综合检测
时间：90分钟 满分：100分
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y＝x2－2x在点(1，－)处的切线的倾斜角为( )
A．－1
B．45°
C．－45°
D．135°
2．若z＝，则复数＝( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
3．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝(n≥1)，则这个数列的通项公式是( )
A．n
B.
C．n＋1
D.
4．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数
的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
5.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋1与直线y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )
A．1
B.
C.
D．2
6．若m，n是正整数，则m＋n>mn成立的充要条件是( )
A．m，n都等于1
B．m，n都不等于2
C．m，n都大于1
D．m，n至少有一个等于1
7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
8．已知f(z－1)＝z2＋，则f(i7)等于( )
A．1－i
B.－i
C．－－i
D．－＋i
9．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)…(1－an)，通过计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，由此猜想f(n)等于( )
A.
B.
C.
D.
10．已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，则f(a)的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则＝________.
12.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0,1]对应的线段，对折后(坐标1所对应的点与原点重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后，原来的坐标、变成，原坐标变成1，等等)，那么原闭区间[0,1]上(除两个端点外)的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是________．
13．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
14．由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是________．
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)设复数z＝1－i，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
16．(10分)已知a＋b＋c>0，abc>0，ab＋bc＋ca>0，求证：a，b，c都大于0.
17．(12分)在数列{an}中，a1＝，且前n项的算术平均数等于第n项的2n－1倍(n∈N＋)．
(1)写出此数列的前5项；
(2)归纳猜想{an}的通项公式，并加以证明．
18．(12分)已知点M为曲线y＝x6上一点，直线l满足：(1)过点M；(2)与点M处的曲线的切线垂直；(3)在y轴上的截距最小．试求点M的坐标．
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时间：90分钟 满分：100分
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y＝x2－2x在点(1，－)处的切线的倾斜角为( )
A．－1
B．45°
C．－45°
D．135°
解析：∵y′＝x－2，∴k＝1－2＝－1，故倾斜角为135°.
答案：D
2．若z＝，则复数＝( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
解析：∵z＝＝＝2－i，∴＝2＋i.
答案：D
3．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝(n≥1)，则这个数列的通项公式是( )
A．n
B.
C．n＋1
D.
解析：由a1＝1，an＋1＝(n≥1)得
a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，则归纳出an＝.
答案：B
4．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数
的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
解析：依题意得z＝3＋i，
＝＝＝＝2－i，
该复数对应的点的坐标是(2，－1)．
答案：D
5.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋1与直线y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )
A．1
B.
C.
D．2
解析：由知或
故所求面积S＝(－x2＋2x＋1)dx－1dx
＝(－x3＋x2＋x)|－x|＝.
答案：B
6．若m，n是正整数，则m＋n>mn成立的充要条件是( )
A．m，n都等于1
B．m，n都不等于2
C．m，n都大于1
D．m，n至少有一个等于1
解析：因为m、n∈N＋，所以m＋n>mn成立时，只有m、n都为1或m，n中一个为1，综合以上两种情况，答案选D.
答案：D
7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.因为f(x)在x＝－3时取得极值，则f′(－3)＝30－6a＝0，得a＝5.
答案：D
8．已知f(z－1)＝z2＋，则f(i7)等于( )
A．1－i
B.－i
C．－－i
D．－＋i
解析：令i7＝－i＝z－1，∴z＝1－i.
∴z2＋＝(1－i)2＋＝＝－－i.
答案：C
9．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)…(1－an)，通过计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，由此猜想f(n)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
∴f(1)＝1－＝；
f(2)＝(1－)(1－)＝＝；
f(3)＝×＝；
f(4)＝×＝＝.
∴可猜想：f(n)＝.
答案：A
10．已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，则f(a)的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
解析：f(a)＝(x3－a2x2)|＝－＝－a2＋＝－(a2－)＝－[(a－)2－]＝－(a－)2＋.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则＝________.
解析：设z＝－＋bi(b∈R且b>0)，
则|z|＝
＝3，解得b＝2，
∴z＝－＋2i.∴＝－－2i.
答案：－－2i
12.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0,1]对应的线段，对折后(坐标1所对应的点与原点重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后，原来的坐标、变成，原坐标变成1，等等)，那么原闭区间[0,1]上(除两个端点外)的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是________．
解析：第一次操作完成后原坐标、的点变成，原坐标变成1，在第二次操作完成后，原坐标、变成1，所以与1重合的点所对应的坐标为、.
答案：、
13．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝＝＝，
由f′(x)>0，所以x2<1，所以－1因而所以－1答案：－114．由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是________．
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)设复数z＝1－i，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解析：将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，
得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
即(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.
所以解得
16．(10分)已知a＋b＋c>0，abc>0，ab＋bc＋ca>0，求证：a，b，c都大于0.
证明：假设a>0不成立，则a≤0，分两种情况证明．
当a<0时，∵abc>0，∴bc<0.
又a＋b＋c>0，∴b＋c>－a>0，∴a(b＋c)<0，
从而ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与已知矛盾．
当a＝0时，abc＝0，与abc>0矛盾．
由以上分析可知假设不成立，因此a>0.
同理可得，b>0，c>0.
故a，b，c都大于0.
17．(12分)在数列{an}中，a1＝，且前n项的算术平均数等于第n项的2n－1倍(n∈N＋)．
(1)写出此数列的前5项；
(2)归纳猜想{an}的通项公式，并加以证明．
解析：(1)由已知a1＝，
＝(2n－1)an，
分别取n＝2,3,4,5，得
a2＝a1＝＝，
a3＝(a1＋a2)＝＝，
a4＝(a1＋a2＋a3)＝＝，
a5＝(a1＋a2＋a3＋a4)＝＝，
所以数列的前5项是a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
(2)由(1)中的分析可以猜想an＝.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设当n＝k(k≥1)时猜想成立，即
ak＝.
那么由已知，得
＝(2k＋1)ak＋1，
即a1＋a2＋a3＋…＋ak＝(2k2＋3k)ak＋1，
所以(2k2－k)ak＝(2k2＋3k)ak＋1，
即(2k－1)ak＝(2k＋3)ak＋1.
又由归纳假设，得
(2k－1)＝(2k＋3)ak＋1，
所以ak＋1＝，
即当n＝k＋1时，公式也成立．
由①和②知，对一切n∈N＋，都有an＝成立．
18．(12分)已知点M为曲线y＝x6上一点，直线l满足：(1)过点M；(2)与点M处的曲线的切线垂直；(3)在y轴上的截距最小．试求点M的坐标．
解析：设M(t，u)，则u＝t6，∵y′＝2x5，∴y′|x＝t＝2t5，
依题意，得直线l的斜率k＝－(t≠0)，
∴直线l的方程为y－u＝－(x－t)．
令x＝0，得直线l在y轴上的截距b＝f(t)＝u＋
＝t6＋(t≠0)，
∴f′(t)＝2t5－＝2()．
令f′(t)＝0，得t＝±1，
当t变化时，f′(t)及f(t)的变化情况如下表：
t
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(t)
－
0
＋
－
0
＋
f(t)
极小值
?
?
极小值
?
∴当t＝±1时，f(t)有极小值，又∵f(1)＝f(－1)＝，
∴当t＝±1时，b有最小值，此时u＝，
∴M点的坐标为(±1，)．BSD
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