x－y＝0所得的弦长为2，直线l：kx－y－2k＋5＝0与圆C相交．
(1)求圆C的标准方程；
(2)当直线l被圆C所截得的弦长最小时，求直线l的方程及最小弦长．
解析：(1)设圆心C(a，b)，a＞0，b＞0，半径为r，则
b＝3a，r＝3a.
圆心C(a,3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝a，
则(a)2＋()2＝(3a)2，即a2＝1.
因为a＞0，所以a＝1，由此可得圆心C(1,3)，半径为3.
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
(2)直线l：kx－y－2k＋5＝0，即(x－2)k－(y－5)＝0，可知直线l过定点M(2,5)，则kCM＝＝2.
由于点M在圆C内，所以当弦长最小时，CM⊥直线l，所以直线l的斜率k1＝－＝－，
所以直线l的方程为x＋2y－12＝0，
最小弦长为2×＝2×＝4.
[B组 能力提升]
1．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：∵圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径为2，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为＝＜2，∴满足条件的点有3个．
答案：C
2．已知直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝4相交于P，Q两点．若|PQ|≥2，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C．[－1,1]
D．[－3，]
解析：若|PQ|≥2，则圆心(2,1)到直线y＝kx＋1的距离d≤
＝，即≤，解得k∈[－1,1]，故选C.
3．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：数形结合的方法．如图所示，∠CAB＝∠BAD＝30°，
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为[0°，30°]∪[150°，180°)．
∴直线l的斜率的取值范围为.
答案：
4．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最大值为________．
解析：因为△AOB是直角三角形，所以圆心到直线的距离为，所以＝，即2a2＋b2＝2.所以a2＝1－，由a2＝1－≥0，得b2≤2，－≤b≤，所以点P(a，b)与点(0,1)之间距离为d＝＝＝＝，即d＝
＝，因为－≤b≤，所以b＝－时，dmax＝＝＝＝1＋.
答案：1＋
5．已知点P(x，y)是圆(x－3)2＋(y－3)2＝4上任意一点，求点P到直线2x＋y＋6＝0的最大距离和最小距离．
解析：如图，该圆的圆心为C(3,3)，半径r＝2，
圆心C到直线l：2x＋y＋6＝0的距离d＝＝3，
过圆心C作直线l的垂线，与圆C交于B，A两点，
则这两点就是到直线l的最大距离和最小距离的点．
∴dmax＝d＋r＝3＋2，dmin＝d－r＝3－2.
6．已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y＝x－被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．
(1)求圆M的方程；
(2)设A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．
解析：(1)设圆心M(a,0)，
由已知得圆心M到直线l的距离为＝，
又直线l的方程可化为8x－6y－3＝0，
则＝.
又圆心M在直线l的下方，∴8a－3＞0，
∴8a－3＝5，∴a＝1，
故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设直线AC的方程为y＝k1x＋t(k1＞0)，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6(k2＜0)，
由方程组，得点C的横坐标为x0＝.
∵|AB|＝t＋6－t＝6，∴S＝×||×6＝.
∵圆M与AC相切，∴1＝，∴k1＝，
同理，k2＝，
∴k1－k2＝，
∴S＝＝6(1－)．
∵－5≤t≤－2，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4，
∴Smax＝6×(1＋)＝，Smin＝6×(1＋)＝，
∴△ABC的面积S的最大值为，最小值为.
PAGE第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．圆O1：x2＋y2＋2x＋4y＋3＝0与圆O2：x2＋y2－4x－2y－3＝0的位置关系是
( )
A．内切
B．外切
C．相交
D．相离
解析：圆O1：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2，圆O2：(x－2)2＋(y－1)2＝8，
∴|O1O2|＝＝3＝r1＋r2.
答案：B
2．圆x2＋y2＝1与圆(x－1)2＋y2＝1的公共弦所在的直线方程为( )
A．x＝1
B．x＝
C．y＝x
D．x＝
解析：(x－1)2＋y2－1－(x2＋y2－1)＝0得x＝.
答案：B
3．圆x2＋y2－2y－3＝0与圆x2＋y2＋2x＝0的公共弦的长度等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为2x＋2y＋3＝0，又圆x2＋y2＋2x＝0的圆心(－1,0)到公共弦的距离d＝＝，于是公共弦长l＝2＝.
答案：B
4．已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为( )
A．1
B.
C．2
D．2
解析：由题意，知＝2＋1，a＞0，∴a＝2，圆心M(2，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，∴直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为2＝2，故选D.
答案：D
5．已知圆(x－7)2＋(y＋4)2＝16与圆(x＋5)2＋(y－6)2＝16关于直线l对称，则直线l的方程是____________．
解析：由题意，得两圆的圆心A(7，－4)和B(－5,6)关于直线l对称，AB的垂直平分线就是直线l.AB的中点为(1,1)，kAB＝－，所以l的方程是y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.
答案：6x－5y－1＝0
6．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是____________．
解析：设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，将(3,1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
7．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．
解析：因为A∩B中有且仅有一个元素，所以两圆相切．当两圆外切时，2＋r＝5，即r＝3；当两圆内切时，r－2＝5，即r＝7.所以r的值是3或7.
答案：3或7
8．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：由题意知O1(0,0)，O2(m,0)，且<|m|<2，又O2A⊥AO1，
所以有m2＝()2＋(2)2＝25?m＝±5，
所以|AB|＝2×＝4.
答案：4
9．已知两圆(x－1)2＋(y＋2)2＝m2，(x＋1)2＋(y－1)2＝(m＋1)2(m>0)，试求m为何值时，两圆(1)有唯一公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点．
解析：圆(x－1)2＋(y＋2)2＝m2的圆心坐标为O1(1，－2)，半径r1＝m，
圆(x＋1)2＋(y－1)2＝(m＋1)2的圆心坐标为O2(－1,1)，半径r2＝m＋1.
两圆圆心距为
|O1O2|＝＝>r2－r1＝1.
(1)当|O1O2|＝r1＋r2，即m＋m＋1＝，即m＝时，两圆外切有唯一公共点；
(2)当|O1O2|，即m>时，两圆相交有两个公共点；
(3)当|O1O2|>r1＋r2，即m＋m＋1<，即010．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，
为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
[B组 能力提升]
1．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3)
B．(－3，－3)
C．[－1,1]
D．(－3，－1]∪[1,3)
解析：到原点的距离为的点的轨迹为圆C1：x2＋y2＝2，因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，∵两圆的圆心和半径分别为C1(0,0)，r1＝，C(a，a)，r＝2，∴r－r1＜|C1C|＜r1＋r，∴＜|a|＜3，解得实数a的取值范围是(－3，－1)∪(1,3)，故选A.
答案：A
2．已知两圆的半径分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根，如果O1O2＝8，则两圆的位置关系是( )
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
解析：由方程x2－7x＋12＝0，得两个根分别为3或4，故两圆半径之和为7，而两圆心之间的距离为8，根据两圆的位置关系，知这两圆外离．
答案：A
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：本小题主要考查两圆的位置关系，求解时注意公共弦平行于x轴．两圆方程相减得公共弦方程y＝，代入x2＋y2＝4，得两圆交点横坐标x＝±，∴＝，∴a＝1(a>0)．
答案：1
4．已知圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最小值是________．
解析：将圆C的方程化为标准方程，得(x－4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r＝1.又直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以点C到直线y＝kx＋2的距离小于或等于2，即≤2，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值是－.
答案：－
5．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
解析：把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
如图，圆C1的圆心坐标是(－3,1)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－1，－2)，半径长是2.
所以，|C1C2|＝
＝.
因此，|MN|的最大值是＋5.
6．已知圆O1：x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆O2：x2＋y2＝4相切，求实数a的值．
解析：(1)将圆O1的方程整理，得
(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，
此方程表示过圆x2＋y2＝20与直线－4x＋2y＋20＝0的交点的圆，
解方程组，得，
所以该圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆O1的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a－2)2，则O1(2a，－a)，r1＝
由圆O2的方程，得O2(0,0)，r2＝2.
若两圆外切，则r1＋r2＝|O1O2|，
即2＋＝，解得a＝1＋，
若两圆内切，则|r1－r2|＝|O1O2|，
即|－2|＝，解得a＝1－.
综上所述，a＝1±.
PAGE第二章
解析几何初步
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．点P(1，，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )
A．(0,0，)
B．(0，，)
C．(1，，0)
D．(1，，0)
解析：由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，，0)．
答案：D
2．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．关于y轴对称
解析：根据空间中点的对称规律判断．
答案：D
3．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则A，B，C三点( )
A．可以构成直角三角形
B．可以构成锐角三角形
C．可以构成钝角三角形
D．不能构成任何三角形
解析：由已知得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝1，因此满足|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，故△ABC是直角三角形．
答案：A
4.已知正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝|BD′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由点P向xOy平面作垂线，设垂足为Q，易知Q的坐标为，又因为|PQ|＝|D′D|，所以点P的坐标为.
答案：D
5．已知平行四边形ABCD中，A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为________．
解析：设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为点P，则P为AC，BD的中点．由A(4,1,3)，C(3,7，－5)，得点P的坐标为(，4，－1)，又点B(2，－5,1)，所以点D的坐标为(5,13，－3)．
答案：(5,13，－3)
6．已知A(1,2,3)，B(5,6，－7)，则线段AB中点D的坐标为________．
解析：设D(x，y，z)，由中点坐标公式可得x＝＝3，y＝＝4，z＝＝－2，所以D(3,4，－2)．
答案：(3,4，－2)
7．已知A(2,3，－5)，B(－4,7,5)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
解析：点A(2,3，－5)，B(－4,7,5)在yOz平面上的射影分别为A′(0,3，－5)，B′(0,7,5)，∴线段AB在yOz平面上的射影长A′B′＝＝2.
答案：2
8．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
解析：设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，
所以y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
9.四面体P?ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝2，PC＝1，E为AB的中点，建立空间直角坐标系并写出点P，A，B，C，E的坐标．
解析：以P为坐标原点，PA，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点P(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0，0,1)，E(1,1,0)．
10．(1)在z轴上求一点，使它到点A(4,5,6)与到点B(－7,3,11)的距离相等；
(2)已知点P到坐标原点的距离等于2，且它的坐标分量相等，求该点坐标．
解析：(1)设z轴上一点P(0,0，z)，
则|PA|＝，
|PB|＝，
由|PA|＝|PB|，得z＝，∴所求点的坐标为.
(2)设点P的坐标为(x，x，x)，
则d|OP|＝＝＝2，∴x2＝4，x＝±2，
所求点的坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．
[B组 能力提升]
1．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ、μ、v的值为( )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
解析：关于x轴对称的点，x轴上的坐标不变，其他是相反数，则
?
答案：D
2．一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就像中国武术中的兵器——三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，“三节棍体”ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(4,4,0)，D(0,0,2)，则此“三节棍体”外接球的表面积是( )
A．36π
B．24π
C．18π
D．12π
解析：可将“三节棍体”ABCD补成长方体，易知CD为外接球的直径．因为CD＝＝6，所以外接球的半径为3，所以此“三节棍体”外接球的表面积积是36π，故选A.
答案：A
3．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为________．
解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，
故B点的坐标为(5,4,1)．
答案：(5,4,1)
4．如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，则MN的长________．
解析：以D为原点，建立空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为a，
所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′中点O′，
所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点．故N.
根据空间两点间的距离公式，
可得|MN|＝＝a.
答案：a
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，点M在A1C1上，且MC1＝2A1M，N为D1C的中点，求M，N两点间的距离．
解析：如图，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A?xyz.
由题意，可知C(3,3,0)，A1(0,0,2)，C1(3,3,2)，D1(0，3,2)．∵N为CD1的中点，∴N(，3,1)．
又点M在A1C1上，且MC1＝2A1M，∴M(1,1,2)．
由空间两点间的距离公式，得
MN＝＝.
6.直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．建立如图空间直角坐标系．
(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为正三角形；
(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．
解析：(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，则P必在EF上，如题图，A(2,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)．
设P(1,2，z)，由|PA|＝|AB|，得
＝，
整理，得
＝，
所以z2＝15.因为z∈[0,4]，所以z＝.
故平面ABB1A1内的点P(1,2，)，使得△ABP为正三角形．
(2)假设能在MN上求得一点Q(0,2，z)，使△AQB为直角三角形，
则由直角三角形的性质知，|QF|＝|AB|.
因为F(1,2,0)，所以
＝
，
整理，得
＝.
所以z2＝4.因为z>0，所以z＝2.
故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为直角三角形．
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