18.2.1 矩形（1）课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
人教版
八年级数学上
18.2.1矩形（1）
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（重点）
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.（重点、难点）
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
（重点）
情境导入
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
合作探究---矩形的性质
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
合作探究---矩形的性质
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
特别说明：矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.
平行四边形不一定是矩形.
合作探究---矩形的性质
思考1：
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
我们依然可以从边，角，对角线等方面来考虑.
合作探究---矩形的性质
活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、作业本等.
(1)测量你准备号的矩形的四条边长度、四个角度数和对角线的长
度,并记录测量结果.
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1
矩形的四个角都是直角.
猜想2
矩形的对角线相等.
你能证明吗？
合作探究---矩形的性质
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D,∠C=∠A,
AB∥DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B
=
90°,
∴∠C
=
90°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A
=90°.
如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.求证：
∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
A
B
C
D
合作探究---矩形的性质
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=
CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
A
B
C
D
O
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
合作探究---矩形的性质
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
思考：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
典例精析
例1、如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=6
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD，
OA=
OC=
AC,OB
=
OD
=
BD
,
∴OA
=
OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=BD=2OA=12.
A
B
C
D
O
小试牛刀
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC
B．AC⊥BD
C．AC=BD
D．OA=OB
A
B
C
D
O
B
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=______cm．
3.25
小试牛刀
3.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE
,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD
=AE,∴∠AED
=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
合作探究---直角三角形的性质
A
　
B
　
C
　
D
　
O
　
活动3：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
B
C
O
A
思考：
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么
关系？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
合作探究---直角三角形的性质
O
C
B
A
D
证明:
延长BO至D,
使OD=BO,
连接AD、DC.
∵AO=OC,
BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:
BO
=
AC
∴BO=
BD=
AC.
合作探究---直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
C
B
O
直角三角形的性质：
几何语言：
在Rt
△ABC中，OB=OA
∴
典例精析
例2
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝12，AC＝10，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝
AB＝
×12＝6，
DF＝AF＝
AC＝
×10＝5，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝6＋6＋5＋5＝22；
典例精析
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
知识点拨：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
小试牛刀
1、如图，在△ABC中,∠ABC
=
90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=4cm,则AC
=_____cm;
(2)若∠C
=
30°
,AB
=
3cm,则AC
=_____cm,
BD
=_____cm.
A
B
C
D
8
6
3
2.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=2.5，AE=4，则BE的长为______．
3
小试牛刀
3、如图，BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，连接ME，MF。求证：ME＝MF。
A
B
C
E
F
M
∴
ME＝MF
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点
∴
综合演练
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
(
)
A.对边相等
B.对角线相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别3和4,则斜边上的中线长为(
)
A.1
B.7
C.2.5
D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为70°,则两条对角线相交的锐角是
(
)
A.20
°
B.40°
C.100
°
D.10°
B
C
B
综合演练
4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
综合演练
5.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30°
,
BO=6
,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=
BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
综合演练
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=6,
∴BD
=
2BO
=2×4=12.
∵∠DBC=30°,
∴CD=
BD=
×12=6,
∴AB=CD=6,DE=CD+CE=CD+AB=12.
在Rt△BCD中,BC=
∴四边形ABED的面积=
×(6+12)×
=
.
A
B
C
D
O
E
综合演练
6、如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝
BC，DG＝
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
能力提升
7.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=
S矩形ABCD=
×5×12=15.
在Rt△BAD中，由勾股定理得:BD=13，∴AO=OD=6.5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴
AO·PE+
DO·PF=15，即6.5PE+6.5PF=30，
∴PE+PF=
.
课堂小结
本节课你有哪些收获？
1、矩形的定义；
2、矩形的性质；
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
课后作业
教材60页习题18.2第2、3、4题．
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