第二章
变化率与导数
章末检测
时间：90分钟 满分：100分
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
2．若f′(x0)＝－3，则
等于( )
A．－3
B．－6
C．－9
D．－12
3．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为( )
A．0
B．3
C．3
D．6
4．抛物线y＝x2在点P(2,1)处的切线方程为( )
A．x－y－1＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0
D．x＋y－1＝0
5．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0)
B．(2,4)
C．(，)
D．(，)
6．抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是( )
A.
B.
C.
D.
7．f(x)＝3－x，则f′(0)等于( )
A．1
B．log3e
C．ln
3
D．－ln
3
8．曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A.
B.
C.
D.
9．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则函数f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
10．已知y＝，那么y′等于( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．函数y＝2x在x＝处的导数为________．
12．设函数f′(x)＝2x3＋ax2＋x，f′(1)＝9，则a＝________.
13．物体运动的方程是s＝－t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为________．
14．已知0三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
16．(10分)利用导数公式求下列各函数的导数：
(1)y＝＋；
(2)y＝；
(3)y＝ln(ln
x)．
17．(12分)偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求函数f(x)的解析式．
18．(12分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
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变化率与导数
章末检测
时间：90分钟 满分：100分
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
解析：＝
＝＝Δx＋2.
答案：C
2．若f′(x0)＝－3，则
等于( )
A．－3
B．－6
C．－9
D．－12
解析：
＝4
＝4f′(x0)＝－12.
答案：D
3．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为( )
A．0
B．3
C．3
D．6
解析：f′(x)＝2x－8，由f′(x0)＝4，得2x0－8＝4，解得x0＝3.
答案：C
4．抛物线y＝x2在点P(2,1)处的切线方程为( )
A．x－y－1＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0
D．x＋y－1＝0
解析：∵y′＝x，∴k＝1，由点斜式得切线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
答案：A
5．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0)
B．(2,4)
C．(，)
D．(，)
解析：y′＝2x，∴k＝tan＝1＝2x0，∴x0＝，y0＝.
答案：D
6．抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由抛物线过点(1,2)，得b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，即2＋b＝－b，∴b＝－1，c＝2.
故所求切线方程为y＝x＋1，因此d＝＝.
答案：C
7．f(x)＝3－x，则f′(0)等于( )
A．1
B．log3e
C．ln
3
D．－ln
3
解析：f′(x)＝－3－xln
3，∴f′(0)＝－ln
3.
答案：D
8．曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析：f′(1)＝2，切线方程为y－＝2(x－1)，
即y＝2x－.
令x＝0，y＝－，令y＝0，x＝，
∴面积S＝××＝.
答案：A
9．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则函数f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
解析：B中f′(x)＝2，C中f(x)＝2x2－4x＋2，f′(x)＝4x－4，f′(1)＝0，D中f′(x)＝1，∴B，C，D错误．
答案：A
10．已知y＝，那么y′等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：y′＝()′＝.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．函数y＝2x在x＝处的导数为________．
解析：y′＝2xln
2，∴y′|x＝＝ln
2.
答案：ln
2
12．设函数f′(x)＝2x3＋ax2＋x，f′(1)＝9，则a＝________.
解析：f′(1)＝2＋a＋1＝9，则a＝6.
答案：6
13．物体运动的方程是s＝－t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为________．
解析：s′＝－t2＋4t，当t＝3时，s′＝3.
答案：3
14．已知0解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝
.
由01，
故f′(x)答案：f′(x)三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
解析：(1)因为Δs＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14Δt＋3(Δt)2，
所以从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度为
＝＝14＋3Δt.
当Δt＝1时，＝17；
当Δt＝0.1时，＝14.3；
当Δt＝0.01时，＝14.03.
(2)当t＝2时的瞬时速度为v＝＝(14＋3Δt)＝14.
16．(10分)利用导数公式求下列各函数的导数：
(1)y＝＋；
(2)y＝；
(3)y＝ln(ln
x)．
解析：(1)∵y＝＋＝＝2(1－x)－1，
∴y′＝[2(1－x)－1]′＝.
(2)设u＝3－x，则y＝可分解为y＝u，u＝3－x.
∴y′＝y′u·u′x＝(u)′(3－x)′＝u－(－1)
＝－
.
(3)y′＝(ln
x)′＝.
17．(12分)偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求函数f(x)的解析式．
解析：因为函数f(x)的图像过点P(0,1)，所以e＝1.
又因为函数f(x)为偶函数，所以有f(－x)＝f(x)，
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋1＝ax4－bx3＋cx2－dx＋1，
所以b＝0且d＝0.所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.
因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
所以可求得切点的坐标为(1，－1)，
所以a＋c＋1＝－1.①
f′(1)＝4a＋2c＝1，②
由①②得a＝，c＝－，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
18．(12分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析：(1)f′(x)＝a－，
于是解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)证明：在曲线上任取一点(x0，x0＋)．
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
y－＝[1－](x－x0)．
令x＝1得y＝，切线与直线x＝1的交点为(1，)．
令x＝y得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)．
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为|－1||2x0－1－1|＝|||2x0－2|＝2.
所以，所围三角形的面积为定值2.
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