综合检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b，c，d∈R，且ab>0，－<－，则下列各式恒成立的是( )
A．bc
B．bc>ad
C.>
D．<
解析：－<－，ab>0两边同乘以ab，－bc<－ad，
∴bc>ad，选B.
答案：B
2．不等式|3x－2|>4的解集是( )
A．{x|x>2}
B．
C.
D．
解析：由|3x－2|>4，得3x－2>4或3x－2<－4.
即x>2或x<－.
答案：C
3．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n层楼，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选( )
A．1楼
B．2楼
C．3楼
D．4楼
解析：设第n层总的不满意程度为f(n)，则f(n)＝n＋≥2＝2×3＝6，当且仅当n＝，即n＝3时取等号．
答案：C
4．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，那么( )
A．S1>S2
B．S1C．S1≥S2
D．S1≤S2
解析：由排序不等式，得顺序和≥反序和，即S1≤S2，选D.
答案：D
5．若x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝30，则lg
x＋lg
y＋lg
z的取值范围是( )
A．(－∞，3]
B．(－∞，10]
C．[3，＋∞)
D．[10，＋∞)
解析：∵x＋y＋z≥3，
即xyz≤103，
∴lg(xyz)≤lg
103＝3，
即lg
x＋lg
y＋lg
z＝lg(xyz)≤3，
当且仅当x＝y＝z＝10时取等号．故选A.
答案：A
6．不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集为( )
A．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：原不等式可化为以下几种：
①?x<－1；
②??；
③?x>3.
故选B.
答案：B
7．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k的取值范围是( )
A．k<3
B．k<－3
C．k≤3
D．k≤－3
解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
则f(x)min＝－3，∴k<－3.
答案：B
8．函数y＝＋的最大值为( )
A.
B．
C.
D．
解析：由已知得函数定义域为[，2]，
y＝＋×≤＝，当且仅当＝，即x＝时取等号．
∴ymax＝.
答案：A
9．设A＝，B＝＋，则A与B的关系为( )
A．A>B
B．AC．A＝B
D．不确定
解析：B＝＋>＋＝＝A.
答案：B
10．若0<α<β<γ<，则F＝sin
αcos
β＋sin
βcos
γ＋sin
γ·cos
α－(sin
2α＋sin
2β＋sin
2γ)的符号为( )
A．F>0
B．F<0
C．F≥0
D．F≤0
解析：∵0<α<β<γ<，且y＝sin
x在(0，)上为增函数，y＝cos
x在(0，)上为减函数．
∴0αβγ，cos
α>cos
β>cos
γ>0.
根据排序不等式：乱序和≥反序和，
则sin
αcos
β＋sin
βcos
γ＋sin
γcos
α
>sin
αcos
α＋sin
βcos
β＋sin
γcos
γ
＝(sin
2α＋sin
2β＋sin
2γ)．
答案：A
11．已知a2＋b2＋c2＝9，x2＋y2＋z2＝16，则
的最大值为( )
A．5
B．7
C．9
D．5
解析：
＝
＝，
∵ax＋by＋cz＝
≤＝＝12，
∴原式≤＝＝7，
故最大值为7，选B.
答案：B
12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|
f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，由g(x)与M的关系是( )
A．g(x)?M
B．g(x)∈M
C．g(x)?M
D．不能确定
解析：g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)·(x1＋x2＋2)，
|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________．
解析：＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时等号成立．
答案：9
14．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：∵|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1且|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，
∴a2＋a＋1<1，∴a2＋a<0.
∴－1答案：(－1,0)
15．有一长方体的长，宽，高分别为x，y，z，满足＋＋＝9，则长方体的对角线长的最小值为________．
解析：∵(x2＋y2＋z2)≥(1＋1＋1)2＝9，
即x2＋y2＋z2≥1.
当且仅当x＝y＝z＝时取等号，
∴长方体的对角线长l＝的最小值为1.
答案：1
16．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.
(12分)解不等式|2x－1|＋|2－x|解析：(1)当x<－3时，显然无解，
(2)当－3≤x≤时，原不等式为1－2x＋2－x即0(3)当即1<3，显然成立，∴＜x≤2.
(4)当x>2时，原不等式为2x－1＋x－2即2综合(1)，(2)，(3)，(4)可得原不等式的解集为{x|018．(12分)若a>2，b>3，求a＋b＋的最小值．
解析：因为a>2，b>3，所以a－2>0，b－3>0，所以a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时，等号成立)．
所以所求最小值为8.
19．(12分)已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．
解析：由柯西不等式，(x＋y＋z)2≤[(x)2＋(y)2＋z2]·，因为x＋y＋z＝2，所以2x2＋3y2＋z2≥，
当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，所以2x2＋3y2＋z2的最小值为.
20．(12分)设a，b，c为正数，求证：
2(＋＋)≥＋＋.
证明：由对称性，不妨设a≥b≥c＞0.
于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a2≥b2≥c2，
≥≥.
由排序原理知：
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
将上面两个同向不等式相加，得
2≥＋＋.
21．(13分)已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋b3＋…＋b10＝100.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的通项an＝1＋，记Tn是数列{an}的前n项之积，
即Tn＝a1a2a3…an，试证明：Tn>.
解析：(1)设等差数列{bn}的公差为d，
则，得d＝2，
bn＝2n－1.
(2)an＝1＋＝1＋，
Tn＝a1a2a3…an＝…，
当n＝1时，T1＝1＋＝2>，命题得证．
假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即…>成立，
当n＝k＋1时，
Tn＋1＝…
>＝.
∵×<＝2k＋2，
∴>，
∴Tn＋1＝…
>.
即n＝k＋1时命题成立．
综上知，当n∈N＋时，Tn>.
22．(13分)某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tan
α＝，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)?
解析：如图建立平面直角坐标系，则A(200,0)，B(0,220)，C(0,300)．直线l的方程为y＝(x－200)tan
α，即y＝.
设点P的坐标为(x，y)，则P(x>200)，由经过两点的直线的斜率公式，得
kPC＝＝.
kPB＝＝.
由直线PC到直线PB的夹角的公式得(由图可知kPC，kPB均小于0，即x<640)
tan∠BPC＝＝
＝＝(x>200)．
要使tan∠BPC达到最大，只需x＋－288达到最小，由基本不等式x＋－288≥2－288.
当且仅当x＝时上式取得等号，故当x＝320时，tan∠BPC最大，这时点P的纵坐标y为＝60.
由实际问题知，0<∠BPC<，所以tan∠BPC最大时∠BPC最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大．
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时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b，c，d∈R，且ab>0，－<－，则下列各式恒成立的是( )
A．bcB．bc>ad
C.>
D．<
2．不等式|3x－2|>4的解集是( )
A．{x|x>2}
B．
C.
D．
3．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n层楼，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选( )
A．1楼
B．2楼
C．3楼
D．4楼
4．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，那么( )
A．S1>S2
B．S1C．S1≥S2
D．S1≤S2
5．若x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝30，则lg
x＋lg
y＋lg
z的取值范围是( )
A．(－∞，3]
B．(－∞，10]
C．[3，＋∞)
D．[10，＋∞)
6．不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集为( )
A．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
7．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k的取值范围是( )
A．k<3
B．k<－3
C．k≤3
D．k≤－3
8．函数y＝＋的最大值为( )
A.
B．
C.
D．
9．设A＝，B＝＋，则A与B的关系为( )
A．A>B
B．AC．A＝B
D．不确定
10．若0<α<β<γ<，则F＝sin
αcos
β＋sin
βcos
γ＋sin
γ·cos
α－(sin
2α＋sin
2β＋sin
2γ)的符号为( )
A．F>0
B．F<0
C．F≥0
D．F≤0
11．已知a2＋b2＋c2＝9，x2＋y2＋z2＝16，则
的最大值为( )
A．5
B．7
C．9
D．5
12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|
f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，由g(x)与M的关系是( )
A．g(x)?M
B．g(x)∈M
C．g(x)?M
D．不能确定
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________．
14．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
15．有一长方体的长，宽，高分别为x，y，z，满足＋＋＝9，则长方体的对角线长的最小值为________．
16．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.
(12分)解不等式|2x－1|＋|2－x|18．(12分)若a>2，b>3，求a＋b＋的最小值．
19．(12分)已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．
20．(12分)设a，b，c为正数，求证：
2(＋＋)≥＋＋.
21．(13分)已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋b3＋…＋b10＝100.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的通项an＝1＋，记Tn是数列{an}的前n项之积，
即Tn＝a1a2a3…an，试证明：Tn>.
22．(13分)某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tan
α＝，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)?
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