中小学教育资源及组卷应用平台
平面向量共线的坐标表示
一、单选题
1．已知向量，，，若为实数，，则
A．2
B．1
C．
D．
2．若三点共线,则的值为(
)
A．1
B．
C．
D．
3．已知向量，且，若实数均为正数，则的最小值是（
）
A．24
B．
C．
D．8
4．已知向量，，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量，若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知向量，，若与共线，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知向量，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知，与平行，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，若，则的值（
）
A．4
B．3
C．
D．0
10．已知非零向量，，，若，，且，则（
）
A．4
B．-4
C．
D．
11．已知向量，，若，则实数（
）
A．8
B．
C．2
D．
12．已知向量，，若，则（
）
A．0
B．
C．
D．
13．已知向量，，，若与共线，则的值为（
）
A．4
B．8
C．0
D．2
14．已知向量,设,若,则实数k的值为(
)
A．
B．
C．
D．1
二、填空题
15．线段的端点为、，直线上的点，使，则____．
16．已知向量，若，则m=____.
17．中，已知点，，重心，则点的坐标为______.
18．若三点共线，则______．
19．已知向量，与共线，则____________.
20．已知向量，，，，若，则的最小值______．
21．平面上有三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为_________.
22．已知，，，若点、、在同一条直线上，且，则___________.
三、解答题
23．已知．
（1）若向量，求的值；
（2）若向量，证明：．
24．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
（1）求角C的大小；
（2）若向量与共线，求的周长.
25．已知平面向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求.
26．已知，若向量满足，求的坐标．
27．已知同一平面上的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若且，求与的夹角的余弦值.
28．已知向量，，．
（1）若点，，三点共线，求的值；
（2）若为直角三角形，且为直角，求的值．
29．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若的面积为，求的值；
（2）设，，且，求的值.
30．在中，内角、、的对边分别为、、，且，向量，，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
31．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，向量，，且.
（1）求角；
（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.
答案解析
1．
【详解】
由题意得和平行，故，解得，
故选C.
2．
【详解】
由题：三点共线,
，
所以，，
，
所以.
故选：B
3．
【详解】
所以
当且仅当时取等号,
故选：D
4．
【详解】
，解得：
故选：
5．
【详解】
，，且，，得，
因此，，故选：C.
6．
【详解】
与共线
本题正确选项：
7．
【详解】
向量，，
解得，
∴，
故选A．
8．
【详解】
由得，，由与平行得，解得.故选D.
9．
【详解】
在平面直角坐标系中，向量，，，，
因为，可得，即，
所以.
故选：C．
10．
【详解】
由题意知，，所以；
又，，
所以，
解得．
故选：D
11．D
【详解】
由，，可得，，
因为，所以，解得.
故选：D.
12．
【详解】
解析：由题意，，
，
.
，
，
解得.
故选：
13．
【详解】
，
，
由于与共线，
所以，
即，
化简得，由于，所以解得.
故选：A
14．
【详解】
∵,
,且,
∴,
得.
故选：B.
15．
【详解】
由已知得，，
由可得或.
①当时，可得，解得，此时，；
②当时，可得，解得，此时.
综上所述，或.
故答案为：或.
16．
【详解】
解：∵，∴，∵，，
∴，解得.
故答案为:
-1
17．
【详解】
设，中点记作，
因为，，重心，则，
所以，
又为的重心，所以，
即，解得：，所以.
故答案为：.
18．
【详解】
因为三点共线，所以
因此
故答案为：
19．
【详解】
由题意知，向量，
则，，
因为向量与共线，所以，解得.
故答案为：.
20．
【详解】
∵，
∴，即，
∵，，
∴
，
?当且仅当时取等号，
∴的最小值是．
故答案为．
21．
【详解】
∵设点，∴，，
又，
∴，解得，
∴点C的坐标为；
又连接DC延长至E，使，
∴，
设点，则，，
∴，解得，
∴点E的坐标为，故答案为.
22．
【详解】
由题意可得，
.
因为、、三点共线，所以与共线，，①
又②，解①②组成的方程组，得或，
因此，或，故答案为：或.
23．
【详解】
解：（1）因为
所以
所以
（2）因为
所以.
所以
24．
【详解】
（1）因为，所以
所以，所以
所以，所以
因为是的内角，所以
（2）因为向量与共线
所以，即
由余弦定理可得，即
解得
所以的周长为
25．
【详解】
（1），，且，则，
整理得，解得或；
（2），，且，，即，
解得或.
若，则，，则，此时；
若，则，，则，此时.
综上所述，或.
26．
【详解】
解:设，因为，所以，，
由，得，解得，
27．（1）或.（2）
【详解】
解析
（1）设，由题意得，解得或，
所以或.
（2）设与的夹角为，由，知，
即.
所以，
所以.
28．
【详解】
（1），，，
，
点，，三点共线，和共线，
，解得；
（2）为直角三角形，且为直角，
，，
解得．
29．
【详解】
（1），，则，
的面积为，.
因此，；
（2），，且，所以，，即，.
，.
，
，
因此，.
30．
【详解】
（1），，，
，，，，
由正弦定理，得，即，
，，
，或，
，或；
（2）由（1）知，，
当时，，，；
当时，则，由正弦定理得，则，
.
综上，的面积为或.
31．
【详解】
（1）因为，，，所以，
由正弦定理得.
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为的面积为，所以，
因为，，所以.
在中，为的中点，，由余弦定理得.
所以.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
平面向量线性运算的坐标表示
一、单选题
1．设向量，，若，则实数的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
2．已知向量，，，，若，则实数t的值为（
）
A．
B．
C．4
D．
3．已知向量，，若，则实数x的值为（
）
A．-2或3
B．1或2
C．或-1
D．
4．3.设向量，，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量，，若
，则（
）
A．
B．
C．2
D．3
6．已知向量，，，其中，且，，则（
）
A．
B．
C．
D．2
7．直角坐标平面中，已知两点，，若点满足，其中且，则点的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在正方形中，为的中点，是以为直径的半圆弧上任意一点，设，则的最小值为（
）
A．
B．1
C．2
D．3
9．向量，，则的最大值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（
）
A．1
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知向量，．若向量与平行，则＝________.
12．已知平面向量，，则与的夹角为______.
13．已知向量，，，若∥，则__________.
14．向量，且，则x=________.
15．已知，两点的坐标分别为，，延长到，使，则点的坐标为______.
三、解答题
16．已知，，．
（1）求的坐标；
（2）求满足条件的实数，．
17．已知平面向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与共线，求实数m的值.
18．已知，若，且，求实数t的值.
19．已知的顶点，在边上求一点D，使.
20．如图，（1）写出的坐标；
（2）设，求和的单位向量.
21．平面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
22．已知、、，，.
（1）求点、及向量的坐标；
（2）求证：.
23．在中，，，且的一个内角为直角，求值．
24．设平面向量，，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
25．已知向量，.
（1）求的值；
（2）若与共线，求实数k的值.
答案解析
1．C
【详解】
，，
因为，所以，得．
故选：C
2．B
【详解】
因为向量，，，
所以，
又因为，
所以，
解得，
故选：B
3．D
【详解】
由，有，可化为，解得.
故选:D.
4．A
【详解】
因为，，
所以，
当时，则有，解得.
故选：A.
5．A
【详解】
，
因为，所以，
解得：，
故选：A
6．C
【详解】
设，由，则，
因为，则，
，故，，
故.
故选：C
7．D
【详解】
设点，则，
因为，，所以，，
所以，所以，
又，所以，
即点的轨迹方程为.
故选：D.
8．B
【详解】
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，则，，，半圆的方程为，
所以，，，
因为，即，
所以，即，
所以，又是半圆上的任意一点，
所以，，，
所以，所以当时，取得最小值.
故选：B
9．B
【详解】
解：由向量的坐标运算得，
所以
，
由三角函数的性质得，当且仅当时，等号成立.
所以.
故选：B.
10．B
【详解】
以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，可得，
由，可得，所以，
所以且，解得，
所以.
故选：B.
11．
【详解】
向量，
，所以，
若向量与平行，可得
，解得.
故答案为:
12．
【详解】
，，，
设与的夹角为，则，
又，所以，则与的夹角为.
故答案为：
13．
【详解】
向量，，∥，故，故，即，
，.
故答案为：.
14．
【详解】
因为，所以，
又
，，又.
故答案为：.
15．
【详解】
设，则，，
由题意得，
∴，解得，
即点的坐标为，
故答案为:.
16．（1），；（2）.
【详解】
（1）根据题意，，，，
则,,,,，
（2）根据题意，若，即,,,，
则有，解可得，
故.
17．（1）；（2）4.
【详解】
(1)，
所以；
(2)，
因为与共线，所以，解得m＝4.
18．
【详解】
由，可得，
由，可得，解得.
19．
【详解】
由题，只要即可.
设点D的坐标为，当时，，则
.
所以，点D的坐标为.
20．（1）；（2），.
【详解】
（1）如图所示，可得，
可得；
（2）由（1）可得，
所以，
则向量的单位向量为.
21．（1）；（2）16.
【详解】
解：（1）由题意得，
因为，，
所以，即，
所以与之间的关系式为：
①
（2）由题意得，，
因为，
所以，即，②
由①②得或
当时，，，
则
当时，，，
则
所以，四边形的面积为16.
22．【详解】
（1）设点，即，解得：
，故
设点，即，解得，故
（2），，故
23．
【详解】
，，.
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得或．
综合上述，或或或.
24．
【详解】
（1）∵，，，
∴，
∴
，∴.
（2）∵，∴.又∵，∴为钝角，
∴.
∴.
25．
【详解】
（1），.
（2），，
与共线，
，解得.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
