第二章
解析几何初步
章末检测(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10
B．180
C．6
D．6
2．已知空间中点A(1,3,5)，C(1,3，－5)，点A与点B关于x轴对称，则点B与点C的对称关系是( )
A．关于平面xOy对称
B．关于平面yOz对称
C．关于y轴对称
D．关于平面xOz对称
3．已知直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则实数m等于( )
A．2或3
B．2
C．3
D．－3
4．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
5．圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )
A．2x－y－5＝0
B．x－2y－1＝0
C．x－y－2＝0
D．x＋y－4＝0
6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
7.如图，半圆中阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是( )
8．已知圆x2＋y2－a2＝0与两条直线l1：x－y＋2＝0，l2：－＝1都相切，则圆的半径a的值为( )
A．2
B.
C．3
D.
9．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P，若AB的中点为C，则|PC|＝( )
A．2
B.
C.
D.
10．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为( )
A．－3
B．3
C．－3或3
D．以上都不对
11．从动点P(m,2)向圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝1作切线，则切线长的最小值为( )
A．4
B．2
C．5
D.
12．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为
( )
A．36π
B．12π
C．4π
D．4π
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．经过点P(－2，－1)，Q(3，a)的直线l与倾斜角是45°的直线平行，则a的值为________．
14．在△ABC中，已知C(2,5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上的高所在的直线方程是y＝2x－1，则顶点B的坐标为________．
15．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
16.
如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与y轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆x2＋(y－2)2＝r2(r＞0)与圆O交于B，C两点，若P是圆O上的动点，且PB，PC分别交y轴于点M，N，则S△POM·S△PON的最大值为________．
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知A(－7,0)，B(－3，－2)，C(1,6)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的外心的坐标．
18．(12分)设直线l经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．
19．(12分)求由点P(5,3)向圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0所引的切线长．
20．(12分)已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于l的对称直线的方程．
21．(13分)已知点P(0,5)，圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的弦AB的长为4，求l的方程；
(2)求圆C的过点P的弦的中点的轨迹方程．
22．(13分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.
(1)求圆H的标准方程；
(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．
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解析几何初步
章末检测(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10
B．180
C．6
D．6
解析：kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝＝6，故选D.
答案：D
2．已知空间中点A(1,3,5)，C(1,3，－5)，点A与点B关于x轴对称，则点B与点C的对称关系是( )
A．关于平面xOy对称
B．关于平面yOz对称
C．关于y轴对称
D．关于平面xOz对称
解析：因为点(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y，－z)，所以B(1，－3，－5)，与点C的坐标比较，知横坐标、竖坐标分别对应相同，纵坐标互为相反数，所以点B与点C关于平面xOz对称，故选D.
3．已知直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则实数m等于( )
A．2或3
B．2
C．3
D．－3
解析：直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则＝1，即2m2－5m＋2＝m2－4，整理得m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3.当m＝2时，2m2－5m＋2＝0，－(m2－4)＝0，不符合题意，故m＝3.
答案：C
4．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：圆心在x＋y＝0上，排除C、D两项，验证A、B两项中圆心到两直线的距离等于半径即可．
答案：B
5．圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )
A．2x－y－5＝0
B．x－2y－1＝0
C．x－y－2＝0
D．x＋y－4＝0
解析：由已知条件，得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，则圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，则直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即x＋y－4＝0.
答案：D
6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有解得对称圆的半径不变，为1.
答案：B
7.如图，半圆中阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是( )
解析：根据当h＝0时S最大．h＝H时S＝0，排除B、C两项；根据当h＝时，S小于半圆面积即S的最大值的一半，排除D项．故选A项．
答案：A
8．已知圆x2＋y2－a2＝0与两条直线l1：x－y＋2＝0，l2：－＝1都相切，则圆的半径a的值为( )
A．2
B.
C．3
D.
解析：由题意知，l2：x－y－2＝0，所以l1∥l2，又圆与l1，l2都相切，所以l1，l2之间的距离即为圆的直径，所以2a＝＝2，所以a＝.
答案：B
9．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P，若AB的中点为C，则|PC|＝( )
A．2
B.
C.
D.
解析：易知动直线x＋my＝0过定点A(0,0)，mx－y－m＋3＝0可变形为(x－1)m－y＋3＝0，由?，则直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)，由动直线方程x＋my＝0和动直线方程mx－y－m＋3＝0，可知两直线垂直．当P与A或B重合时，易得|PC|＝|AB|＝＝；当P与A，B均不重合时，则AP⊥BP，
∴△APB为直角三角形且∠APB＝90°，又C为AB中点，∴|PC|＝|AB|＝.综上，|PC|＝.
答案：C
10．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为( )
A．－3
B．3
C．－3或3
D．以上都不对
解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径为，由题意得＝－1，解得a＝±3.
11．从动点P(m,2)向圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝1作切线，则切线长的最小值为( )
A．4
B．2
C．5
D.
解析：切线长d＝
＝，
所以当m＝－3时，dmin＝2.
答案：B
12．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为
( )
A．36π
B．12π
C．4π
D．4π
解析：由题意知，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π()2＝12π.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．经过点P(－2，－1)，Q(3，a)的直线l与倾斜角是45°的直线平行，则a的值为________．
解析：倾斜角为45°的直线的斜率为1，
直线l与它平行，则kPQ＝1，即＝1，解得a＝4.
答案：4
14．在△ABC中，已知C(2,5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上的高所在的直线方程是y＝2x－1，则顶点B的坐标为________．
解析：依题意，由，解得，
则A(1,1)．
因为角A的平分线所在的直线方程是y＝x，
所以点C(2,5)关于直线y＝x的对称点C′(5,2)在边AB所在的直线上，
所以边AB所在的直线方程为y－1＝(x－1)，整理得x－4y＋3＝0.
又边BC上的高所在的直线方程是y＝2x－1，
所以边BC所在的直线的斜率为－，
所以边BC所在的直线方程是y－5＝－(x－2)，整理得x＋2y－12＝0.
由，
解得，则B(7，)．
答案：(7，)
15．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求直线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
16.
如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与y轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆x2＋(y－2)2＝r2(r＞0)与圆O交于B，C两点，若P是圆O上的动点，且PB，PC分别交y轴于点M，N，则S△POM·S△PON的最大值为________．
解析：设P(x0，y0)(－2≤x0≤2)，B(xB，yB)，则C(－xB，yB)，且x＋y＝4，x＋y＝4，直线PB：y－y0＝(x－x0)，直线PC：y－y0＝(x－x0)．令x＝0，得yM＝，yN＝，∴yM·yN＝＝＝＝4，
∴S△POM·S△PON＝|x0|·|yM|··|x0|·|yN|＝x·|yM·yN|＝x≤4，所以S△POM·S△PON的最大值为4.
答案：4
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知A(－7,0)，B(－3，－2)，C(1,6)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的外心的坐标．
解析：(1)因为|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝＝10，
所以|AB|2＋|BC|2＝|AC|2.
所以△ABC是以B为直角的直角三角形．
(2)因为△ABC为直角三角形，
所以其外心为斜边AC的中点，其坐标为(，)，即(－3,3)．
18．(12分)设直线l经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．
解析：设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点分别为C(xC，yC)，D(xD，yD)，
则，解得，∴C(1,0)．
，解得，∴D(，)．
则C，D的中点坐标为(，)，即直线l经过点(，)，
又直线l经过点(－1,1)，由两点式得直线l的方程为＝，即2x＋7y－5＝0.
19．(12分)求由点P(5,3)向圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0所引的切线长．
解析：由x2＋y2－2x＋6y＋9＝0知圆心坐标A(1，－3)，半径r＝1，又∵P(5,3)，∴|PA|＝＝，
设由点P(5,3)向圆所引的切线长为d，
则d＝＝＝，
∴由点P向圆所引的切线长为.
20．(12分)已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于l的对称直线的方程．
解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得
所以点P′的坐标为(－2,7)．
(2)设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立，则
解得
把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得7x2＋y2＋22＝0，
所以l2方程为7x＋y＋22＝0.
21．(13分)已知点P(0,5)，圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的弦AB的长为4，求l的方程；
(2)求圆C的过点P的弦的中点的轨迹方程．
解析：(1)由题意，知C(－2,6)，圆C的半径为4.
如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，则D是AB的中点．
由题意，知|AB|＝4，|AC|＝4，|AD|＝2，
在Rt△ADC中，可得|CD|＝2.
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点到直线的距离公式，得＝2，解得k＝.
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时直线l的方程为x＝0.
所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
(2)设圆C的过点P的弦的中点为E(x，y)．
当点E不与点P，C重合时，x≠0且x≠－2.
在Rt△CEP中，有|CE|2＋|EP|2＝|CP|2，
即(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－0)2＋(y－5)2＝(－2－0)2＋(6－5)2，
化简得x2＋y2＋2x－11y＋30＝0(x≠0且x≠－2)．①
当点E与点P重合时，点E的坐标为(0,5)，满足方程①.
当点E与点C重合时，点E的坐标为(－2,6)，满足方程①.
综上，所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
22．(13分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.
(1)求圆H的标准方程；
(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．
解析：(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则由题意，可知，
解得
所以圆H的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.
(2)设圆心到直线l的距离为d，则1＋d2＝10，所以d＝3.
若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，则直线方程为x＝3，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋2，
圆心到直线l的距离为d＝＝3，解得k＝，
所以直线l的方程为4x－3y－6＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.
(3)由题意得0＜|CP|－r≤2r，即r＜|CP|≤3r恒成立，
所以，
解得≤r＜.
于是圆C的半径r的取值范围为[，)．
BSD
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