第二章
空间向量与立体几何
章末检测(二)
(时间90分钟 满分100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．空间中，与向量a＝(3,0,4)同方向的单位向量e为( )
A．(1,0,0)
B．(1,0,0)或(－1,0,0)
C.
D.或
2．已知线段AB的长度为6，与直线l的夹角为120°，则在l上的投影为( )
A．3
B．－3
C．3
D．－3
3．已知a＝(sin
θ，cos
θ，tan
θ)，b＝，若a⊥b，则θ为( )
A．－
B.
C．2kπ－(k∈Z)
D．kπ－(k∈Z)
4．若直线l的方向向量为a＝(1，－5,7)，平面α的法向量为n＝(－2,1,1)，则( )
A．l∥α或l?α
B．l⊥α
C．lα
D．l与α斜交
5．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，且(a＋b)⊥a，则x＝( )
A.
B．－
C.
D．－
6．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A．1
B.
C.
D.
7.如图所示，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0，
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在空间直角坐标系中，ABCD?A1B1C1D1为正方体，则下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D.与所成的角为60°
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(
c－a)·2b＝－2，则x＝________.
12．已知空间向量a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ＋μ＝________.
13．在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin
α的值是________．
14．已知点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则·的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)如图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E是PB的中点，cos〈，〉＝.
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出点E的坐标；
(2)在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PC
B.
16．(10分)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，求证：平面AMC⊥平面BMC.
17．(12分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．
18．(12分)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD?A1B1C1D1，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)求证：AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1?ED?F的正弦值．
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空间向量与立体几何
章末检测(二)
(时间90分钟 满分100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．空间中，与向量a＝(3,0,4)同方向的单位向量e为( )
A．(1,0,0)
B．(1,0,0)或(－1,0,0)
C.
D.或
解析：与a＝(3,0,4)同方向的单位向量为e＝＝，故选C.
答案：C
2．已知线段AB的长度为6，与直线l的夹角为120°，则在l上的投影为( )
A．3
B．－3
C．3
D．－3
解析：在l上的投影为：||·cos
120°＝－3.
答案：B
3．已知a＝(sin
θ，cos
θ，tan
θ)，b＝，若a⊥b，则θ为( )
A．－
B.
C．2kπ－(k∈Z)
D．kπ－(k∈Z)
答案：D
4．若直线l的方向向量为a＝(1，－5,7)，平面α的法向量为n＝(－2,1,1)，则( )
A．l∥α或l?α
B．l⊥α
C．lα
D．l与α斜交
解析：∵a·n＝1×(－2)＋(－5)×1＋7＝0，
∴a⊥n，∴l∥α或l?α.
答案：A
5．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，且(a＋b)⊥a，则x＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
6．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A．1
B.
C.
D.
解析：在平行六面体中，＝x＋2y＋3z＝＋＋＝＋－.
比较系数知x＝1，y＝，z＝－，
∴x＋y＋z＝.
答案：B
7.如图所示，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0，
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确．
答案：B
8．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，
∴cos∠DD1O＝＝＝.
∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.
答案：D
9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
解析：以D点为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设DA＝2，易得＝(1,0，－1)，设＝λ
＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，则＝＋＝(2λ－2，－2λ，2λ)，则cos
θ＝|cos〈，〉|＝＝＝(0≤λ≤1)．当λ＝时，cos
θ取到最大值，此时θ＝，当λ＝1时，cos
θ取到最小值，此时θ＝，所以θ的取值范围为.故选A.
答案：A
10.如图，在空间直角坐标系中，ABCD?A1B1C1D1为正方体，则下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D.与所成的角为60°
解析：设正方体的棱长为1，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．
∴＝(－1，－1,0)，＝(－1,1,1)，＝(0，－1,1)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)．对于选项A，由＝知结论正确；对于选项B，由·＝(－1,1,1)·(－1，－1,0)＝0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由·＝(－1,1,1)·(－1,0，－1)＝0知结论正确；对于选项D，由cos〈，〉＝＝知结论不正确．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(
c－a)·2b＝－2，则x＝________.
解析：∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
答案：2
12．已知空间向量a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ＋μ＝________.
解析：∵a∥b，∴a＝mb(m∈R)，
∴，解得.∴λ＋μ＝.
答案：
13．在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin
α的值是________．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，易求得点D(，，1)，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
即sin
α＝.
答案：
14．已知点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则·的取值范围是__________．
解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C1(1,1,1)，不妨设P(x，y,0)，0≤x≤1,0≤y≤1，则＝(－x，－y,0)，＝(1－x,1－y,1)，·＝－(1－x)x－(1－y)y＝x2＋y2－x－y＝2＋2－.当x＝y＝时，·取得最小值－；当x＝0或1，y＝0或1时，·取得最大值0.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)如图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E是PB的中点，cos〈，〉＝.
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出点E的坐标；
(2)在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PC
B.
解析：(1)分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，
设P(0,0,2m)(m>0)，则E(1,1，m)，
∴＝(－1,1，m)，＝(0,0,2m)，∴cos〈，〉＝＝，
解得m＝1或m＝－1(舍去)，∴点E的坐标是(1,1,1)．
(2)由(1)知B(2,2,0)，C(0,2,0)，
∵点F∈平面PAD，∴可设F(x,0，z)，
∴＝(x－1，－1，z－1)．
又EF⊥平面PCB，＝(2,0,0)，
∴⊥，∴(x－1，－1，z－1)·(2,0,0)＝0，解得x＝1.
又⊥，＝(0,2，－2)，
∴(x－1，－1，z－1)·(0,2，－2)＝0，解得z＝0，
∴点F的坐标是(1,0,0)，即点F是AD的中点．
16．(10分)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，求证：平面AMC⊥平面BMC.
证明：(1)如图所示，以O为坐标原点，射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系O－xyz.
则A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
于是＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，
所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知AP＝5.
又AM＝3，且点M在线段AP上，
所以＝＝，
又＝(－4，－5,0)，
所以＝＋＝，
则·＝(0,3,4)·＝0，
所以⊥，即AP⊥BM.又AP⊥BC，所以AP⊥平面BMC，所以AM⊥平面BMC.
又AM?平面AMC，所以平面AMC⊥平面BMC.
17．(12分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．
解析：∵B＝A－A，
∴O·B＝O·A－O·A
＝|O||A|cos〈O，A〉－|O||A|cos〈O，A〉
＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°
＝24－16
.
∴cos〈O，B〉＝＝＝.
∴OA与BC夹角的余弦值为.
18．(12分)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD?A1B1C1D1，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)求证：AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1?ED?F的正弦值．
解析：(1)设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，，0)．
易得＝(0，，1)，＝(0,2，－4)，
于是cos〈，〉＝＝－.
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)证明：易知＝(1,2,1)，＝(－1，－，4)，
＝(－1，，0)，于是·＝0，·＝0.
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
(3)设平面EFD的法向量为μ＝(x，y，z)，
则即
不妨令x＝1，可得μ＝(1,2，－1)，由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，于是cos〈μ，〉＝＝，从而sin〈μ，〉＝.
所以二面角A1?ED?F的正弦值为.
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