第六章 特殊平行四边形 单元测试题（含答案）

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第六章《特殊平行四边形》单元测试题
（满分：100分 时间：60分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角
2.如图所示，在矩形ABCD中，AO＝5，CD＝6，则AD＝（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
3.在菱形中，若一条对角线与菱形的一边长度相等，则这个菱形中较大的内角的度数为
（ ）
A.30° B.60° C.150° D.120°
4.下列说法中正确的个数为（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.在菱形ABCD中，∠A＝60°，若菱形ABCD的面积为8，则菱形ABCD的周长为（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
6.如图所示，在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，M、N是线段BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件可以是（ ）
A.OM＝AC B.MB＝MO C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND
7.如图所示，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP长度的最小值为（ ）
A.4 B.4.8 C.5 D.5.5
8.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝（ ）
A.2-2 B.-1 C.2- D.-1
9.如图所示，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，如果AB＝5，AD＝12，那么PE＋PF＝（ ）
A. B. C. D.
10.如图所示，在矩形ABCD内有一点F，BF，CF分别平分∠ABC，∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE.现添加下列条件:①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BFCE是正方形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如图所示，在正方形ABCD的内部作等边△DCE，则∠BAE的度数是___________.
12.如图所示，△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC的中点.若AB＝10，AC＝6，则四边形AEDF的周长为____________.
13.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为CD的中点，点F为AD上一点，连接BE、EF，满足∠DFE＝2∠EBC，则EF＝__________.
14.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为邻边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形.
15.在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若点M为线段EF的中点，则线段AM的长为___________.
16.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一些条件下面给出了四组条件:①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD，其中正确的序号是_______________.
17.如图所示，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD的面积是__________.
18.如图所示，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论:①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BC2＝2a2＋2b2，其中正确的结论是__________.（填序号）
三、解答题（共46分）
19.（8分）如图所示，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且∠BED＋∠F＝180°，求证:DE＝DF.
20.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F.
（1）求证:AE＝BC；
（2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长.
21.（8分）如图所示，分别以△ABC的边AB，AC向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点.求证:
（1）AO＝BC；
（2）AO⊥BC.
22.（10分）如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠BAC＝30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF.
（1）求证:AF＝CE；
（2）若BC＝2CE，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；
（3）若C为BE的中点，求证:EF⊥AC.
23.（12分）如图①所示，正方形ABCD中，E是边CD上一个动点（点E与点C，D不重合），以CE为一边在正方形ABCD外作矩形ECGF，连接AE，BE，DG，且BE＝DG.
（1）求证:矩形ECGF是正方形；
（2）当点E在什么位置时，AE＝DG？并给予证明；
（3）图①中的正方形ECGF绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图②的情形.请你判断图②中的BE与DG的位置关系和数量关系，并证明你的结论.
参考答案
选择题
1.B 2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.D 10.D
二、填空题
11.15° 12.16 13.5 14. 15.5.5或0.5 16.①③④
17. 183①②③
三、解答题
19.证明：如图，过点D作DN⊥AB于N，DM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵S菱形ABCD＝AB×DN＝BC×DM，∴DN＝DM，
∵∠BED＋∠F＝180°，∠BED＋∠AED＝180°，∴∠F＝∠AED，
又∵∠DNE＝∠DMF＝90°，∴△DNE≌△DMF（AAS），∴DE＝DF.
20.解析：（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∵DF＝DC，∴AB＝DF，
在△ABE和△DFA中，∴△ABE≌△DFA（AAS），∴AE＝AD，
∴AE＝BC.
（2）由（1）知，△ABE≌△DFA，∴BE＝AF＝4，
∵∠B＝90°，∴AE＝＝＝5，∴BC＝AE＝5，
∴EC＝BC-BE＝5-4＝1.
21.证明：（1）如图，延长AO至H，使OH＝AO，连接GH、EH，延长OA交BC于M.
∵OA＝OH，OG＝OE，∴四边形AGHE是平行四边形，
∴GH＝AE，GH∥AE，∴∠AGH＋∠GAE＝180°.
∵四边形ABFC、ACDE是正方形，∴AG＝AB，AE＝AC＝GH，∠GAB＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC＋∠GAE＝360°-∠GAB-∠CAE＝180°，∴∠BAC＝∠AGH，
∴△BAC≌△AGH（SAS），∴BC＝AH＝2AO，∴AO＝BC.
（2）由（1）知△BAC≌△AGH，∴∠ABC＝∠GAH.
∵∠GAH＋∠GAB＋∠BAM＝180°，∴∠GAH＋∠BAM＝90°，
∴∠ABC＋∠BAM＝90°，∴∠AMB＝180°-（∠ABC＋∠BAM）＝90°，
∴AM⊥BC，即AO⊥BC.
22.解析：（1）证明:∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED.
∵D是AC的中点，∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE.
（2）四边形AFCE是矩形.
证明如下：∵AF∥BE，AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AD＝DC，ED＝DF，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝30°，
∴∠ACE＝60°，∵CE＝BC，CD＝AC，BC＝AC，∴CE＝CD，
∴△DCE为等边三角形，∴CD＝ED，∴AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形.
（3）证明：∵CE＝BC，BC＝AC，∴CE＝AC，
∵∠ACE＝60°，∴△ACE为等边三角形，∴CE＝AE，
∵四边形AFCE是平行四边形，∴四边形AFCE是菱形，∴EF⊥AC.
23.解析：（1）证明:四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵四边形ECGF为矩形，∴∠ECG＝90°，∴∠BCE＝∠DCG，又BE＝DG，
∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴EC＝CG，
又∵四边形ECGF是矩形，∴矩形ECGF是正方形.
（2）当点E在边CD的中点时，AE＝DG.
证明:∵四边形ABCD是正方形，点E是边CD的中点，
∴AE＝BE，∵BE＝DG，∴AE＝DG.
（3）BE⊥DG，BE＝DG.
证明:设BE分别交CD，DG于点H，O，
∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCE＝∠DCG，∴△BCE≌△DCG，∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，
∵∠CBH＋∠BHC＝90°，∠BHC＝∠DHO，∴∠DHO＋∠CDG＝90°，
∴∠HOD＝90°，即BE⊥DG.
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