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人教版
八年级数学上
18.2.2菱形（1）
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
回顾旧知
问题1
矩形的性质有哪些？
问题2
矩形的判定有哪些？
边：两组对边平行且相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线互相平分且相等。
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形；
角：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
情境导入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
合作探究---菱形的性质
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
思考1
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形
邻边相等
温馨提示：菱形是特殊的平行四边形.
合作探究---菱形的性质
合作探究---菱形的性质
活动1
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），探究菱形有哪些性质。
合作探究---菱形的性质
猜测：
1、菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线都
是它的对称轴.
2、菱形的四条边都相等.
3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
你能证明2、3条吗？
合作探究---菱形的性质
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC
又∵AB=AD,
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
A
B
C
O
D
合作探究---菱形的性质
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB
=
OD
（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
合作探究---菱形的性质
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
菱形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
几何语言：
∵四边形ABCD是菱形.
∴AB
=
BC
=
CD
=AD；
AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD
A
B
C
O
D
典例精析
例1
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝16cm，AC＝12cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝
AC，BO＝
BD.
∵AC＝12cm，BD＝16cm，
∴AO＝6cm，BO＝8cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4×10＝40
(cm)．
典例精析
例2
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，
求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
小试牛刀
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
6，则△ABD的周
长是
( )
A.12
B.18
C.24
D.30
C
2.如右图，菱形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
7.5cm
合作探究---菱形的面积
思考1
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
A
B
C
D
思考2
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?下面我们一起探究一下。
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
合作探究---菱形的面积
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC
+S△ADC
=
AC·BO+
AC·DO
=
AC(BO+DO)
=
AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
典例精析
例3
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2
）.
A
B
C
D
O
解：∵花坛ABCD是菱形，
小试牛刀
1、如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高
DE为（ ）
A.2.4cm
B.5cm
C.
4.8cm
D.9.6cm
C
小试牛刀
2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是
16cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，OA=OC
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=
×180°=60°，
∴∠ABO=
×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
∵菱形ABCD的周长是16cm．∴AB=4cm，
小试牛刀
∴AC=AB=2cm,
OA=
AC=2cm，
∴BD=2OB=
cm；
（2）S菱形ABCD=
AC?BD
=
×4×
=
（cm2）．
知识点拨：菱形的面积算法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
综合演练
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的特殊性质是（
）
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对边相等
D.对角相等
B
2.如图，在菱形ABCD中，AC=12，BD=5，则△ACD的周长等于（ ）
A.16
B.17
C.24
D.25
D
综合演练
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是20cm，那么它的边长是
______.
（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝120
°，则∠BCD＝
_______.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_
______.
5cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
综合演练
4、如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB
，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?
又∵AD＝BA
，∴△AOD≌△BEA
，∴AO＝BE
.
综合演练
5、如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝6，OB＝8.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，
∴S△AOB＝
OA·OB＝
×6×8＝24，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×24＝96.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝10h，
∴10h＝120，得h＝
12
.
综合演练
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝13cm，OD＝5cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝12cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝5cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝5×12＝60(cm2)．
课堂小结
本节课你有哪些收获？
1、菱形的性质：边、角、对角线；
2、菱形的面积算法。
课后作业
教材60页习题18.2第5题．
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